Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему по математике на тему Многовариантные задачи по планиметрии (9-11 класс)

Содержание

1. Взаимное расположение линейных фигур1.1 Взаимное расположение различных точек на прямой1.2 Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих на одной прямой1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямой1.5 Взаимное
Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи)(типовые задания С4)Тихомирова Галина Юрьевна 1. Взаимное расположение линейных фигур1.1 Взаимное расположение различных точек на прямой1.2 Взаимное 4. Взаимное расположение элементов фигуры4.1 Выбор обозначений вершин многоугольника4.2 Выбор линейного элемента4.3 1. Взаимное расположение линейных фигур	Линейной будем считать фигуру, представляющую собой точку, отрезок, Пример 2. На прямой взяты точки A, B и C так, что Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и АВСDМ1 случай.  ВМ : МD = 1 : 2 АВСDМ2 случай.  ВМ : МD = 2 : 1. Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E, 	делящая эту Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E, 	делящая эту АВСDЕF АВСDЕ1F1 Пример 5. (ЕГЭ, 2010). В треугольнике ABC AB = 12, BC = АBCEFDxydЗамечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и Пример 6. Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая,	  пересекающая Может ли при данных условиях задачи прямая, проходящая через середину Е стороны 1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой Пример 7. Дан параллелограмм Пример 8. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. АВСGМO1EKNRRFOr2 случай. Окружность является вневписанной в треугольник ABС .\Ответ: 1 или 6. Пример 9. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = АВСEKFD2 случай. Окружность является вневписанной для треугольника ACD.Если окружность касается стороны BC Пример 10. (ЕГЭ, 2011). Прямая, перпендикулярная боковой стороне АВСLMKNOPγ(угол ABC – острый, AC2 < AB2 + BC2)Окружность, вписанная в четырёхугольник АВСLMKNOPγ АВСLMKNOPγ 1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямойПример 11. Около треугольника 1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямыхПример 12. Трапеция с основаниями 1 случай. Центр O окружности лежит внутри трапеции. EF = EO + 2. Взаимное расположение прямолинейных фигур2.1 Взаимное расположение треугольниковПример 13. Дан равнобедренный треугольник АВСРFDEНGxy1 случай. Точки Е и В в одной полуплоскостис границей АС.	 Cоставим систему уравнений:? АВСFDНGE1Р12 случай. Точки Е и В в разных полуплоскостях 	  с 2.2 Взаимное расположение треугольника и ВСMKАN АВСMKN1 случай. 2.3 Взаимное расположение многоугольниковРешение. АВСDНMK АВСKDНM2 случай. Точка Н принадлежит лучу АВ, АВ < AH < 3AB.Е=>При АDВKMН3 случай.  Точка Н принадлежит лучу АВ, AH ≥ 3АВ.=>противоречит условию AH ≥ 3АВ. 2.4 Взаимное расположение треугольника и АВСHO1KLOM1r11281 случай. Окружность касается сторон AB и BC. => АВСHOM2r2r2N128O22 случай. Две окружности, одинакового радиуса, 	  касаются основания AC и 3. Взаимное расположение окружностей3.1 Расположение центров окружностей относительно общей касательнойПример 17. Прямая А2В2rRO1K1O2А1В1rl1l2aK2Решение. О2К1 ┴ О1A1, 3.2 Расположение центров окружностей относительно их общей точки касанияRO1K1O2АВrKCO1O2АВC	  1 случай RO1K1O2АВrKC1 случай. Внешнее касание окружностей.Общая касательная KK1 перпендикулярна линии центров. O1O2АВCRr2 случай. Внутреннее касание окружностей.   В этом случае при исходных Пример 19. Окружности S1 и S2 радиусов R и r ( R O1O2АВrRraM1-й способ решения. Пусть  O1AB = φ. По теореме Пифагораφ O1O2АВRra Внешнее касание окружностей.1 случай.MrRE2-й способ решения. Если через точку B вне MO1O2АВraНПо теореме Пифагора:Rφ O1OАВСDHLEO2E1L1F 1 случай. Внутреннее касание окружностей.2 случай. Внешнее касание окружностей.Геометрическое место точек, O1OАВСDHLEr 1 случай. Внутреннее касание окружностей.ll OАВСDFE12 случай. Внешнее касание окружностей.O2L1600RlRl Пример 21. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 АВСDЕO2llllllF1 случай. Внешнее касание окружностей.АВСDЕFllllll2 случай. Внутреннее касание окружностей. E1	АA1СC1EFDАВСC1EFDOQMOВ1 случай.  Искомая окружность 	 	   касается трёх данных E1АA1СC1EFDOВ1 случай.  Искомая окружность касается 	трёх данных внутренним образом.R = 2r = 28. АВСC1EFDQMOЛиния центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.По теореме Пифагора 3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хордыПересекающиеся окружности в точках А и O2АВO1rСR1 случай.  Центры окружностей лежат по разные 	   стороны O2O1САВrR2 случай. Центры окружностей лежат по одну 	  сторону от их общей хорды AB. O2АO1rСRO1O2САВrRВ1 случай.  Центры окружностей 	   лежат по разные стороны 1 случай.  Центры окружностей лежат по разные 	   стороны O2АВrRСO12 случай.  Центры окружностей лежат по одну 	   сторону O2DO1BO2СDВACO1A1 случай.  Центры окружностей 	   лежат по разные стороны O2DO1BACПусть DB = t, CD = 2t. =>=> O2СDВO1A 3.4 Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружностиПример 26. Окружности радиусов 20 OАВСMNE1 случай.  Центры окружностей лежат по разные 	   стороны OАВNO1MСE2 случай. Центры окружностей лежат по одну 	  сторону от их общей хорды AB. Пример 27. Расстояние между центрами двух окружностей равно 5r . Од- O1АВO2СMN1 случай. Центры окружностей лежат по 	 	  разные стороны от 2 случай. Центры окружностей лежат по одну	  стороны от их общей хорды MN.O1O2АВСMN При любом способе касания точкакасания и центры окружностей лежат на одной OАВO1СNE11 случай. Центры окружностей лежат по 	 	  разные стороны от OАВСNKO2E2L1L2 случай. Центры окружностей лежат по одну	  стороны от их общей хорды AB. 3.5 Расположение точек касания окружности и прямойПример 29. На стороне ВА угла OАВСED1 случай.  Окружность касается луча BС.300По теореме косинусов получаем Тогда центр АВСEDO1Е1G2 случай.  Точка касания Е1 лежит на O2АВO1RErДоказательство.AB = O1E = Пример 30. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат O3MPO19E4O2r3Решение.2 случай. MP = MK + KP.K O2АKO1K1OEK2MR = 2 1 случай.  Точка касания искомой окр. с АK АKO1K1OMR = 21 случай. Точка касания искомой окр. 	 с АK левее O2АKOEK2MR = 22 случай.  Точка касания искомой окр. с АK правее Пример 32. Найдите радиус окружности, вписанной в угол MKN равный KBO1B1ONMR = 41 случай.  Точка касания искомой окр. O2KBONB2MR = 4A1A2C22 случай.  Точка касания искомой окр. 4. Взаимное расположение элементов фигуры4.1 Выбор обозначений вершин многоугольникаАВСDEАСDF3 сл. АВСDEFРешение. 1 случай Медиана треугольника разбиваетего на два равновеликих треугольника.Диагональ параллелограмма разбивает 1 сл.    2 сл.    4 сл. АВСDE9133Решение. 1 случайТрапеция разбивается диагоналямина два равновеликих треугольника(примыкающих к боковым сторонам) и 4 сл.    3 сл.    DABCE27399BCDAE273992 сл. Пример 35. (ЕГЭ-2011). Периметр равнобедренной трапеции равен 136.	   Известно, что АСDOBLNMРешение. 1 случайПо свойству описанного четырёхугольникаAB + CD = BC + AD АСDOBFHРешение. 2 случайEQПоскольку трапеция равнобедренная,то для прямых, проходящих через вершины C и 2 случай    3 случай    1 случай АВNMС1 случай. MN || BCРешение. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две 3 случай. MN || ABАВNСMОтвет: 2. 4.3 Выбор углового элементаПример 37. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. BСAO По обобщенной теореме синусов BAСOРешение. Пусть угол С – тупой. Пример 38. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. AСBHEFDРешение. ВЕ ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC. BACFHEDРешение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC. АВCFHEDРешение. ВF ┴ AC, CD ┴ AB, AE ┴ BC. АВCFHEDРешение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC. АВC(H)EРешение. ВE ┴ AC. Аналогично Опорная задача. Если Н – ортоцентр треугольника, то радиусы AСBHED	Пример 39. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. AСBHEDРешение. Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и BCH равны. CABHDEРешение. AСBHEDРешение. AСBHEDРешение. Опорная задача. Пусть в треугольнике АВС проведены высоты AA1 и CC1 . AHCBC1B1A1Доказательство. Рассмотрим тупоугольный 	        треугольник ABC. BACHC1A1B1Пример 40. Точки A1, B1, C1 – основания высот треугольника ABC. BACHC1A1B1Решение. Аналогично получим: AHBCB1C1A1Аналогично получим: Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.	3. Угол АВС – тупой.	4. Угол Опорная задача. Высоты остроугольного треугольника являются Пример 41. Окружности с центрами О и В радиуса ОВ пересекаются в BAKCREOJIab1 случай    1 случай. OI – отрезок общей внешней OBAKCREJIab2 случай. OJ – отрезок общей внешней касательной к двум касающимся 4.5 Выбор плоской фигурыПример 42. Основания трапеции равны a и b. Прямая, AСBHEDFxxbx – bPa – xa AСBHEDFxba AСBEDFРешение. Аналогично 1 случаю. 5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств5.1 Неопределенность между значением A1BCOHADH1D1Проекция боковой стороны равнобедренной трапециина большее основание равна полуразности оснований,а проекция диагонали Пример 44. Около треугольника ABC описана окружность с центром О, угол AСBOB1MM1 Центр вписанной окружности М, лежит на пересечении биссектрис треугольника. ABCMHПример 45. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. A1BCOHADH1D1Решение.  Ответ: 1 или 9. Опорная задача. Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О – 2 случай    	Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ACOMBNРешение.  илиПо следствие теоремы синусов 5.2 Интерпретация алгебраического решенияАСOКrMBАСOКrMB2 случай    1 случай АСOКrMBРешение.   B2Интерпретируем отрицательный корень: точка B расположена между точками M АВСD103634АВСD1036342 случай.    1 случай. АВСDE103634x3610в треугольнике DEC :Условию задачи соответствуютдва чертежа. В одном случае угол CDE АВСD103634xE36102. Пусть x = 10, тогда AD = 20.угол D – тупой. Пример 50. (ЕГЭ, 2011). Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна АСВMNOllПо формуле ГеронаДва ответа означают, что условию задачи соответствует треугольник со сторонами10, 5.3 Задачи с параметрамиПример 51. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом АСDC1BαТочка D – центр окружности, описаннойоколо прямоугольного треугольника.Точки C и C1 расположены АСDC1BαТочки C и C1 расположены по разные стороны от хорды AB.Четырехугольник AC1BC вписан в окружность, поэтому Пример 52. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, одна из его AСBllИспользуя неравенство треугольника, получаем систему АВСDMOO1αАВСDMOO1αАВСDMOO12 случай    1 случай    3 случай АВСDMOO1αПоэтому по разные стороны от прямой BD расположены центры O и O1 описанных около них окружностей. αАВСDMOO1 АВСDMOO1НГПГ
Слайды презентации

Слайд 2 1. Взаимное расположение линейных фигур
1.1 Взаимное расположение различных

1. Взаимное расположение линейных фигур1.1 Взаимное расположение различных точек на прямой1.2

точек на прямой
1.2 Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих

на одной прямой

1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой

1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямой

1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямых

2. Взаимное расположение прямолинейных фигур

2.1 Взаимное расположение треугольников

2.3 Взаимное расположение многоугольников

2.4 Взаимное расположение треугольника и окружности

3. Взаимное расположение окружностей

3.1 Расположение центров окружностей относительно общей касательной

3.2 Расположение центров окружностей относительно их общей точки касания

3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хорды

3.4 Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности

3.5 Расположение точек касания окружности и прямой

2.2 Взаимное расположение треугольника и многоугольника


Слайд 3 4. Взаимное расположение элементов фигуры
4.1 Выбор обозначений вершин

4. Взаимное расположение элементов фигуры4.1 Выбор обозначений вершин многоугольника4.2 Выбор линейного

многоугольника

4.2 Выбор линейного элемента

4.3 Выбор углового элемента

4.4 Выбор кругового

элемента

4.5 Выбор плоской фигуры

5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств

5.1 Неопределенность между значением синуса (косинуса) угла и видом угла

5.2 Интерпретация алгебраического решения

5.3 Задачи с параметрами


Слайд 4
1. Взаимное расположение линейных фигур
Линейной будем считать фигуру,

1. Взаимное расположение линейных фигур	Линейной будем считать фигуру, представляющую собой точку,

представляющую собой точку, отрезок, луч, прямую.
При решении задач

условие может трактоваться неоднозначно, если для рассматриваемых фигур не указано их взаимное расположение. 1.1 Взаимное расположение различных точек на прямой

Пример 1. На прямой взяты точки A, B и C так, что расстояние между
точками A и B равно 5, а между B и C равно 3. Найдите расстояние между точками A и C .

Решение. Неоднозначность в данной задаче состоит в том, что на прямой не
указано взаимное расположение точек A, B и C относительно друг друга. Можно записать шесть различных вариантов расположение этих точек:

А

В

С

В

А

С

А

В

С

В

А

С

С

В

А

В

С

А

АС = АВ + ВС = 5 + 3 = 8

Случай невозможен
СВ < АВ

Ответ: 8 или 2.

а)

b)

с)

СГ


Слайд 5
Пример 2. На прямой взяты точки A, B

Пример 2. На прямой взяты точки A, B и C так,

и C так, что точка В расположена

правее точки A и АB : ВС = 3. Найдите отношение АС : АВ.

А

В

С

1 сл.

А

С

В

2 сл.

А

В

С

3 сл.


Слайд 6
Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит

Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD

на диагонали BD и делит ее в отношении 1:

2 . Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCМ равна 60.

А

В

С

D

М

А

В

С

D

М

1 сл. ВМ:МD = 1:2

2 сл. ВМ:МD = 2:1


Слайд 7
Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит

Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD

на диагонали BD и делит ее в отношении 1

: 2 . Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCМ равна 60.

