Презентация на тему по геометрии на тему Перпендикулярность прямой и плоскости

Слайд 1 Перпендикулярность прямой и плоскости
Хуснутдинова Л. Каледина Я.

---

Слайд 2 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой

прямой, лежащей в этой плоскости

Определение

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как a⊥α.

---

Слайд 3

Теоремы

1. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости. (рис. 1)
2. 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. (Рис. 2)
3. 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если две прямые перпендикулярные к плоскости, то они параллельны. (рис. 2)
4. 3-е СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Через любую точку пространства проходит  прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. (рис. 3)

Рис. 1

Рис. 2

Рис.3

---

Слайд 4

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

---

Слайд 5 Доказательство леммы

---

Слайд 6 Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть a — прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости. Проведём

прямую a через точку A пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.
1. Проведём произвольную прямую x через точку A в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведём в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, c и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X.
 
2. Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AM и AN.
 
3. Треугольник MCN равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению (AM=AN). По той же причине треугольник MBN тоже равнобедренный.
 
4. Следовательно, треугольники MBC и NBC равны по трём сторонам.
5. Из равенства треугольников MBC и NBC следует равенство углов MBX и NBX и, следовательно, равенство треугольников MBX и NBX по двум сторонам и углу между ними.
 
6. Из равенства сторон MX и NX этих треугольников заключаем, что треугольник MXN равнобедренный. Поэтому его медиана XA является также высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости.

---

Слайд 7 Задача №1
Прямая РQ параллельна плоскости α . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к

плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.



---

Слайд 8 Задача№2
Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно

в точках P1 и Q1.Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1= 21,5 см., QQ1= 33,5 см.

---

Слайд 9 Задача№3 Номер 127
В треугольнике ABC сумма углов A и B

равна 90. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что CD перпендикулярна AC

---

Слайд 10 Задача№4 Номер 117
В тетраэдре ABCD BC перпендикулярна AD.Докажите, что AD перпендикулярна

MN, где M и N-середины ребер AB и AC.

---

Слайд 11 Признак перпендикулярности прямой и плоскости

---

Слайд 12 Спасибо за внимание!

---