Презентация на тему Понятие двойного интеграла

это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число: И крайне желательно

найти его правильно =)
Результат (число  ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».
Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.

интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам.

Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:


Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса   у внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса   у внутреннего интеграла – это функции одной переменной  , зависящие от «икс».
Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область  . Область   представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры иливычислении объема тела вращения. Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.
После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл  , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.
Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!
Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:
Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками –будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции  , зависящие от «игрек».
Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:

нужно решать рассматриваемую задачу?
1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу

не решить. Точнее, решить можно, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область  , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Как быстро и грамотно выполнить чертёж, можно посмотреть в методическом материале Графики и основные свойства элементарных функций. Итак, этап первый – выполнить чертёж.
2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.
3) Взять внутренний интеграл
4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

 с областью интегрирования  .
Перейти к

повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.
Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: 











Обычная плоская фигура и ничего особенного.
Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:  
.

. 

есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в

область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением    и выходит из области через параболу    (красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси  ОХ  от 0 до 1 (зелёная стрелка).
Итак, что получилось: «игрек» изменяется от 0 до  ; «икс» изменяется от 0 до 1.
В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:
Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или простопорядком интегрирования
После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:
Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения, тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область  . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек», является  .
Если  , то  , причём: обратная функция    задает правую ветку параболы; обратная функция    задает левую ветку параболы.
Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция    определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например,  (1,1)  (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например,  в то же уравнение  :
Получено верное равенство, значит, функция    определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

.

интеграла?
Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла   

и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл    численно равен площади плоской фигуры D (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице:  .
Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры D ,ограниченной линиями  .
Для определённости считаем, что    на отрезке  . Площадь данной фигуры численно равна:
Изобразим область  D  на чертеже:











Выберем первый способ обхода области:
Таким образом: 

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

.

. 

:

по переменной «игрек»:
Неопределённый интеграл тут простейший, и далее

используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел
2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:
Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула    – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла!