Слайд 2
Содержание
Введение….…………………………...……………………...…………3
Цели данной работы………………………………….……...……..…4
Теория. Основные формулы метода координат…......................….6
Алгоритм применения
метода координат к решению геометрических задач …………………………………………...……7
Пример простейшей задачи
на применение метода координат….....…………………………………...………………...…11
Решение стереометрических задач части 2 из ЕГЭ геометрическим и векторно-координатным методами ......……..12
Уравнение плоскости через определитель…...................................17
Угол между плоскостями………………………………..…….……..19
Угол между прямой и плоскостью………………………………….21
Заключение ……………....………..……………………....……..…...23
Список использованной литературы …………....………….…......25
Слайд 3
Введение
Векторно-координатный метод решения задач на
сегодняшний день один из
самых эффективных и при
рациональном использовании позволяет решить
фактически все виды
математических, физических,
астрономических и технических задач. Кроме того,
координатный метод в рамках школьной программы
используется неполно. В своей работе мне бы хотелось
показать, как решаются стереометрические задачи, если
на них взглянуть с иной точки зрения, то есть
рассмотреть задачу в трехмерной системе координат.
Слайд 4
Цели данной работы
Раскрыть суть данного метода, используя основные
формулы, изученные в школьном курсе геометрии и дополнительный материал;
Показать
применение метода на несложных, элементарных задачах;
Решить сложные стереометрические задачи при помощи векторно-координатного метода, сравнить и показать его преимущества перед геометрическим
методом.
Слайд 5
Проблема в том, что не всегда удобно использовать
геометрический метод. Иногда он не очень лёгок при решении
некоторых задач … Всё это сопровождается нехваткой времени, так как геометрическое задание одно из последних, и до окончания экзамена, как правило, остаётся совсем немного.
Актуальность работы заключается в том, что изучив векторно- координатный метод, представленный в работе, мы сможем решать некоторые геометрические задачи второй части ЕГЭ более рационально.
Для начала рассмотрим, в чем же заключается метод координат.
Слайд 6
Теория. Основные формулы метода координат
Существует два способа решения
задач по стереометрии
Первый — геометрический, требует отличного знания
аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает умственное мышление и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Недостатки, что выкладки могут быть слишком объёмны.
Координатный метод решения заключается во введении (привязке к
исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем –
исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).
Он позволяет упростить решение некоторых стереометрических задач.
Слайд 7
Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач
сводится к следующему
Выбираем в пространстве систему координат из соображений
удобства выражения координат и наглядности изображения.
Находим координаты необходимых для нас точек.
Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
Слайд 8
Если в пространстве введена система координат OXYZ, каждой
точке пространства ставится в соответствие тройка чисел (x, y,
z).
Середина отрезка между точками M1(x; y; z) и M2(x1; y1; z1) имеет координаты
Расстояние между точками M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2) равно
Множество точек (х; у; z), координаты которых удовлетворяют уравнению (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2 есть сфера с центром (x0,y0,z0) и радиуса R.
Множество точек (х, у, z), координаты которых удовлетворяют уравнению ах + by + cz + d = 0 (а, Ь, с и d - некоторые числа) есть плоскость.
|M1M2|=
Слайд 9
Расстояние от точки (x0,y0,z0) до
плоскости α, уравнение которой имеет вид ах +
by + cz + d=0, равно
Косинус угла между прямыми, если известны координаты направляющих векторов, вычисляется по формуле
cosφ=
Слайд 10
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к
этим плоскостям:
Слайд 12
Пример простейшей задачи на применение метода координат
Задача 1.
Дан треугольник с вершинами A, B, C. Найти медиану AM
Дано:
ABC;A(0;1) B(1;-4);C(5;2)
Найти: AM=?
Решение:
Найдем координаты точки M(x,y) как середины отрезка ВС:
Найдем длину отрезка AM :
Ответ: .
Слайд 13
Решение стереометрических задач части 2 из ЕГЭ геометрическим
и векторно-координатным методами
В качестве примеров разберём несколько заданий ЕГЭ
последних
лет и решим двумя способами: геометрическим и
координатно - векторным.