А

В

С

D

М

1 случай. ВМ : МD = 1 : 2

А

В

С

D

2 случай. ВМ : МD = 2 : 1


Слайд 8 А
В
С
D
М
1 случай. ВМ : МD = 1

АВСDМ1 случай. ВМ : МD = 1 : 2

Слайд 9 А
В
С
D
М
2 случай. ВМ : МD = 2

АВСDМ2 случай. ВМ : МD = 2 : 1.

: 1.


Слайд 10
Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана

Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E, 	делящая

точка E,
делящая эту сторону прямой в отношении 2

: 3 . Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке F . Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD ?

А

В

С

D

Е

Е1

F

F1

2 случай. Е1C : BЕ1 = 2 : 3, решая аналогично,


Слайд 11
Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана

Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E, 	делящая

точка E,
делящая эту сторону прямой в отношении 2

: 3 . Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке F . Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD ?

А

В

С

D

Е

F

Е1

F1

1 случай. ВЕ : ЕС = 2 : 3

2 случай. ВЕ1 : Е1С = 3 : 2


Слайд 12 А
В
С
D
Е
F

АВСDЕF

Слайд 13 А
В
С
D
Е1
F1

АВСDЕ1F1

Слайд 14
Пример 5. (ЕГЭ, 2010). В треугольнике ABC AB

Пример 5. (ЕГЭ, 2010). В треугольнике ABC AB = 12, BC

= 12, BC = 5, CA = 10. Точка

D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 4 : 9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF.

А

B

C

E

F

D

x

y

d


Слайд 15 А
B
C
E
F
D
x
y
d
Замечание. Так как в решении не исследовано расположение

АBCEFDxydЗамечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и

точек Е и F на

отрезке AD, то при вычислении длины отрезка EF использован знак модуля.

Слайд 16
Пример 6. Через середину стороны AB квадрата ABCD

Пример 6. Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая,	 пересекающая

проведена прямая,
пересекающая прямые CD и AD в

точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.

А

В

С

D

М

Т

Е

1 случай. Прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекает отрезок CD и
продолжение отрезка AD за точку D.

А

В

С

D

М

Т

Е

2 случай. Прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекает отрезок CD и продолжение отрезка AD за точку А.

Ответ: 2 или 10.

1.2 Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих на одной прямой


Слайд 17 Может ли при данных условиях задачи прямая, проходящая

Может ли при данных условиях задачи прямая, проходящая через середину Е

через середину Е стороны АВ, пересекать продолжение
отрезка CD за

точку:
D и отрезок AD,
С и отрезок ВС ?

Почему?

Слайд 18
1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой

1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой Пример 7. Дан

Пример 7. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А

и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.

А

В

С

D

М

K

N

А

В

С

D

K

N

М

2 случай. Точка М внутри параллелограмма.

NC = x и AB = BN = 2x .
2(2x + 3x) = 40
x = 4 .
Значит, AB = 8 и BC = 8 + 4 = 12 .

Ответ: 5; 15 или 8; 12.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

1 случай. Точка М вне параллелограмма.


Слайд 19
Пример 8. Прямая отсекает от сторон прямого угла

Пример 8. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и

отрезки 3 и 4.

Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

А

В

С

G

М

O1

E

K

N

R

R

F

O

r

1 случай. Окружность вписана в треугольник.

FOGC – квадрат и отрезки касательных, проведенных из одной точки
к окружности, равны, то

2-й способ. Выразим площадь прямо-
угольного треугольника двумя способами.

1-й способ. r – радиус вписанной окружности.


Слайд 20 А
В
С
G
М
O1
E
K
N
R
R
F
O
r
2 случай. Окружность является вневписанной в треугольник ABС

АВСGМO1EKNRRFOr2 случай. Окружность является вневписанной в треугольник ABС .\Ответ: 1 или 6.

.
\
Ответ: 1 или 6.


Слайд 21
Пример 9. Дана трапеция ABCD, основания которой BC

Пример 9. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD

= 44, AD = 100,
AB

= CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в точке K . Найдите длину отрезка CK .

А

В

С

E

K

F

D

Решение. ВЕ ┴ AD, CF ┴ AD.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований
(средней линии).


Слайд 22 А
В
С
E
K
F
D
2 случай. Окружность является
вневписанной для треугольника ACD.
Если

АВСEKFD2 случай. Окружность является вневписанной для треугольника ACD.Если окружность касается стороны

окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон

AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.

Ответ: 5 или 30.

L


Слайд 23
Пример 10. (ЕГЭ, 2011). Прямая, перпендикулярная боковой стороне

Пример 10. (ЕГЭ, 2011). Прямая, перпендикулярная боковой стороне

равнобедренного треугольника со сторонами

10, 10 и 12, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти площадь этого четырехугольника.

А

В

С

L

M

K

N

O

P

А

В

С

L

M

K

N

O

P

1 случай

2 случай


Слайд 24 А
В
С
L
M
K
N
O
P
γ
(угол ABC – острый, AC2 < AB2 +

АВСLMKNOPγ(угол ABC – острый, AC2 < AB2 + BC2)Окружность, вписанная в

BC2)
Окружность, вписанная в четырёхугольник – окружность,
вписанная в треугольник

ABC.

CK = CL = 6 по свойству касательных.


Слайд 25 А
В
С
L
M
K
N
O
P
γ

АВСLMKNOPγ

Слайд 26 А
В
С
L
M
K
N
O
P
γ

АВСLMKNOPγ

Слайд 27
1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне

1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямойПример 11. Около

прямой
Пример 11. Около треугольника ABC описана окружность с центром

О. Найдите величину угла ACB, если угол ОСB равен 10°, а АОС = 40°.

А

В

С1

С

А1

О

40°

40°

10°

?

Решение. СС1 = 2R,


Слайд 28
1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямых
Пример

1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямыхПример 12. Трапеция с

12. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в

окружность радиуса
25. Найдите высоту трапеции.

А

В

D1

С

А1

О

F

E1

D

E

Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.

Решение. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.
Пусть BC = 14 – хорда окружности R = 25. Существует две хорды AD || BC, A1D1 || BC и AD = A1D1 = 40 .

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.

Центр описанной окружности O на серединном перпендикуляре к BC .


Слайд 29 1 случай. Центр O окружности лежит внутри трапеции.

1 случай. Центр O окружности лежит внутри трапеции. EF = EO


EF = EO + OF = 39 .
А
В
С
О
F
D
E
2 случай.

Центр O окружности лежит вне трапеции.

В

D1

С

А1

О

F

E1

E1F = FO – OE1 = 9.

Ответ: 39 или 9.

Радиус (диаметр), перпендикулярный
хорде, делит хорду пополам.


Слайд 30
2. Взаимное расположение прямолинейных фигур
2.1 Взаимное расположение треугольников
Пример

2. Взаимное расположение прямолинейных фигур2.1 Взаимное расположение треугольниковПример 13. Дан равнобедренный

13. Дан равнобедренный треугольник АВС, AB = BC =

10 и AC = 12.
Параллельно боковым сторонам треугольника на одинаковом расстоянии от них проведены прямые. Найти это расстояние, если площадь треугольника, образованного этими прямыми и основанием, лежащим на прямой АС, равна 12.

А

В

С

Р

F

D

E

Н

G

1 случай. Точки Е и В в одной
полуплоскости с границей АС.

E1

Р1

2 случай. Точки Е и В в разных
полуплоскостях с границей АС.

СГ

ПГ


Слайд 31 А
В
С
Р
F
D
E
Н
G
x
y
1 случай. Точки Е и В в одной

АВСРFDEНGxy1 случай. Точки Е и В в одной полуплоскостис границей АС.	 Cоставим систему уравнений:?

полуплоскости
с границей АС.
Cоставим систему уравнений:
?


Слайд 32 А
В
С
F
D
Н
G
E1
Р1
2 случай. Точки Е и В в разных

АВСFDНGE1Р12 случай. Точки Е и В в разных полуплоскостях 	 с

полуплоскостях
с границей АС.
E1F || AВ, E1G

|| BC.

?

Ответ: 2,4 или 7,2.


Слайд 33
2.2

2.2 Взаимное расположение треугольника и многоугольникаАВСMKN2 случай  1 случай  АВСMKN

Взаимное расположение треугольника и многоугольника
А
В
С
M
K
N
2 случай



1 случай

А

В

С

M

K

N


Слайд 34 В
С
M
K
А
N

ВСMKАN

Слайд 35 А
В
С
M
K
N
1 случай.

АВСMKN1 случай.

Слайд 36
2.3

2.3 Взаимное расположение многоугольниковРешение.

Взаимное расположение многоугольников
Решение.

2 случай.
Точка Н принадлежит
лучу АВ, 3АВ > AH >AB.

1 случай.
Точка Н принадлежит
отрезку АВ, AH ≤ AB.

А

В

С

K

D

Н

M

А

В

С

D

Н

M

K

А

D

В

С

K

M

Н

3 случай.
Точка Н принадлежит
лучу АВ, AH ≥ 3АВ .


Слайд 37 А
В
С
D
Н
M
K

АВСDНMK

Слайд 38 А
В
С
K
D
Н
M
2 случай. Точка Н принадлежит лучу АВ, АВ

АВСKDНM2 случай. Точка Н принадлежит лучу АВ, АВ < AH <

< AH < 3AB.

Е
=>
При этом площади ромбов
принимают одно

из значений


Слайд 39 А
D
В
K
M
Н
3 случай. Точка Н принадлежит лучу АВ,

АDВKMН3 случай. Точка Н принадлежит лучу АВ, AH ≥ 3АВ.=>противоречит условию AH ≥ 3АВ.

AH ≥ 3АВ.

=>
противоречит условию AH ≥ 3АВ.


Слайд 40
2.4

2.4 Взаимное расположение треугольника и окружностиАВСHO1KLOO2M1M21 случай.

Взаимное расположение треугольника и окружности
А
В
С
H
O1
K
L
O
O2
M1
M2

1 случай. Окружность касается сторон

AB и BC.

2 случай. Две окружности, одинакового радиуса, касаются основания AC и AB или BC .

r1

r2

r2

N

128

При любом способе касания
точка касания и центры окружностей
лежат на одной прямой.


Слайд 41 А
В
С
H
O1
K
L
O
M1
r1
128
1 случай. Окружность касается сторон AB и BC.

АВСHO1KLOM1r11281 случай. Окружность касается сторон AB и BC. =>


=>


Слайд 42 А
В
С
H
O
M2
r2
r2
N
128
O2
2 случай. Две окружности, одинакового радиуса,

АВСHOM2r2r2N128O22 случай. Две окружности, одинакового радиуса, 	 касаются основания AC и

касаются основания AC и AB или BC .
=>
Ответ: 16

или 64.

Слайд 43
3. Взаимное расположение окружностей
3.1 Расположение центров окружностей
относительно

3. Взаимное расположение окружностей3.1 Расположение центров окружностей относительно общей касательнойПример 17.

общей касательной
Пример 17. Прямая касается окружностей радиусов R и

r. Известно, что
расстояние между их центрами равно a, причем R > r и a > r + R. Найдите расстояние между точками касания.

А2

В2

r

R

O1

K1

O2

А1

В1

r

l1

l2

a

K2

СГ

ПГ


Слайд 44 А2
В2
r
R
O1
K1
O2
А1
В1
r
l1
l2
a
K2
Решение. О2К1 ┴ О1A1,

А2В2rRO1K1O2А1В1rl1l2aK2Решение. О2К1 ┴ О1A1,      О2К2 ┴

О2К2 ┴ О1В1.



Слайд 45
3.2 Расположение центров окружностей
относительно их общей точки

3.2 Расположение центров окружностей относительно их общей точки касанияRO1K1O2АВrKCO1O2АВC	 1 случай

касания

R
O1
K1
O2
А
В
r
K
C
O1
O2
А
В
C

1 случай
Внешнее касание окружностей.



2 случай
Внутреннее касание окружностей.


R

r


Слайд 46 R
O1
K1
O2
А
В
r
K
C
1 случай. Внешнее касание окружностей.

Общая касательная KK1 перпендикулярна

RO1K1O2АВrKC1 случай. Внешнее касание окружностей.Общая касательная KK1 перпендикулярна линии центров.

линии центров.


Слайд 47 O1
O2
А
В
C
R
r
2 случай. Внутреннее касание окружностей.


В

O1O2АВCRr2 случай. Внутреннее касание окружностей.  В этом случае при исходных

этом случае при исходных числовых данных задача не имеет

решения .

Слайд 48
Пример 19. Окружности S1 и S2 радиусов R

Пример 19. Окружности S1 и S2 радиусов R и r (

и r ( R > r ) соответственно
касаются в

точке A . Через точку B, лежащую на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2 в точке M .
Найдите BM , если известно, что AB = a.

R

O1

O2

А

В

r

R

M

r

a

Внешнее касание окружностей.

1 случай

O1

O2

А

В

r

a

2 случай

Внутреннее касание окружностей.

M

φ


Слайд 49 O1
O2
А
В
r
R
r
a
M
1-й способ решения.
Пусть O1AB = φ.

O1O2АВrRraM1-й способ решения. Пусть O1AB = φ. По теореме Пифагораφ


По теореме Пифагора
φ


Слайд 50 O1
O2
А
В
R
r
a
Внешнее касание окружностей.

1 случай.
M
r
R
E
2-й способ решения.
Если

O1O2АВRra Внешнее касание окружностей.1 случай.MrRE2-й способ решения. Если через точку B

через точку B вне окружности
провести секущую и касательную, то
произведение

длины секущей на ее
внешнюю часть будет равно квадрату
длины касательной
(теорема о секущей и касательной).

Слайд 51 M
O1
O2
А
В
r
a
Н
По теореме Пифагора:
R
φ

MO1O2АВraНПо теореме Пифагора:Rφ

Слайд 52
O1
O
А
В
С
D
H
L
E
O2
E1
L1
F
1 случай. Внутреннее касание окружностей.

2 случай. Внешнее

O1OАВСDHLEO2E1L1F 1 случай. Внутреннее касание окружностей.2 случай. Внешнее касание окружностей.Геометрическое место

касание окружностей.

Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть

биссектриса этого угла.

В обоих случаях центры O1 и O2 этих окружностей будут лежать на биссектрисе угла ADC.


Слайд 53 O1
O
А
В
С
D
H
L
E
r
1 случай. Внутреннее касание окружностей.

l
l

O1OАВСDHLEr 1 случай. Внутреннее касание окружностей.ll

Слайд 54 O
А
В
С
D
F
E1
2 случай. Внешнее касание окружностей.

O2
L1
600
R
l
R
l

OАВСDFE12 случай. Внешнее касание окружностей.O2L1600RlRl

Слайд 55
Пример 21. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной

Пример 21. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5

5 и основанием

8 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

А

В

С

D

Е

F

O2

ll

ll

l

l

AD = 4, BD = 3, ED = 1, FD =5.



2 случай.
Внутреннее касание окружностей.

1 случай.
Внешнее касание окружностей.

В обоих случаях центры O1 и O2
этих окружностей будут лежать
на биссектрисе угла – прямой BD.


Слайд 56 А
В
С
D
Е
O2
ll

ll

l
l
F
1 случай. Внешнее касание окружностей.
А
В
С
D
Е
F
ll

ll

l
l
2 случай. Внутреннее касание

АВСDЕO2llllllF1 случай. Внешнее касание окружностей.АВСDЕFllllll2 случай. Внутреннее касание окружностей.

окружностей.


Слайд 57 E1

А
A1
С
C1
E
F
D
А
В
С
C1
E
F
D
O
Q
M
O
В
1 случай. Искомая окружность

E1	АA1СC1EFDАВСC1EFDOQMOВ1 случай. Искомая окружность 	 	  касается трёх данных 		  внутренним образом.

касается трёх данных внутренним образом.


Слайд 58 E1
А
A1
С
C1
E
F
D
O
В
1 случай. Искомая окружность касается трёх данных

E1АA1СC1EFDOВ1 случай. Искомая окружность касается 	трёх данных внутренним образом.R = 2r = 28.

внутренним образом.
R = 2r = 28.


Слайд 59 А
В
С
C1
E
F
D
Q
M
O
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку

АВСC1EFDQMOЛиния центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.По теореме

их касания.
По теореме Пифагора AQ 2 = AM 2

+ QM 2.

Слайд 60
3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хорды

Пересекающиеся окружности

3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хордыПересекающиеся окружности в точках А

в точках А и В имеют общую хорду АВ.


Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

Пример 23. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB = 16.

O2

А

В

O1

r

С

R

O2

O1

С

А

В

r

R

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.


Слайд 61 O2
А
В
O1
r
С
R
1 случай. Центры окружностей лежат по разные

O2АВO1rСR1 случай. Центры окружностей лежат по разные 	  стороны от

стороны от их общей хорды AB.
O1O2

= O1С + O2С,

O1O2 = 15 + 6 = 21.


Слайд 62 O2
O1
С
А
В
r
R
2 случай. Центры окружностей лежат по одну

O2O1САВrR2 случай. Центры окружностей лежат по одну 	 сторону от их общей хорды AB.

сторону от их общей хорды AB.


Слайд 63
O2
А
O1
r
С
R
O1
O2
С
А
В
r
R
В
1 случай. Центры окружностей

O2АO1rСRO1O2САВrRВ1 случай. Центры окружностей 	  лежат по разные стороны

лежат по разные стороны
от их

общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.


Слайд 64 1 случай. Центры окружностей лежат по разные

1 случай. Центры окружностей лежат по разные 	  стороны от

стороны от их общей хорды AB.
Пусть

AC = x.

O2

А

O1

r

R

В

С

l

l

l

l

l

l


Слайд 65 O2
А
В
r
R
С
O1
2 случай. Центры окружностей лежат по одну

O2АВrRСO12 случай. Центры окружностей лежат по одну 	  сторону от

сторону от их общей хорды AB.
Проводя

аналогичные рассуждения, получим

Слайд 66
O2
D
O1
B
O2
С
D
В
A
C
O1
A
1 случай. Центры окружностей

O2DO1BO2СDВACO1A1 случай. Центры окружностей 	  лежат по разные стороны

лежат по разные стороны
от их

общей хорды AD.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AD.


Слайд 67 O2
D
O1
B
A
C
Пусть DB = t, CD = 2t.
=>
=>

O2DO1BACПусть DB = t, CD = 2t. =>=>

Слайд 68 O2
С
D
В
O1
A

O2СDВO1A

Слайд 69
3.4 Расположение центров окружностей относительно
хорды большей окружности

Пример

3.4 Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружностиПример 26. Окружности радиусов

26. Окружности радиусов 20 и 3 касаются внутренним образом.

Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M. Найдите длины отрезков AM и MB, если AB = 32.

O

А

В

O1

С

M

N

O

А

В

N

O1

M

С

E

E

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.


Слайд 70 O
А
В
С
M
N
E
1 случай. Центры окружностей лежат по разные

OАВСMNE1 случай. Центры окружностей лежат по разные 	  стороны от

стороны от их общей хорды AB.
O1
O1C

= O1M + MС = O1M + ON = 15,
OC = MN.


Слайд 71 O
А
В
N
O1
M
С
E
2 случай. Центры окружностей лежат по одну

OАВNO1MСE2 случай. Центры окружностей лежат по одну 	 сторону от их общей хорды AB.

сторону от их общей хорды AB.


Слайд 72
Пример 27. Расстояние между центрами двух окружностей равно

Пример 27. Расстояние между центрами двух окружностей равно 5r . Од-

5r . Од-
на из окружностей

имеет радиус r , а вторая – 7r . Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 1 : 6 . Найдите длину этой хорды.

O1

А

В

O2

С

M

N

O1

O2

А

В

С

M

N

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды MN.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды MN.


Слайд 73 O1
А
В
O2
С
M
N
1 случай. Центры окружностей лежат по

O1АВO2СMN1 случай. Центры окружностей лежат по 	 	 разные стороны от

разные стороны от их общей хорды MN.
Такой случай

невозможен.

Слайд 74 2 случай. Центры окружностей лежат по одну

2 случай. Центры окружностей лежат по одну	 стороны от их общей хорды MN.O1O2АВСMN

стороны от их общей хорды MN.
O1

O2
А
В
С
M
N


Слайд 75 При любом способе касания точка
касания и центры

При любом способе касания точкакасания и центры окружностей лежат на

окружностей лежат на одной прямой.

Пример 28. (ЕГЭ, 2010). В

окружности, радиус которой равен 15, проведена хорда AB = 24. Точка С лежит на хорде АВ так, что AC : BC = 1 : 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

O

А

В

O1

С

N

E1

K

O2

Е2

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.

Центры этих окружностей O1 и O2
будут лежать на перпендикуляре к хорде AB, проходящем через точку C.


Слайд 76 O
А
В
O1
С
N
E1
1 случай. Центры окружностей лежат по

OАВO1СNE11 случай. Центры окружностей лежат по 	 	 разные стороны от

разные стороны от их общей хорды AB.
K
L
Пусть O1E1

= r.

KO1 = KC + CO1 = 9 + r =>


Слайд 77 O
А
В
С
N
K
O2
E2
L1
L
2 случай. Центры окружностей лежат по одну

OАВСNKO2E2L1L2 случай. Центры окружностей лежат по одну	 стороны от их общей хорды AB.

стороны от их общей хорды AB.


Слайд 78
3.5 Расположение точек касания окружности и прямой

Пример 29.

