Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Доказательство неравенств

Содержание

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Приемы доказательства неравенств, содержащих переменныеАвтор: Жагалкович Полина СергеевнаУчебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-АмуреАдрес Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых x 2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно, что Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для любых для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство. Рассмотрим Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.Пример *33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли Рассмотрим каждое Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство. Запишем Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство. Положив х=0,5 и применив Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
Слайды презентации

Слайд 2 Если вы хотите участвовать в большой жизни, то

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову

наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.

Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Слайд 3 Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть

слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1.

Доказать что для любого хϵR

Доказательство. 1 способ.

2 способ.


для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.

для хϵR

для хϵR

для хϵR т. к.

Слайд 4 для любых действительных х и у
Пример 2. Доказать,

для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых

что для любых x и y

Доказательство.


Пример 3. Доказать,

что
Доказательство.

Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.


Слайд 5 2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного

2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что

метода.
Доказать, что

для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что .
Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Слайд 6 Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно,

справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для

неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:
, что является обоснованием исходного неравенства.

Слайд 7 Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для

и С, для которых выполняется неравенство






, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Слайд 8 для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на

для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного

свойстве неотрицательности квадратного трехчлена ,

если
и .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть , a=2, 2>0
=>

Слайд 9 для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных

для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у

х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую

часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D<0
D= => P(x)>0 и
верно при любых действительных значениях х и у.


Слайд 10 Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х

Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть

и у.
Доказательство. Пусть ,


Это означает, что для любых

действительных у и неравенство
выполняется при любых действительных х и у.

для хϵR

Слайд 11 Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9.

Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для

Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z



Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,
.


Получаем исследуемое неравенство

Слайд 12 для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых

для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство.

а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то

верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
( )* ( )>0, что доказывает неравенство

Слайд 13 Пример 11. Докажем, что для любых

Доказательство.


на

Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если

R.
Если , то знаки чисел

и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Слайд 14 Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства

Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных

неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого

nϵN

Проверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)

Слайд 15 *3
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.


Сравним

*33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним и

и

: ,

Имеем:


Вывод: утверждение верно для любого nϵN.



Слайд 16 Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши

Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли Рассмотрим

– Буняковского
Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.




Слайд 17 Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше

неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического

, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

Слайд 18 Пусть n=2, ,

Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, тогдаПусть n=3,

, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, ,

, , тогда

Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.

Слайд 19 Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает,

Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых

что для любых ; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет

геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Слайд 20 Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство.

R справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это

заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
 

Слайд 21 Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то

Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных

для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться

для выражений вида


Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Слайд 22 Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство. Положив х=0,5 и

N

Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения

, получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.
  • Имя файла: dokazatelstvo-neravenstv.pptx
  • Количество просмотров: 190
  • Количество скачиваний: 1
- Предыдущая Информатика Файл и файловая система
Следующая - Галогени

Похожие презентации

Презентация исследовательской работы по теме Картины М. К. Эшера в номинации Математика и искусство Презентация исследовательской работы по теме Картины М. К. Эшера в номинации Математика и искусство 189
Презентация к уроку по математике Неполные квадратные уравнения Презентация к уроку по математике Неполные квадратные уравнения 136
Геометрический смысл производной. 11 класс Геометрический смысл производной. 11 класс 154
Сумма n членов прогрессии Сумма n членов прогрессии 151
Шаблоны презентаций Математика - 7 Шаблоны презентаций Математика - 7 44
Презентация по математике на тему Повторение курса алгебры за 7 класс 3 урок Презентация по математике на тему Повторение курса алгебры за 7 класс 3 урок 143
Числовые неравенства Числовые неравенства 132
Многочлен по алгебре Многочлен по алгебре 143
Презентация по алгебре Развитие творческих способностей учащихся при обучении математики средствами задач Презентация по алгебре Развитие творческих способностей учащихся при обучении математики средствами задач 133
Презентация по математике на тему Квадратные уравнения Презентация по математике на тему Квадратные уравнения 124
Тригонометрические функции углового аргумента Тригонометрические функции углового аргумента 142
График линейной функции График линейной функции 149
Арифметический корень натуральной степени Арифметический корень натуральной степени 246
Урок математики на тему: Квадратные уравнения (8 класс) Урок математики на тему: Квадратные уравнения (8 класс) 120
Презентация урока по математике Степень с натуральным, целым и рациональным показателем Презентация урока по математике Степень с натуральным, целым и рациональным показателем 135
ПРЕЗЕНТАЦИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 11 КЛАСС ПРЕЗЕНТАЦИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 11 КЛАСС 129
Логарифмическая функция и ее применение Логарифмическая функция и ее применение 135
Презентация АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ (обобщение) Презентация АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ (обобщение) 169
Презентация: Прогрессии. Формулы, 9 класс Презентация: Прогрессии. Формулы, 9 класс 151
Презентация по математике урока-игры Своя игра (9 класс) Презентация по математике урока-игры Своя игра (9 класс) 137
Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы 136
Презентация игры с ответами Математическая мозаика Презентация игры с ответами Математическая мозаика 140
Презентация по математике на тему: Формулы сокращенного умножения Презентация по математике на тему: Формулы сокращенного умножения 123
Презентация по математике на тему Решение задач на проценты Презентация по математике на тему Решение задач на проценты 163
Презентация по математике на тему Арифметическая прогрессия Презентация по математике на тему Арифметическая прогрессия 176
Презентация по алгебре Многочлены Презентация по алгебре Многочлены 136
Умножение девяти и на 9, соответствующие случаи деления Умножение девяти и на 9, соответствующие случаи деления 151
Проектная работа Математика в поэзии Проектная работа Математика в поэзии 223
Презентация Примеры применения производной (алгебра и начала анализа. 10 класс) Презентация Примеры применения производной (алгебра и начала анализа. 10 класс) 141
Приёмы активизации познавательной деятельности учащихся в старшей школе Приёмы активизации познавательной деятельности учащихся в старшей школе 119