Что такое findtheslide.com?

FindTheSlide.com - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация, доклад по математике на тему Многовариантные задачи по планиметрии (9-11 класс)

Презентация на тему Презентация по математике на тему Многовариантные задачи по планиметрии (9-11 класс), из раздела: Геометрия. Эта презентация содержит 156 слайда(ов). Информативные слайды и изображения помогут Вам заинтересовать аудиторию. Скачать конспект-презентацию на данную тему можно внизу страницы, поделившись ссылкой с помощью социальных кнопок. Также можно добавить наш сайт презентаций в закладки! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них. Все права принадлежат авторам презентаций.

Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи)(типовые задания С4)Тихомирова Галина Юрьевна 1. Взаимное расположение линейных фигур1.1 Взаимное расположение различных точек на прямой1.2 Взаимное 4. Взаимное расположение элементов фигуры4.1 Выбор обозначений вершин многоугольника4.2 Выбор линейного элемента4.3 1. Взаимное расположение линейных фигур	Линейной будем считать фигуру, представляющую собой точку, отрезок, Пример 2. На прямой взяты точки A, B и C так, что Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и АВСDМ1 случай.  ВМ : МD = 1 : 2 АВСDМ2 случай.  ВМ : МD = 2 : 1. Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E, 	делящая эту Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E, 	делящая эту АВСDЕF АВСDЕ1F1 Пример 5. (ЕГЭ, 2010). В треугольнике ABC AB = 12, BC = АBCEFDxydЗамечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и Пример 6. Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая,	  пересекающая Может ли при данных условиях задачи прямая, проходящая через середину Е стороны 1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой Пример 7. Дан параллелограмм Пример 8. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. АВСGМO1EKNRRFOr2 случай. Окружность является вневписанной в треугольник ABС .\Ответ: 1 или 6. Пример 9. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = АВСEKFD2 случай. Окружность является вневписанной для треугольника ACD.Если окружность касается стороны BC Пример 10. (ЕГЭ, 2011). Прямая, перпендикулярная боковой стороне АВСLMKNOPγ(угол ABC – острый, AC2 < AB2 + BC2)Окружность, вписанная в четырёхугольник АВСLMKNOPγ АВСLMKNOPγ 1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямойПример 11. Около треугольника 1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямыхПример 12. Трапеция с основаниями 1 случай. Центр O окружности лежит внутри трапеции. EF = EO + 2. Взаимное расположение прямолинейных фигур2.1 Взаимное расположение треугольниковПример 13. Дан равнобедренный треугольник АВСРFDEНGxy1 случай. Точки Е и В в одной полуплоскостис границей АС.	 Cоставим систему уравнений:? АВСFDНGE1Р12 случай. Точки Е и В в разных полуплоскостях 	  с 2.2 Взаимное расположение треугольника и ВСMKАN АВСMKN1 случай. 2.3 Взаимное расположение многоугольниковРешение. АВСDНMK АВСKDНM2 случай. Точка Н принадлежит лучу АВ, АВ < AH < 3AB.Е=>При АDВKMН3 случай.  Точка Н принадлежит лучу АВ, AH ≥ 3АВ.=>противоречит условию AH ≥ 3АВ. 2.4 Взаимное расположение треугольника и АВСHO1KLOM1r11281 случай. Окружность касается сторон AB и BC. => АВСHOM2r2r2N128O22 случай. Две окружности, одинакового радиуса, 	  касаются основания AC и 3. Взаимное расположение окружностей3.1 Расположение центров окружностей относительно общей касательнойПример 17. Прямая А2В2rRO1K1O2А1В1rl1l2aK2Решение. О2К1 ┴ О1A1, 3.2 Расположение центров окружностей относительно их общей точки касанияRO1K1O2АВrKCO1O2АВC	  1 случай RO1K1O2АВrKC1 случай. Внешнее касание окружностей.Общая касательная KK1 перпендикулярна линии центров. O1O2АВCRr2 случай. Внутреннее касание окружностей.   В этом случае при исходных Пример 19. Окружности S1 и S2 радиусов R и r ( R O1O2АВrRraM1-й способ решения. Пусть  O1AB = φ. По теореме Пифагораφ O1O2АВRra Внешнее касание окружностей.1 случай.MrRE2-й способ решения. Если через точку B вне MO1O2АВraНПо теореме Пифагора:Rφ O1OАВСDHLEO2E1L1F 1 случай. Внутреннее касание окружностей.2 случай. Внешнее касание окружностей.Геометрическое место точек, O1OАВСDHLEr 1 случай. Внутреннее касание окружностей.ll OАВСDFE12 случай. Внешнее касание окружностей.O2L1600RlRl Пример 21. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 АВСDЕO2llllllF1 случай. Внешнее касание окружностей.АВСDЕFllllll2 случай. Внутреннее касание окружностей. E1	АA1СC1EFDАВСC1EFDOQMOВ1 случай.  Искомая окружность 	 	   касается трёх данных E1АA1СC1EFDOВ1 случай.  Искомая окружность касается 	трёх данных внутренним образом.R = 2r = 28. АВСC1EFDQMOЛиния центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.По теореме Пифагора 3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хордыПересекающиеся окружности в точках А и O2АВO1rСR1 случай.  Центры окружностей лежат по разные 	   стороны O2O1САВrR2 случай. Центры окружностей лежат по одну 	  сторону от их общей хорды AB. O2АO1rСRO1O2САВrRВ1 случай.  Центры окружностей 	   лежат по разные стороны 1 случай.  Центры окружностей лежат по разные 	   стороны O2АВrRСO12 случай.  Центры окружностей лежат по одну 	   сторону O2DO1BO2СDВACO1A1 случай.  Центры окружностей 	   лежат по разные стороны O2DO1BACПусть DB = t, CD = 2t. =>=> O2СDВO1A 3.4 Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружностиПример 26. Окружности радиусов 20 OАВСMNE1 случай.  Центры окружностей лежат по разные 	   стороны OАВNO1MСE2 случай. Центры окружностей лежат по одну 	  сторону от их общей хорды AB. Пример 27. Расстояние между центрами двух окружностей равно 5r . Од- O1АВO2СMN1 случай. Центры окружностей лежат по 	 	  разные стороны от 2 случай. Центры окружностей лежат по одну	  стороны от их общей хорды MN.O1O2АВСMN При любом способе касания точкакасания и центры окружностей лежат на одной OАВO1СNE11 случай. Центры окружностей лежат по 	 	  разные стороны от OАВСNKO2E2L1L2 случай. Центры окружностей лежат по одну	  стороны от их общей хорды AB. 3.5 Расположение точек касания окружности и прямойПример 29. На стороне ВА угла OАВСED1 случай.  Окружность касается луча BС.300По теореме косинусов получаем Тогда центр АВСEDO1Е1G2 случай.  Точка касания Е1 лежит на O2АВO1RErДоказательство.AB = O1E = Пример 30. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат O3MPO19E4O2r3Решение.2 случай. MP = MK + KP.K O2АKO1K1OEK2MR = 2 1 случай.  Точка касания искомой окр. с АK АKO1K1OMR = 21 случай. Точка касания искомой окр. 	 с АK левее O2АKOEK2MR = 22 случай.  Точка касания искомой окр. с АK правее Пример 32. Найдите радиус окружности, вписанной в угол MKN равный KBO1B1ONMR = 41 случай.  Точка касания искомой окр. O2KBONB2MR = 4A1A2C22 случай.  Точка касания искомой окр. 4. Взаимное расположение элементов фигуры4.1 Выбор обозначений вершин многоугольникаАВСDEАСDF3 сл. АВСDEFРешение. 1 случай Медиана треугольника разбиваетего на два равновеликих треугольника.Диагональ параллелограмма разбивает 1 сл.    2 сл.    4 сл. АВСDE9133Решение. 1 случайТрапеция разбивается диагоналямина два равновеликих треугольника(примыкающих к боковым сторонам) и 4 сл.    3 сл.    DABCE27399BCDAE273992 сл. Пример 35. (ЕГЭ-2011). Периметр равнобедренной трапеции равен 136.	   Известно, что АСDOBLNMРешение. 1 случайПо свойству описанного четырёхугольникаAB + CD = BC + AD АСDOBFHРешение. 2 случайEQПоскольку трапеция равнобедренная,то для прямых, проходящих через вершины C и 2 случай    3 случай    1 случай АВNMС1 случай. MN || BCРешение. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две 3 случай. MN || ABАВNСMОтвет: 2. 4.3 Выбор углового элементаПример 37. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. BСAO По обобщенной теореме синусов BAСOРешение. Пусть угол С – тупой. Пример 38. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. AСBHEFDРешение. ВЕ ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC. BACFHEDРешение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC. АВCFHEDРешение. ВF ┴ AC, CD ┴ AB, AE ┴ BC. АВCFHEDРешение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC. АВC(H)EРешение. ВE ┴ AC. Аналогично Опорная задача. Если Н – ортоцентр треугольника, то радиусы AСBHED	Пример 39. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. AСBHEDРешение. Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и BCH равны. CABHDEРешение. AСBHEDРешение. AСBHEDРешение. Опорная задача. Пусть в треугольнике АВС проведены высоты AA1 и CC1 . AHCBC1B1A1Доказательство. Рассмотрим тупоугольный 	        треугольник ABC. BACHC1A1B1Пример 40. Точки A1, B1, C1 – основания высот треугольника ABC. BACHC1A1B1Решение. Аналогично получим: AHBCB1C1A1Аналогично получим: Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.	3. Угол АВС – тупой.	4. Угол Опорная задача. Высоты остроугольного треугольника являются Пример 41. Окружности с центрами О и В радиуса ОВ пересекаются в BAKCREOJIab1 случай    1 случай. OI – отрезок общей внешней OBAKCREJIab2 случай. OJ – отрезок общей внешней касательной к двум касающимся 4.5 Выбор плоской фигурыПример 42. Основания трапеции равны a и b. Прямая, AСBHEDFxxbx – bPa – xa AСBHEDFxba AСBEDFРешение. Аналогично 1 случаю. 5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств5.1 Неопределенность между значением A1BCOHADH1D1Проекция боковой стороны равнобедренной трапециина большее основание равна полуразности оснований,а проекция диагонали Пример 44. Около треугольника ABC описана окружность с центром О, угол AСBOB1MM1 Центр вписанной окружности М, лежит на пересечении биссектрис треугольника. ABCMHПример 45. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. A1BCOHADH1D1Решение.  Ответ: 1 или 9. Опорная задача. Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О – 2 случай    	Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ACOMBNРешение.  илиПо следствие теоремы синусов 5.2 Интерпретация алгебраического решенияАСOКrMBАСOКrMB2 случай    1 случай АСOКrMBРешение.   B2Интерпретируем отрицательный корень: точка B расположена между точками M АВСD103634АВСD1036342 случай.    1 случай. АВСDE103634x3610в треугольнике DEC :Условию задачи соответствуютдва чертежа. В одном случае угол CDE АВСD103634xE36102. Пусть x = 10, тогда AD = 20.угол D – тупой. Пример 50. (ЕГЭ, 2011). Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна АСВMNOllПо формуле ГеронаДва ответа означают, что условию задачи соответствует треугольник со сторонами10, 5.3 Задачи с параметрамиПример 51. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом АСDC1BαТочка D – центр окружности, описаннойоколо прямоугольного треугольника.Точки C и C1 расположены АСDC1BαТочки C и C1 расположены по разные стороны от хорды AB.Четырехугольник AC1BC вписан в окружность, поэтому Пример 52. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, одна из его AСBllИспользуя неравенство треугольника, получаем систему АВСDMOO1αАВСDMOO1αАВСDMOO12 случай    1 случай    3 случай АВСDMOO1αПоэтому по разные стороны от прямой BD расположены центры O и O1 описанных около них окружностей. αАВСDMOO1 АВСDMOO1НГПГ

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи)

(типовые задания С4)

Тихомирова Галина Юрьевна МБОУ «СОШ № 23 г. Владивостока»


Слайд 2
Текст слайда:

1. Взаимное расположение линейных фигур

1.1 Взаимное расположение различных точек на прямой

1.2 Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих на одной прямой

1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой

1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямой

1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямых

2. Взаимное расположение прямолинейных фигур

2.1 Взаимное расположение треугольников

2.3 Взаимное расположение многоугольников

2.4 Взаимное расположение треугольника и окружности

3. Взаимное расположение окружностей

3.1 Расположение центров окружностей относительно общей касательной

3.2 Расположение центров окружностей относительно их общей точки касания

3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хорды

3.4 Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности

3.5 Расположение точек касания окружности и прямой

2.2 Взаимное расположение треугольника и многоугольника


Слайд 3
Текст слайда:

4. Взаимное расположение элементов фигуры

4.1 Выбор обозначений вершин многоугольника

4.2 Выбор линейного элемента

4.3 Выбор углового элемента

4.4 Выбор кругового элемента

4.5 Выбор плоской фигуры

5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств

5.1 Неопределенность между значением синуса (косинуса) угла и видом угла

5.2 Интерпретация алгебраического решения

5.3 Задачи с параметрами


Слайд 4
Текст слайда:


1. Взаимное расположение линейных фигур

Линейной будем считать фигуру, представляющую собой точку, отрезок, луч, прямую.
При решении задач условие может трактоваться неоднозначно, если для рассматриваемых фигур не указано их взаимное расположение. 1.1 Взаимное расположение различных точек на прямой

Пример 1. На прямой взяты точки A, B и C так, что расстояние между
точками A и B равно 5, а между B и C равно 3. Найдите расстояние между точками A и C .

Решение. Неоднозначность в данной задаче состоит в том, что на прямой не
указано взаимное расположение точек A, B и C относительно друг друга. Можно записать шесть различных вариантов расположение этих точек:

А

В

С

В

А

С

А

В

С

В

А

С

С

В

А

В

С

А

АС = АВ + ВС = 5 + 3 = 8

Случай невозможен
СВ < АВ

Ответ: 8 или 2.

а)

b)

с)

СГ


Слайд 5
Текст слайда:


Пример 2. На прямой взяты точки A, B и C так, что точка В расположена правее точки A и АB : ВС = 3. Найдите отношение АС : АВ.

А

В

С

1 сл.

А

С

В

2 сл.

А

В

С

3 сл.


Слайд 6
Текст слайда:


Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 1: 2 . Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCМ равна 60.

А

В

С

D

М

А

В

С

D

М

1 сл. ВМ:МD = 1:2

2 сл. ВМ:МD = 2:1


Слайд 7
Текст слайда:


Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 1 : 2 . Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCМ равна 60.

А

В

С

D

М

1 случай. ВМ : МD = 1 : 2

А

В

С

D

2 случай. ВМ : МD = 2 : 1


Слайд 8
АВСDМ1 случай.  ВМ : МD = 1 : 2
Текст слайда:

А

В

С

D

М

1 случай. ВМ : МD = 1 : 2


Слайд 9
АВСDМ2 случай.  ВМ : МD = 2 : 1.
Текст слайда:

А

В

С

D

М

2 случай. ВМ : МD = 2 : 1.


Слайд 10
Текст слайда:


Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E,
делящая эту сторону прямой в отношении 2 : 3 . Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке F . Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD ?

А

В

С

D

Е

Е1

F

F1

2 случай. Е1C : BЕ1 = 2 : 3, решая аналогично,


Слайд 11
Текст слайда:


Пример 4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E,
делящая эту сторону прямой в отношении 2 : 3 . Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке F . Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD ?

А

В

С

D

Е

F

Е1

F1

1 случай. ВЕ : ЕС = 2 : 3

2 случай. ВЕ1 : Е1С = 3 : 2


Слайд 12
АВСDЕF
Текст слайда:

А

В

С

D

Е

F


Слайд 13
АВСDЕ1F1
Текст слайда:

А

В

С

D

Е1

F1


Слайд 14
Текст слайда:


Пример 5. (ЕГЭ, 2010). В треугольнике ABC AB = 12, BC = 5, CA = 10. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 4 : 9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF.

А

B

C

E

F

D

x

y

d


Слайд 15
Текст слайда:

А

B

C

E

F

D

x

y

d

Замечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и F на отрезке AD, то при вычислении длины отрезка EF использован знак модуля.


Слайд 16
Текст слайда:


Пример 6. Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая,
пересекающая прямые CD и AD в точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.

А

В

С

D

М

Т

Е

1 случай. Прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекает отрезок CD и
продолжение отрезка AD за точку D.

А

В

С

D

М

Т

Е

2 случай. Прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекает отрезок CD и продолжение отрезка AD за точку А.

Ответ: 2 или 10.

1.2 Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих на одной прямой


Слайд 17
Текст слайда:

Может ли при данных условиях задачи прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекать продолжение
отрезка CD за точку:
D и отрезок AD,
С и отрезок ВС ?

Почему?


Слайд 18
Текст слайда:


1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой

Пример 7. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.

А

В

С

D

М

K

N

А

В

С

D

K

N

М

2 случай. Точка М внутри параллелограмма.

NC = x и AB = BN = 2x .
2(2x + 3x) = 40
x = 4 .
Значит, AB = 8 и BC = 8 + 4 = 12 .