Слайд 14
Задача 1.
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние
от точки A до плоскости BDC1.
Решение (геометрический способ)
Решение
Обозначим O
и O1 – центры граней
куба. Четырёхугольник
АО1С1О –параллелограмм, так как
АО||О1С1и АО = О1С1.
Следовательно, АО1|| OC1,
а ОС1 ϵ (BC1D), значит AO1 || (BC1D)
(по признаку параллельности
прямой и плоскости).
Расстояние от точки A до плоскости
BC1D равно расстоянию от точки O1
до этой плоскости, т.е. высоте O1E
треугольника OO1C1.
Слайд 15
Имеем OO1 = 1; O1C1 = ;
OC1
Найдём площадь треугольника ОО1С1.
S = OO1 ∙ O1C1 S = ∙1∙ =
Площадь этого треугольника можно найти другим способом: S = ∙ OC1 O1E
= ∙ O1E или = ∙ O1E , отсюда O1E = = =
Следовательно, O1E = .
Ответ: .
Слайд 16
Решение (векторно-координатным способ)
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы
ребро куба AD лежало на оси ОХ, AA1 на
оси OZ и AB на OY.
Тогда координаты некоторых точек
будут равны В(0;1;0), D(1;0;0) и
С1(1;1;1). Подставим координаты
этих точек в уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0
Получим систему уравнений или
Отсюда находим уравнение –Dx –Dy + Dz + D = 0 или х + у - z - 1 = 0
По формуле находим расстояние от точки A(0;0;0) до плоскости BDC1:
= =
Ответ: .
Слайд 17
Проанализировав два способа решения каждой задачи, можно сделать
вывод, что векторно-координатный способ в некоторых задачах бывает более
удобен. Можно сказать, что он алгоритмичен, а это экономит время на экзамене, что важно.
Слайд 18
Рассмотрим уравнение плоскости через определитель
Теорема. Пусть даны координаты
трёх точек, через которые надо
провести плоскость: M1 (x1, y1, z1); M2
(x2, y2, z2); M3 (x3, y3, z3).
Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:
Затем определитель раскрывается по схеме и получается стандартное
уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0
где числа A, B, C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется
найти.
Слайд 19
Задача 2
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
A1
(0, 0, 1);
B (1, 0, 0);
C1 (1,
1, 1);
Составляем определитель и приравниваем его к нулю:
Раскрываем определитель:
a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Слайд 20
Задача 3
Угол между плоскостями
Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1
— прямо- угольник ABCD, в котором AB = 5,
AD = √ 33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перперпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √ 3
Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Слайд 22
Задача 4
Угол между прямой и плоскостью
В кубе ABCDA1B1C1D1
точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла
между прямой AE и плоскостью BDD1
Слайд 24
Заключение
В своей работе мы рассмотрели различные способы решения
геометрических задач,
используя известные методы.
Анализируя все решения, сделали для себя
важные выводы:
А) Во-первых, благодаря такой работе снимается психологический барьер перед
поиском решения задачи.
Ведь если знаешь, что задача имеет несколько способов решения, то смелее
берешься за нее. Постепенно, решая задачу за задачей, приобретаешь некоторый
опыт, что позволяет развить математическое чутье.
Б) Во-вторых, подробный разбор способов решения задач является хорошим
подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал.
В) В-третьих, при такой работе над задачей формируется логическое мышление,
развивается интуиция, систематизируются знания.
Г) В-четвертых, овладевая основными методами решения задач, можно
рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные
преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы
познавательной деятельности - наблюдение, сравнение, обобщение.
Слайд 25
Все перечисленное создает условия для формирования навыков исследовательской
деятельности, способствующей накоплению творческого потенциала. Думаем, что данная работа
поможет нам успешно сдать Единый Государственный Экзамен по математике.
Я не смог рассмотреть все примеры задач на применение векторно-координатного метода, но он успешно применяется при вычислении углов между прямой и плоскостью, между прямыми, а также для отыскания расстояний от точки до плоскости, между плоскостями и прямыми.