3.5 Расположение точек касания окружности и прямойПример 29. На стороне ВА

На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая

точка D, что
AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, D касающейся прямой ВС.

O

А

В

С

E

D

O1

Е1

G

1 случай. Окружность касается луча BС.

2 случай. Точка касания Е1 лежит на продолжении луча BС за точку В.

Центр искомой окружности O –
точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AD и перпендикуляра к прямой ВС, восставленного из точки касания E окружности и прямой.


Слайд 79 O
А
В
С
E
D
1 случай. Окружность касается луча BС.
300
По теореме

OАВСED1 случай. Окружность касается луча BС.300По теореме косинусов получаем Тогда центр

косинусов получаем
Тогда центр O окружности совпадает
c серединой

отрезка AD.

т.е. DE = 1.


Слайд 80 А
В
С
E
D
O1
Е1
G
2 случай. Точка касания Е1 лежит на

АВСEDO1Е1G2 случай. Точка касания Е1 лежит на 	 	  продолжении

продолжении луча BС за точку

В.

O

300

BG = 2, GE1 = 1, GO = 2 + 2 = 4,


Ответ: 1 или 7.


Слайд 81 O2
А
В
O1
R
E
r
Доказательство.
AB = O1E =

O2АВO1RErДоказательство.AB = O1E =

Слайд 82
Пример 30. Окружности радиусов 4 и 9 касаются

Пример 30. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат

внешним образом, лежат по

одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из двух данных и той же прямой.

O1

M

P

O2

9

E

4

O3

r3

Решение.

1 случай.

MP = MK + KP.

K

Перебор вариантов в задаче зависит от расположения точки касания третьей окружности с прямой относительно точек касания первых двух окружностей с этой прямой.


Слайд 83 O3
M
P
O1
9
E
4
O2
r3
Решение.
2 случай.
MP = MK + KP.
K

O3MPO19E4O2r3Решение.2 случай. MP = MK + KP.K

Слайд 84
O2
А
K
O1
K1
O
E
K2
M
R = 2
1 случай.
Точка касания

O2АKO1K1OEK2MR = 2 1 случай. Точка касания искомой окр. с АK

искомой окр. с АK левее точки касания K.

2 случай.
Точка касания искомой окр. с АK правее точки касания K.

Слайд 85 А
K
O1
K1
O
M
R = 2
1 случай. Точка касания искомой окр.

АKO1K1OMR = 21 случай. Точка касания искомой окр. 	 с АK

с АK левее точки касания K.
r
AK = AK1

+ K1K,

Слайд 86 O2
А
K
O
E
K2
M
R = 2
2 случай.
Точка касания искомой

O2АKOEK2MR = 22 случай. Точка касания искомой окр. с АK правее

окр. с АK правее точки касания K.
r
AK2 = AK

+ KK2,

Слайд 87
Пример 32. Найдите радиус окружности, вписанной в угол

Пример 32. Найдите радиус окружности, вписанной в угол MKN равный

MKN равный
2arcsin 0,6 и касающейся

окружности, радиуса 4 также вписанной в угол MKN.

O2

K

B

O1

B1

O

N

B2

M

R = 4

1 случай.
Точка касания искомой окр. с KN левее точки касания B.

2 случай.
Точка касания искомой окр. с KN правее точки касания B.

A1

A2

C1

C2

Центры окружностей,
вписанных в угол, лежат на биссектрисе этого угла.


Слайд 88 K
B
O1
B1
O
N
M
R = 4
1 случай. Точка касания искомой

KBO1B1ONMR = 41 случай. Точка касания искомой окр. 	  с

окр. с KN левее точки касания

B

A1

A2

C1

r

OB ┴ KN, а KN = R = 4.

r = 1.


Слайд 89 O2
K
B
O
N
B2
M
R = 4
A1
A2
C2
2 случай. Точка касания искомой

O2KBONB2MR = 4A1A2C22 случай. Точка касания искомой окр. 	  с

окр. с KN правее точки касания

B

r = 16.

r

Ответ: 1 и 16.


Слайд 90
4. Взаимное расположение элементов фигуры
4.1 Выбор обозначений вершин

4. Взаимное расположение элементов фигуры4.1 Выбор обозначений вершин многоугольникаАВСDEАСDF3 сл.

многоугольника

А
В
С
D
E
А
С
D
F
3 сл.

C
D
F
B
B
D
A
4 сл.



В

E

F

C

E

F

E

F

1 сл.

2 сл.

СГ

ПГ


Слайд 91 А
В
С
D
E
F
Решение. 1 случай

Медиана треугольника разбивает
его на два

АВСDEFРешение. 1 случай Медиана треугольника разбиваетего на два равновеликих треугольника.Диагональ параллелограмма

равновеликих треугольника.
Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.
В

остальных 3-х случаях искомая площадь будет равна S.

Ответ: S или 3S.


Слайд 92 1 сл.

2 сл.

1 сл.  2 сл.  4 сл.  3 сл.



4 сл.

3 сл.




Пример 34. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

А

В

С

D

E

9

1

3

3

C

D

A

B

E

81

9

27

27

D

A

B

C

E

27

3

9

9

B

C

D

A

E

27

3

9

9


Слайд 93 А
В
С
D
E
9
1
3
3
Решение. 1 случай

Трапеция разбивается диагоналями
на два равновеликих треугольника
(примыкающих

АВСDE9133Решение. 1 случайТрапеция разбивается диагоналямина два равновеликих треугольника(примыкающих к боковым сторонам)

к боковым сторонам)
и два подобных треугольника
(примыкающих к

основаниям).

Если у двух треугольников равны
высоты, то их площади относятся
как основания.


Слайд 94 4 сл.

3 сл.

4 сл.  3 сл.  DABCE27399BCDAE273992 сл.  CDABE8192727Ответ: 16; 48; 144.



D
A
B
C
E
27
3
9
9
B
C
D
A
E
27
3
9
9
2 сл.

C
D
A
B
E
81
9
27
27
Ответ: 16;

48; 144.


Слайд 95
Пример 35. (ЕГЭ-2011). Периметр равнобедренной трапеции равен 136.

Пример 35. (ЕГЭ-2011). Периметр равнобедренной трапеции равен 136.	  Известно, что

Известно, что в эту трапецию можно вписать

окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении 9 : 25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найти отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

Стр 30

1 случай

А

С

D

O

B

L

N

M

2 случай

А

С

D

O

B

E

H

Q

P


Слайд 96 А
С
D
O
B
L
N
M
Решение. 1 случай

По свойству описанного четырёхугольника

AB + CD

АСDOBLNMРешение. 1 случайПо свойству описанного четырёхугольникаAB + CD = BC +

= BC + AD = 68.
Трапеция – равнобедренная, то

AB = CD = 34.

LN ┴ ВC, LN ┴ AD, BL = LC , AN = ND.


MB = BL и AM = AN
(отрезки касательных,
проведенные из одной точки),
то BC = 2BL = 18,
AD = 2AN = 50.

P


Слайд 97 А
С
D
O
B
F
H
Решение. 2 случай

E
Q
Поскольку трапеция равнобедренная,
то для прямых, проходящих

АСDOBFHРешение. 2 случайEQПоскольку трапеция равнобедренная,то для прямых, проходящих через вершины C

через вершины C и D получатся такие же результаты.


