Презентация на тему по геометрии на тему Перпендикулярность прямой и плоскости

к любой прямой, лежащей в этой плоскости
Определение
Перпендикулярность прямой и

плоскости обозначается как a⊥α.

Теоремы
1. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если

прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости. (рис. 1)
2. 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. (Рис. 2)
3. 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если две прямые перпендикулярные к плоскости, то они параллельны. (рис. 2)
4. 3-е СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Через любую точку пространства проходит  прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. (рис. 3)

Рис. 1

Рис. 2

Рис.3

Лемма
Если одна из двух параллельных

прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

прямым b и c в плоскости. Проведём прямую a через точку A пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая a перпендикулярна

плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.
1. Проведём произвольную прямую x через точку A в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведём в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, c и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X.
 
2. Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AM и AN.
 
3. Треугольник MCN равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению (AM=AN). По той же причине треугольник MBN тоже равнобедренный.
 
4. Следовательно, треугольники MBC и NBC равны по трём сторонам.
5. Из равенства треугольников MBC и NBC следует равенство углов MBX и NBX и, следовательно, равенство треугольников MBX и NBX по двум сторонам и углу между ними.
 
6. Из равенства сторон MX и NX этих треугольников заключаем, что треугольник MXN равнобедренный. Поэтому его медиана XA является также высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости.

перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно

в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.



ее соответственно в точках P1 и Q1.Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1= 21,5 см., QQ1= 33,5

см.

и B равна 90. Прямая BD перпендикулярна к плоскости

ABC. Докажите, что CD перпендикулярна AC

AD перпендикулярна MN, где M и N-середины ребер AB

и AC.