Ответ: 5; 15 или 8; 12.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

1 случай. Точка М вне параллелограмма.


Слайд 19
Текст слайда:


Пример 8. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

А

В

С

G

М

O1

E

K

N

R

R

F

O

r

1 случай. Окружность вписана в треугольник.

FOGC – квадрат и отрезки касательных, проведенных из одной точки
к окружности, равны, то

2-й способ. Выразим площадь прямо-
угольного треугольника двумя способами.

1-й способ. r – радиус вписанной окружности.


Слайд 20
АВСGМO1EKNRRFOr2 случай. Окружность является вневписанной в треугольник ABС .\Ответ: 1 или 6.
Текст слайда:

А

В

С

G

М

O1

E

K

N

R

R

F

O

r

2 случай. Окружность является вневписанной в треугольник ABС .

\

Ответ: 1 или 6.


Слайд 21
Текст слайда:


Пример 9. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100,
AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в точке K . Найдите длину отрезка CK .

А

В

С

E

K

F

D

Решение. ВЕ ┴ AD, CF ┴ AD.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований
(средней линии).


Слайд 22
Текст слайда:

А

В

С

E

K

F

D

2 случай. Окружность является
вневписанной для треугольника ACD.

Если окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.

Ответ: 5 или 30.

L


Слайд 23
Текст слайда:


Пример 10. (ЕГЭ, 2011). Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами 10, 10 и 12, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти площадь этого четырехугольника.

А

В

С

L

M

K

N

O

P

А

В

С

L

M

K

N

O

P

1 случай

2 случай


Слайд 24
Текст слайда:

А

В

С

L

M

K

N

O

P

γ

(угол ABC – острый, AC2 < AB2 + BC2)

Окружность, вписанная в четырёхугольник – окружность,
вписанная в треугольник ABC.

CK = CL = 6 по свойству касательных.


Слайд 25
АВСLMKNOPγ
Текст слайда:

А

В

С

L

M

K

N

O

P

γ


Слайд 26
АВСLMKNOPγ
Текст слайда:

А

В

С

L

M

K

N

O

P

γ


Слайд 27
Текст слайда:


1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямой

Пример 11. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите величину угла ACB, если угол ОСB равен 10°, а АОС = 40°.

А

В

С1

С

А1

О

40°

40°

10°

?

Решение. СС1 = 2R,


Слайд 28
Текст слайда:


1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямых

Пример 12. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса
25. Найдите высоту трапеции.

А

В

D1

С

А1

О

F

E1

D

E

Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.

Решение. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.
Пусть BC = 14 – хорда окружности R = 25. Существует две хорды AD || BC, A1D1 || BC и AD = A1D1 = 40 .

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.

Центр описанной окружности O на серединном перпендикуляре к BC .


Слайд 29
Текст слайда:

1 случай. Центр O окружности лежит внутри трапеции.

EF = EO + OF = 39 .

А

В

С

О

F

D

E

2 случай. Центр O окружности лежит вне трапеции.

В

D1

С

А1

О

F

E1

E1F = FO – OE1 = 9.

Ответ: 39 или 9.

Радиус (диаметр), перпендикулярный
хорде, делит хорду пополам.


Слайд 30
Текст слайда:


2. Взаимное расположение прямолинейных фигур

2.1 Взаимное расположение треугольников

Пример 13. Дан равнобедренный треугольник АВС, AB = BC = 10 и AC = 12.
Параллельно боковым сторонам треугольника на одинаковом расстоянии от них проведены прямые. Найти это расстояние, если площадь треугольника, образованного этими прямыми и основанием, лежащим на прямой АС, равна 12.

А

В

С

Р

F

D

E

Н

G

1 случай. Точки Е и В в одной
полуплоскости с границей АС.

E1

Р1

2 случай. Точки Е и В в разных
полуплоскостях с границей АС.

СГ

ПГ


Слайд 31
АВСРFDEНGxy1 случай. Точки Е и В в одной полуплоскостис границей АС.	 Cоставим систему уравнений:?
Текст слайда:

А

В

С

Р

F

D

E

Н

G

x

y

1 случай. Точки Е и В в одной полуплоскости
с границей АС.

Cоставим систему уравнений:

?


Слайд 32
Текст слайда:

А

В

С

F

D

Н

G

E1

Р1

2 случай. Точки Е и В в разных полуплоскостях
с границей АС.

E1F || AВ, E1G || BC.

?

Ответ: 2,4 или 7,2.


Слайд 33
Текст слайда:


2.2 Взаимное расположение треугольника и многоугольника

А

В

С

M

K

N

2 случай

1 случай

А

В

С

M

K

N


Слайд 34
ВСMKАN
Текст слайда:

В

С

M

K

А

N


Слайд 35
АВСMKN1 случай.
Текст слайда:

А

В

С

M

K

N

1 случай.


Слайд 36
Текст слайда:


2.3 Взаимное расположение многоугольников

Решение.

2 случай.
Точка Н принадлежит
лучу АВ, 3АВ > AH >AB.

1 случай.
Точка Н принадлежит
отрезку АВ, AH ≤ AB.

А

В

С

K

D

Н

M

А

В

С

D

Н

M

K

А

D

В

С

K

M

Н

3 случай.
Точка Н принадлежит
лучу АВ, AH ≥ 3АВ .


Слайд 37
АВСDНMK
Текст слайда:

А

В

С

D

Н

M

K


Слайд 38
Текст слайда:

А

В

С

K

D

Н

M

2 случай. Точка Н принадлежит лучу АВ, АВ < AH < 3AB.

Е

=>

При этом площади ромбов
принимают одно из значений


Слайд 39
АDВKMН3 случай.  Точка Н принадлежит лучу АВ, AH ≥ 3АВ.=>противоречит условию AH ≥ 3АВ.
Текст слайда:

А

D

В

K

M

Н

3 случай. Точка Н принадлежит лучу АВ, AH ≥ 3АВ.

=>

противоречит условию AH ≥ 3АВ.


Слайд 40
Текст слайда:


2.4 Взаимное расположение треугольника и окружности

А

В

С

H

O1

K

L

O

O2

M1

M2


1 случай. Окружность касается сторон AB и BC.

2 случай. Две окружности, одинакового радиуса, касаются основания AC и AB или BC .

r1

r2

r2

N

128

При любом способе касания
точка касания и центры окружностей
лежат на одной прямой.


Слайд 41
АВСHO1KLOM1r11281 случай. Окружность касается сторон AB и BC. =>
Текст слайда:

А

В

С

H

O1

K

L

O

M1

r1

128

1 случай. Окружность касается сторон AB и BC.

=>


Слайд 42
Текст слайда:

А

В

С

H

O

M2

r2

r2

N

128

O2

2 случай. Две окружности, одинакового радиуса, касаются основания AC и AB или BC .

=>

Ответ: 16 или 64.


Слайд 43
Текст слайда:


3. Взаимное расположение окружностей

3.1 Расположение центров окружностей
относительно общей касательной

Пример 17. Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что
расстояние между их центрами равно a, причем R > r и a > r + R. Найдите расстояние между точками касания.

А2

В2

r

R

O1

K1

O2

А1

В1

r

l1

l2

a

K2

СГ

ПГ


Слайд 44
Текст слайда:

А2

В2

r

R

O1

K1

O2

А1

В1

r

l1

l2

a

K2

Решение. О2К1 ┴ О1A1,
О2К2 ┴ О1В1.



Слайд 45
Текст слайда:


3.2 Расположение центров окружностей
относительно их общей точки касания

R

O1

K1

O2

А

В

r

K

C

O1

O2

А

В

C


1 случай
Внешнее касание окружностей.



2 случай
Внутреннее касание окружностей.


R

r


Слайд 46
RO1K1O2АВrKC1 случай. Внешнее касание окружностей.Общая касательная KK1 перпендикулярна линии центров.
Текст слайда:

R

O1

K1

O2

А

В

r

K

C

1 случай. Внешнее касание окружностей.

Общая касательная KK1 перпендикулярна линии центров.


Слайд 47
Текст слайда:

O1

O2

А

В

C

R

r

2 случай. Внутреннее касание окружностей.


В этом случае при исходных числовых данных задача не имеет решения .


Слайд 48
Текст слайда:


Пример 19. Окружности S1 и S2 радиусов R и r ( R > r ) соответственно
касаются в точке A . Через точку B, лежащую на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2 в точке M .
Найдите BM , если известно, что AB = a.

R

O1

O2

А

В

r

R

M

r

a

Внешнее касание окружностей.

1 случай

O1

O2

А

В

r

a

2 случай

Внутреннее касание окружностей.