Слайд 98 2 случай

3 случай

2 случай  3 случай  1 случай  	4.2 Выбор



1 случай


4.2 Выбор

линейного элемента

Пример 36. Площадь треугольника ABC равна 8. MN – средняя линия.
Найдите площадь треугольника CMN.

А

В

N

M

С

А

В

M

С

А

В

N

С

M

N

MN || BC

MN || AC

MN || AB


Слайд 99 А
В
N
M
С
1 случай. MN || BC
Решение.

Прямая, параллельная стороне

АВNMС1 случай. MN || BCРешение. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая

треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник,

подобный данному.

А

В

M

С

N

2 случай. MN || AC


Слайд 100 3 случай. MN || AB
А
В
N
С
M
Ответ: 2.

3 случай. MN || ABАВNСMОтвет: 2.

Слайд 101
4.3 Выбор углового элемента

Пример 37. Треугольник ABC вписан

4.3 Выбор углового элементаПример 37. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса

в окружность радиуса 12. Известно,

что AB = 6 и BC = 4 . Найдите АС.

B

С

A

B

A

С

O

O

2 случай

1 случай


Слайд 102 B
С
A
O
По обобщенной теореме синусов

BСAO По обобщенной теореме синусов

Слайд 103 B
A
С
O
Решение.

Пусть угол С – тупой.

BAСOРешение. Пусть угол С – тупой.

Слайд 105
Пример 38. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке

Пример 38. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н.

Н.
Известно, что CH =

AB . Найдите угол АСВ.

A

С

B

H

E

F

D

B

A

C

F

H

E

D

2 случай

1 случай


Слайд 106 A
С
B
H
E
F
D
Решение. ВЕ ┴ AC, CD ┴ AB, AF

AСBHEFDРешение. ВЕ ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.

┴ BC.


Слайд 107 B
A
C
F
H
E
D
Решение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF

BACFHEDРешение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.

┴ BC.


Слайд 108 А
В
C
F
H
E
D
Решение. ВF ┴ AC, CD ┴ AB, AE

АВCFHEDРешение. ВF ┴ AC, CD ┴ AB, AE ┴ BC.

┴ BC.


Слайд 109 А
В
C
F
H
E
D
Решение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF

АВCFHEDРешение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.

┴ BC.


Слайд 110 А
В
C
(H)
E
Решение. ВE ┴ AC.
Аналогично

АВC(H)EРешение. ВE ┴ AC. Аналогично

Слайд 111 Опорная задача. Если Н – ортоцентр треугольника, то

Опорная задача. Если Н – ортоцентр треугольника, то радиусы

радиусы

окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой.

A

С

B

H

E

D

Доказательство.

В четырехугольнике AEHD углы E и D прямые,
то

Отсюда следует, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ВСН равны между собой.
Аналогичное доказательство проводят и для других треугольников.


Слайд 112 A
С
B
H
E
D

Пример 39. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке

AСBHED	Пример 39. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н.

Н.
Известно, что отрезок СН

равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

C

A

B

H

D

E

2 случай

1 случай


Слайд 113 A
С
B
H
E
D
Решение.
Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и

AСBHEDРешение. Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и BCH равны.

BCH равны.


Слайд 114 C
A
B
H
D
E
Решение.

CABHDEРешение.

Слайд 115 A
С
B
H
E
D
Решение.

AСBHEDРешение.

Слайд 116 A
С
B
H
E
D
Решение.

AСBHEDРешение.

Слайд 117 Опорная задача. Пусть в треугольнике АВС проведены высоты

Опорная задача. Пусть в треугольнике АВС проведены высоты AA1 и CC1

AA1 и CC1 .

Тогда треугольник A1BC1 подобен данному с коэффициентом подобия, равным |cos B|.

B

A

C

H

C1

A1

B1

Доказательство. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC.


Слайд 118 A
H
C
B
C1
B1
A1
Доказательство. Рассмотрим тупоугольный

AHCBC1B1A1Доказательство. Рассмотрим тупоугольный 	    треугольник ABC.

треугольник ABC.


Слайд 119
B
A
C
H
C1
A1
B1
Пример 40. Точки A1, B1, C1 – основания

BACHC1A1B1Пример 40. Точки A1, B1, C1 – основания высот треугольника ABC.

высот треугольника ABC.
Углы треугольника

A1B1C1 равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника ABC.

A

H

B

C

B1

C1

A1

2 случай

1 случай


Слайд 120 B
A
C
H
C1
A1
B1
Решение.
Аналогично получим:

BACHC1A1B1Решение. Аналогично получим:

Слайд 121 A
H
B
C
B1
C1
A1
Аналогично получим:

AHBCB1C1A1Аналогично получим:

Слайд 122 Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.
3. Угол

Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.	3. Угол АВС – тупой.	4. Угол

АВС – тупой.
4. Угол ВАС – тупой.

Случаи, когда один из углов АВС, ВАС, АСВ – прямой, невозможны (почему?).

Замечание. Другое решение может быть основано на следующей опорной
задаче:
Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника (треугольник, образованный основаниями высот).


Слайд 123 Опорная задача. Высоты остроугольного треугольника являются

Опорная задача. Высоты остроугольного треугольника являются

биссектрисами

его ортотреугольника (треугольник, образованный основаниями высот).

B

A

C

H

C1

A1

B1

Если треугольник тупоугольный, то две его высоты — биссектрисы внешних углов ортотреугольника, а третья — биссектриса внутреннего угла.


Слайд 124 Пример 41. Окружности с центрами О и В

Пример 41. Окружности с центрами О и В радиуса ОВ пересекаются

радиуса ОВ пересекаются в точке С. Радиус ОА окружности

с центром О перпендикулярен ОВ, причем точки А и С лежат по одну сторону от прямой ОВ. Окружность S1 касается меньших дуг АВ и ОС этих окружностей, а также прямой ОА, а окружность S2 касается окружности с центром В, прямой ОА и окружности S1. Найдите отношение радиуса окружности S1 к радиусу окружности S2.

B

A

K

C

R

4.4 Выбор кругового элемента

E

O

J

I

a

b

O

B

A

K

C

R

E

J

I

a

b

1 случай

2 случай


Слайд 125 B
A
K
C
R
E
O
J
I
a
b
1 случай

1 случай.
OI

BAKCREOJIab1 случай  1 случай. OI – отрезок общей внешней касательной

– отрезок общей внешней касательной к двум касающимся

окружностям радиусов a и R.

R = 6a.


Слайд 126 O
B
A
K
C
R
E
J
I
a
b
2 случай.
OJ – отрезок общей внешней касательной

OBAKCREJIab2 случай. OJ – отрезок общей внешней касательной к двум касающимся

к двум касающимся

окружностям радиусов b и R.

Слайд 127 4.5 Выбор плоской фигуры
Пример 42. Основания трапеции равны

4.5 Выбор плоской фигурыПример 42. Основания трапеции равны a и b.

a и b. Прямая, параллельная

основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3 . Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.

A

С

B

H

E

D

F

x

x

b

x – b

A

С

B

E

D

F

P

a – x

a


Слайд 128 A
С
B
H
E
D
F
x
x
b
x – b
P
a – x
a

AСBHEDFxxbx – bPa – xa

Слайд 129 A
С
B
H
E
D
F
x
b
a

AСBHEDFxba

Слайд 130 A
С
B
E
D
F
Решение. Аналогично 1 случаю.

