Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть

Презентация на тему Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Содержание

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
3. Определение производной Производной функции y=f(x) в точке
4. Таблица производных
7. Правила ДифференцированияПусть u=u(x) и v=v(x) – функции,
8. Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x).
10. Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y
11. Примерx=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´. поэтому
12. Дифференцирование функций, заданных неявно.Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0.Продифференцируем обе части по х. Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и
13. Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx)x.Логарифмируем функцию
14. Дифференциал функции dy=f´(x)∙dx
15. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!
16. Теорема Ферма Пусть функция y=f(x) определена в
17. Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) непрерывна на
18. Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на
19. Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и
20. Пример
21. Применение производной к исследованию функций
22. Экстремумы функции.
23. Необходимо условие монотонности функции Если дифференцируемая в
24. Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на
25. Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой
26. Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция
27. Достаточный признак существования точки перегиба Если вторая
28. Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x)
29. План исследования функции и построение графика Область
30. Пример Исследовать функцию
31. 2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0,
33. 4. Функция имеет разрывы в точках х=-2
34. 5.Невертикальные асимптоты следовательно, прямая у=1 – асимптота.
35. 6.у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая
36. 7.у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 –
37. Скачать презентацию
38. Похожие презентации

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Главная
Математика
Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Определение производной Производной функции y=f(x) в точке х0 Называется

Правила ДифференцированияПусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда

Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется сложной

Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y от х задана параметрически уравнениями:

Примерx=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´. поэтому

Дифференцирование функций, заданных неявно.Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0.Продифференцируем обе части по х. Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и

Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx)x.Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!

Теорема Ферма Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает в

Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале

Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в

Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные на

Применение производной к исследованию функций

Необходимо условие монотонности функции Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает

Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет производную

Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в

Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную f´(x)

Достаточный признак существования точки перегиба Если вторая производная f´(x) непрерывной функции меняет

Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от которой

План исследования функции и построение графика Область определения функции.Точки пересечения графика функции

4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2)

5.Невертикальные асимптоты следовательно, прямая у=1 – асимптота.

6.у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и х=2

7.у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка. На

Слайды презентации

Слайд 2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Слайд 3 Определение производной
Производной функции y=f(x) в точке х0

Называется ,

если этот предел существует. Производная обозначается или . Таким образом, =.

Слайд 4 Таблица производных

Слайд 7 Правила Дифференцирования
Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые

Правила ДифференцированияПусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х.

в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции

u+v, u∙v, . Последнее при условии, что v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´, .

Слайд 8 Производная сложной функции
Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда

Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется

функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией от х.
Теорема. Если

функция u=φ(x) имеет производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, причем .

Слайд 10 Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция y от

Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y от х задана параметрически

х задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t

(α;β).

Слайд 11 Пример
x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´.
поэтому

Слайд 12 Дифференцирование функций, заданных неявно.
Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0.
Продифференцируем обе

части по х. Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и

Слайд 13 Логарифмическое дифференцирование
Найти производную функции y=(sinx)x.
Логарифмируем функцию по

Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx)x.Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx.

основанию е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х:

∙y´=lnsinx+x∙ctgx
отсюда y´=y∙(lnsinx+x∙ctgx) или y´=(sinx)x∙(lnsinx+x∙ctgx).

Слайд 14 Дифференциал функции
dy=f´(x)∙dx

Слайд 15 Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!

Слайд 16 Теорема Ферма
Пусть функция y=f(x) определена в интервале

Теорема Ферма Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает

(a;b) и принимает в точке с этого интервала наибольшее

или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f´(c), то f´(c)=0

Слайд 17 Теорема Ролля
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке

Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на

[a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее

производная f´(х) обращается в ноль хотя бы в одной точке c (a;b).

Слайд 18 Теорема Лагранжа
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке

Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема

[a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует хотя

бы одна точка c (a;b), для которой выполняется условие:

Слайд 19 Теорема Лопиталя (правило Лопиталя).
Пусть f(x) и φ(x)

Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные

– функции, непрерывные на [a;b], дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0

при всех х (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда если существует , то существует причем :

Слайд 21 Применение производной к исследованию функций

Слайд 22 Экстремумы функции.

Слайд 23 Необходимо условие монотонности функции
Если дифференцируемая в интервале

Необходимо условие монотонности функции Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x)

(a;b) функция y=f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для

всех х(a;b) f´(x)≥0 (f´(x)≤0)

Слайд 24 Достаточный признак существования экстремума
Если непрерывная на интервале

Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет

функция y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках этого

интервала, за исключением, может быть, критической точки с, принадлежащей этому интервалу, и если f´(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция в точке с имеет максимум (минимум)

Слайд 25 Выпуклость и вогнутость графика функции
График дифференцируемой функции

Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым)

называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он расположен

ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале

Слайд 26 Достаточный признак выпуклости и вогнутости
Пусть функция y=f(x)

Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную

имеет вторую производную f´(x) во всех точках интервала (a;b).

Если во всех точках этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то график на (a;b) выпуклый (вогнутый).

Слайд 27 Достаточный признак существования точки перегиба
Если вторая производная

Достаточный признак существования точки перегиба Если вторая производная f´(x) непрерывной функции

f´(x) непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через

точку х0, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции.

Слайд 28 Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции y=f(x) называется

Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от

прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции

стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Слайд 29 План исследования функции и построение графика
Область определения

План исследования функции и построение графика Область определения функции.Точки пересечения графика

функции.
Точки пересечения графика функции с осями координат.
Четность, нечетность функции.
Исследование

функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.
Невертикальные асимптоты.
Интервалы монотонности и экстремумы.
Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Дополнительные точки, , периодичность (по мере необходимости).
Построение графика.