M

φ


Слайд 49
O1O2АВrRraM1-й способ решения. Пусть  O1AB = φ. По теореме Пифагораφ
Текст слайда:

O1

O2

А

В

r

R

r

a

M

1-й способ решения.

Пусть O1AB = φ.


По теореме Пифагора

φ


Слайд 50
Текст слайда:

O1

O2

А

В

R

r

a

Внешнее касание окружностей.

1 случай.

M

r

R

E

2-й способ решения.

Если через точку B вне окружности
провести секущую и касательную, то
произведение длины секущей на ее
внешнюю часть будет равно квадрату
длины касательной
(теорема о секущей и касательной).


Слайд 51
MO1O2АВraНПо теореме Пифагора:Rφ
Текст слайда:

M

O1

O2

А

В

r

a

Н

По теореме Пифагора:

R

φ


Слайд 52
Текст слайда:


O1

O

А

В

С

D

H

L

E

O2

E1

L1

F

1 случай. Внутреннее касание окружностей.

2 случай. Внешнее касание окружностей.

Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть биссектриса этого угла.

В обоих случаях центры O1 и O2 этих окружностей будут лежать на биссектрисе угла ADC.


Слайд 53
O1OАВСDHLEr 1 случай. Внутреннее касание окружностей.ll
Текст слайда:

O1

O

А

В

С

D

H

L

E

r

1 случай. Внутреннее касание окружностей.

l

l


Слайд 54
OАВСDFE12 случай. Внешнее касание окружностей.O2L1600RlRl
Текст слайда:

O

А

В

С

D

F

E1

2 случай. Внешнее касание окружностей.

O2

L1

600

R

l

R

l


Слайд 55
Текст слайда:


Пример 21. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 8 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

А

В

С

D

Е

F

O2

ll

ll

l

l

AD = 4, BD = 3, ED = 1, FD =5.



2 случай.
Внутреннее касание окружностей.

1 случай.
Внешнее касание окружностей.

В обоих случаях центры O1 и O2
этих окружностей будут лежать
на биссектрисе угла – прямой BD.


Слайд 56
АВСDЕO2llllllF1 случай. Внешнее касание окружностей.АВСDЕFllllll2 случай. Внутреннее касание окружностей.
Текст слайда:

А

В

С

D

Е

O2

ll

ll

l

l

F

1 случай. Внешнее касание окружностей.

А

В

С

D

Е

F

ll

ll

l

l

2 случай. Внутреннее касание окружностей.


Слайд 57
Текст слайда:

E1


А

A1

С

C1

E

F

D

А

В

С

C1

E

F

D

O

Q

M

O

В

1 случай. Искомая окружность касается трёх данных внутренним образом.


Слайд 58
E1АA1СC1EFDOВ1 случай.  Искомая окружность касается 	трёх данных внутренним образом.R = 2r = 28.
Текст слайда:

E1

А

A1

С

C1

E

F

D

O

В

1 случай. Искомая окружность касается трёх данных внутренним образом.

R = 2r = 28.


Слайд 59
Текст слайда:

А

В

С

C1

E

F

D

Q

M

O

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.

По теореме Пифагора AQ 2 = AM 2 + QM 2.


Слайд 60
Текст слайда:


3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хорды

Пересекающиеся окружности в точках А и В имеют общую хорду АВ.

Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

Пример 23. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB = 16.

O2

А

В

O1

r

С

R

O2

O1

С

А

В

r

R

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.


Слайд 61
Текст слайда:

O2

А

В

O1

r

С

R

1 случай. Центры окружностей лежат по разные стороны от их общей хорды AB.

O1O2 = O1С + O2С,

O1O2 = 15 + 6 = 21.


Слайд 62
O2O1САВrR2 случай. Центры окружностей лежат по одну 	  сторону от их общей хорды AB.
Текст слайда:

O2

O1

С

А

В

r

R

2 случай. Центры окружностей лежат по одну сторону от их общей хорды AB.


Слайд 63
Текст слайда:


O2

А

O1

r

С

R

O1

O2

С

А

В

r

R

В

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.


Слайд 64
Текст слайда:

1 случай. Центры окружностей лежат по разные стороны от их общей хорды AB.

Пусть AC = x.

O2

А

O1

r

R

В

С

l

l

l

l

l

l


Слайд 65
Текст слайда:

O2

А

В

r

R

С

O1

2 случай. Центры окружностей лежат по одну сторону от их общей хорды AB.

