Что такое findtheslide.com?

FindTheSlide.com - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация, доклад на тему Доказательство неравенств

Презентация на тему Доказательство неравенств, из раздела: Алгебра. Эта презентация содержит 23 слайда(ов). Информативные слайды и изображения помогут Вам заинтересовать аудиторию. Скачать конспект-презентацию на данную тему можно внизу страницы, поделившись ссылкой с помощью социальных кнопок. Также можно добавить наш сайт презентаций в закладки! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них. Все права принадлежат авторам презентаций.

Слайды и текст этой презентации Открыть в PDF

Слайд 1
Текст слайда:

Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Автор: Жагалкович Полина Сергеевна
Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре
Адрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС 2-10

Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна



Слайд 2
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой,
Текст слайда:

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)


Слайд 3
Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна
Текст слайда:

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

Пример 1. Доказать что для любого хϵR

Доказательство. 1 способ.

2 способ.


для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.

для хϵR

для хϵR

для хϵR т. к.


Слайд 4
для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых x
Текст слайда:

для любых действительных х и у

Пример 2. Доказать, что для любых x и y

Доказательство.


Пример 3. Доказать, что
Доказательство.

Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.



Слайд 5
2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что
Текст слайда:

2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного метода.
Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что .
Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.


Слайд 6
Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство	Доказательство. Очевидно, что
Текст слайда:

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:
, что является обоснованием исходного неравенства.


Слайд 7
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых
Текст слайда:

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство






, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.


Слайд 8
для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена
Текст слайда:

для хϵR

для хϵR

Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена , если
и .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть , a=2, 2>0
=>


Слайд 9
для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет
Текст слайда:

для хϵR

Пример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D<0
D= => P(x)>0 и
верно при любых действительных значениях х и у.



Слайд 10
Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть
Текст слайда:

Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть ,


Это означает, что для любых действительных у и неравенство
выполняется при любых действительных х и у.

для хϵR


Слайд 11
Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для любых
Текст слайда:

Метод введения новых переменных или метод подстановки

Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z

Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,
.


Получаем исследуемое неравенство


Слайд 12
для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство. Рассмотрим
Текст слайда:

для аϵR

Использование свойств функций.

Пример 10. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
( )* ( )>0, что доказывает неравенство


Слайд 13
Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. 		 на R.Если
Текст слайда:

Пример 11. Докажем, что для любых

Доказательство.


на R.
Если , то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>


Слайд 14
Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.Пример
Текст слайда:

Применение метода математической индукции

Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого nϵN

Проверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)


Слайд 15
*33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним
Текст слайда:

*3

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.


Сравним и : ,

Имеем:


Вывод: утверждение верно для любого nϵN.




Слайд 16
Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли		Рассмотрим каждое
Текст слайда:

Использование замечательных неравенств

Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.



Слайд 17
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или
Текст слайда:

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического
, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:


Слайд 18
Пусть n=2,	   ,	    , тогдаПусть n=2, a>0,
Текст слайда:

Пусть n=2, , , тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, , , , тогда

Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.


Слайд 19
Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых 			;
Текст слайда:

Неравенство Коши - Буняковского

Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим


Слайд 20
Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство. Запишем
Текст слайда:

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
 


Слайд 21
Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений
Текст слайда:

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений вида


Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.


Слайд 22
Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство.			Положив х=0,5 и применив
Текст слайда:

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения
, получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.


Слайд 23
Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
Текст слайда:

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.