AСBEDFРешение. Аналогично 1 случаю.

Слайд 131
5. Соответствие между множеством фигур и множеством их

5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств5.1 Неопределенность между

свойств
5.1 Неопределенность между значением синуса (косинуса) угла
и видом

угла

Пример 43. Радиус окружности равен 1. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 2. Ответ дайте в градусах.

A

B

O

A1

C

α

Решение.

Все вписанные углы, опирающиеся на эту хорду, с вершинами, лежащими на одной дуге, будут равны.

Хорда BC разбивает
окружность на две дуги.

ПГ


Слайд 132
A1
B
C
O
H
A
D
H1
D1
Проекция боковой стороны
равнобедренной трапеции
на большее основание равна

A1BCOHADH1D1Проекция боковой стороны равнобедренной трапециина большее основание равна полуразности оснований,а проекция

полуразности оснований,
а проекция диагонали — полусумме оснований (средней линии).


Вписанный угол измеряется полови-
ной дуги, на которую он опирается.


Слайд 133
Пример 44. Около треугольника ABC описана окружность с

Пример 44. Около треугольника ABC описана окружность с центром О, угол

центром О, угол АОС равен

60°. В треугольник ABC вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.

A

С

B

O

B1

M

M1

Решение.

По следствие теоремы синусов


Слайд 134 A
С
B
O
B1
M
M1
Центр вписанной окружности М, лежит на пересечении

AСBOB1MM1 Центр вписанной окружности М, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

биссектрис треугольника.


Слайд 135
A
B
C
M
H
Пример 45. Медиана ВМ треугольника АВС равна его

ABCMHПример 45. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. 	  Найдите угол МВС.llαHllACBM

высоте АН.
Найдите угол МВС.
l
l
α
H
l
l
A
C
B
M


Слайд 136 A1
B
C
O
H
A
D
H1
D1
Решение.
Ответ: 1 или 9.

A1BCOHADH1D1Решение. Ответ: 1 или 9.

Слайд 137 Опорная задача. Пусть О – центр окружности, вписанной

Опорная задача. Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник

в треугольник

АВС. Докажите равенства:

B

C

A

O

A1

C1

Доказательство.

=>

Остальные равенства доказывают аналогично.


Слайд 138
Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ВМ

Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О

и CN, О – центр вписанной окружности. Известно, что

BC = 24, MN = 12.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

A

C

O

M

B

N

A

C

O

M

B

N


Слайд 139 2 случай


Пример 47. В

2 случай  	Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ВМ

треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О –

центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, MN = 12.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

A

C

O

M

B

N

A

C

O

M

B

N

1 случай


Слайд 140 A
C
O
M
B
N
Решение.
или
По следствие теоремы синусов

ACOMBNРешение. илиПо следствие теоремы синусов

Слайд 141
5.2 Интерпретация алгебраического решения
А
С
O
К
r
M
B
А
С
O
К
r
M
B
2 случай

5.2 Интерпретация алгебраического решенияАСOКrMBАСOКrMB2 случай  1 случай



1 случай


Слайд 142 А
С
O
К
r
M
B
Решение.
B2
Интерпретируем отрицательный корень:
точка B

АСOКrMBРешение.  B2Интерпретируем отрицательный корень: точка B расположена между точками M

расположена между точками M и K ,
то есть

отрезок MB откладывается в
противоположном направлении.

Оба корня удовлетворяют решению задачи.


Слайд 143
А
В
С
D
10
36
34
А
В
С
D
10
36
34
2 случай.

1 случай.

АВСD103634АВСD1036342 случай.  1 случай.




Слайд 144 А
В
С
D
E
10
36
34
x
36
10
в треугольнике DEC :
Условию задачи соответствуют
два чертежа. В

АВСDE103634x3610в треугольнике DEC :Условию задачи соответствуютдва чертежа. В одном случае угол

одном случае
угол CDE острый, в другом – тупой.
1.

Пусть x = 14, тогда AD = 24.

угол D – острый.


Слайд 145 А
В
С
D
10
36
34
x
E
36
10
2. Пусть x = 10, тогда AD =

АВСD103634xE36102. Пусть x = 10, тогда AD = 20.угол D – тупой.

20.
угол D – тупой.


Слайд 146
Пример 50. (ЕГЭ, 2011). Окружность, вписанная в треугольник

Пример 50. (ЕГЭ, 2011). Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого

ABC, площадь которого равна 36, касается средней линии, параллельной

стороне AB. Известно, что BC = 9. Найти сторону AB.

А

С

В

M

N

O

l

l

В трапецию BMNC вписана окружность


Слайд 147 А
С
В
M
N
O
l
l
По формуле Герона
Два ответа означают, что условию задачи

АСВMNOllПо формуле ГеронаДва ответа означают, что условию задачи соответствует треугольник со

соответствует треугольник со сторонами
10, 17, 9.
Полученные значения x соответствуют

двум способам обозначения вершин буквами.

y = 17 при x = 10 и
y = 10 при x =17.


Слайд 148
5.3 Задачи с параметрами
Пример 51. Дан прямоугольный треугольник

5.3 Задачи с параметрамиПример 51. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым

АВС с прямым углом при

вершине В и углом α при вершине А. Точка D – середина гипотенузы. Точка C1 симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол AC1B.

А

С

D

C1

B

А

С

D

C1

B

2 случай

1 случай

α

α

450 < α < 900

00 < α < 450


Слайд 149 А
С
D
C1
B
α
Точка D – центр окружности, описанной
около прямоугольного треугольника.
Точки

АСDC1BαТочка D – центр окружности, описаннойоколо прямоугольного треугольника.Точки C и C1

C и C1 расположены по одну сторону от хорды

AB.

Вписанные углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу, равны.


Слайд 150 А
С
D
C1
B
α
Точки C и C1 расположены по разные стороны

АСDC1BαТочки C и C1 расположены по разные стороны от хорды AB.Четырехугольник AC1BC вписан в окружность, поэтому

от хорды AB.
Четырехугольник AC1BC вписан в окружность, поэтому


Слайд 151
Пример 52. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, одна

Пример 52. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, одна из его

из его
сторон равна а. Найдите

вторую сторону треугольника.

A

С

B

2 случай

1 случай

С

A

B

a

a

a

l

l

l

l


Слайд 152 A
С
B
l
l
Используя неравенство треугольника, получаем систему

AСBllИспользуя неравенство треугольника, получаем систему

Слайд 153
А
В
С
D
M
O
O1
α
А
В
С
D
M
O
O1
α
А
В
С
D
M
O
O1
2 случай

1 случай

АВСDMOO1αАВСDMOO1αАВСDMOO12 случай  1 случай  3 случай



3 случай


Слайд 154 А
В
С
D
M
O
O1
α
Поэтому по разные стороны от прямой BD расположены

АВСDMOO1αПоэтому по разные стороны от прямой BD расположены центры O и O1 описанных около них окружностей.

центры O и O1 описанных около них окружностей.


Слайд 155 α
А
В
С
D
M
O
O1

αАВСDMOO1

  • Имя файла: prezentatsiya-po-matematike-na-temu-mnogovariantnye-zadachi-po-planimetrii-9-11-klass.pptx
  • Количество просмотров: 433
  • Количество скачиваний: 0