Презентация на тему Исследовательская работа по математике Свойства педального треугольника. Точка Брокара.

требует углубленных знаний не только в алгебре, но и

геометрии.
Цель: Рассмотреть теоретические аспекты педального треугольника, точки Брокара и их практическое применение.

треугольник как разновидность треугольника, точку Брокара.
Показать практическое применение свойств

педального треугольника и расположения точки Брокара.

свойства педального треугольника.
Гипотеза: если выяснить свойства педального треугольника, месторасположение

точки Брокара и овладеть ими, то возникает объективная возможность для решения задач повышенной сложности.

задач
10. Если расстояние от педальной точки до

вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального треугольника
равны где R–радиус описанной окружности.
20. Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.

задач
30. Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры

la, lb, lc, соответственно на стороны а, b, с треугольника, то
50. Третий педальный треугольник подобен исходному.

задач
40. Перпендикуляры, опущенные их точки, лежащей в плоскости треугольника,

на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков.

Найти площадь педального треугольника точки Брокара, если стороны треугольника

равны 4, 7 и 5 см.
Решение.

основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника. А

сама эта точка называется педальной точкой.
Если педальную точку взять на описанной окружности, то основания перпендикуляров, опущенных от данной точки к сторонам треугольника, лежат на одной прямой, которая называется прямой Симсона.
Точкой Брокара называется такая педальная точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы. А такие углы называются углами Брокара.

окружность касается его боковых сторон в точках А и

Р, АР=12. Найдите периметр этого треугольника

Решение.
I способ

Пусть BCF – равнобедренный треугольник с основанием BF. Проведем высоту CH. Тогда BH=HF и BF=2BH=36. Следовательно, FH=BH=18. Тогда по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, AB=BH=HF=FP=18. Поскольку СН – ось симметрии треугольника ВСF, то центр вписанной окружности лежит на СН, а AB=FP. Следовательно, точки А и Р симметричны относительно прямой СН и поэтому АР||BF. Значит, треугольники АСР и BCF подобны. Отсюда следует, что треугольник АСР равнобедренный и АС=АР. Пусть АС=х. Из подобия треугольников ACP и BCF следует

значит, х=9. Поэтому, ВС=СР=х+18=27. Следовательно, искомый периметр треугольника BCF равен BF+2BC=36+54=90.

Отсюда получаем