Проводя аналогичные рассуждения, получим


Слайд 66
Текст слайда:


O2

D

O1

B

O2

С

D

В

A

C

O1

A

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AD.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AD.


Слайд 67
O2DO1BACПусть DB = t, CD = 2t. =>=>
Текст слайда:

O2

D

O1

B

A

C

Пусть DB = t, CD = 2t.

=>

=>


Слайд 68
O2СDВO1A
Текст слайда:

O2

С

D

В

O1

A


Слайд 69
Текст слайда:


3.4 Расположение центров окружностей относительно
хорды большей окружности

Пример 26. Окружности радиусов 20 и 3 касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M. Найдите длины отрезков AM и MB, если AB = 32.

O

А

В

O1

С

M

N

O

А

В

N

O1

M

С

E

E

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.


Слайд 70
Текст слайда:

O

А

В

С

M

N

E

1 случай. Центры окружностей лежат по разные стороны от их общей хорды AB.

O1

O1C = O1M + MС = O1M + ON = 15,
OC = MN.


Слайд 71
OАВNO1MСE2 случай. Центры окружностей лежат по одну 	  сторону от их общей хорды AB.
Текст слайда:

O

А

В

N

O1

M

С

E

2 случай. Центры окружностей лежат по одну сторону от их общей хорды AB.


Слайд 72
Текст слайда:


Пример 27. Расстояние между центрами двух окружностей равно 5r . Од-
на из окружностей имеет радиус r , а вторая – 7r . Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 1 : 6 . Найдите длину этой хорды.

O1

А

В

O2

С

M

N

O1

O2

А

В

С

M

N

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды MN.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды MN.


Слайд 73
Текст слайда:

O1

А

В

O2

С

M

N

1 случай. Центры окружностей лежат по разные стороны от их общей хорды MN.

Такой случай невозможен.


Слайд 74
2 случай. Центры окружностей лежат по одну	  стороны от их общей хорды MN.O1O2АВСMN
Текст слайда:

2 случай. Центры окружностей лежат по одну стороны от их общей хорды MN.

O1

O2

А

В

С

M

N


Слайд 75
Текст слайда:

При любом способе касания точка
касания и центры окружностей лежат на одной прямой.


Пример 28. (ЕГЭ, 2010). В окружности, радиус которой равен 15, проведена хорда AB = 24. Точка С лежит на хорде АВ так, что AC : BC = 1 : 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

O

А

В

O1

С

N

E1

K

O2

Е2

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.

Центры этих окружностей O1 и O2
будут лежать на перпендикуляре к хорде AB, проходящем через точку C.


Слайд 76
Текст слайда:

O

А

В

O1

С

N

E1

1 случай. Центры окружностей лежат по разные стороны от их общей хорды AB.

K

L

Пусть O1E1 = r.

KO1 = KC + CO1 = 9 + r =>


Слайд 77
OАВСNKO2E2L1L2 случай. Центры окружностей лежат по одну	  стороны от их общей хорды AB.
Текст слайда:

O

А

В

С

N

K

O2

E2

L1

L

2 случай. Центры окружностей лежат по одну стороны от их общей хорды AB.


Слайд 78
Текст слайда:


3.5 Расположение точек касания окружности и прямой

Пример 29. На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что
AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, D касающейся прямой ВС.

O

А

В

С

E

D

O1

Е1

G

1 случай. Окружность касается луча BС.

2 случай. Точка касания Е1 лежит на продолжении луча BС за точку В.

Центр искомой окружности O –
точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AD и перпендикуляра к прямой ВС, восставленного из точки касания E окружности и прямой.


Слайд 79
Текст слайда:

O

А

В

С

E

D

1 случай. Окружность касается луча BС.

300

По теореме косинусов получаем

Тогда центр O окружности совпадает
c серединой отрезка AD.

т.е. DE = 1.


Слайд 80
Текст слайда:

А

В

С

E

D

O1

Е1

G

2 случай. Точка касания Е1 лежит на продолжении луча BС за точку В.

O

300

BG = 2, GE1 = 1, GO = 2 + 2 = 4,


Ответ: 1 или 7.


Слайд 81
O2АВO1RErДоказательство.AB = O1E =
Текст слайда:

O2

А

В

O1

R

E

r

Доказательство.

AB = O1E =


Слайд 82
Текст слайда:


Пример 30. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из двух данных и той же прямой.

O1

M

P

O2

9

E

4

O3

r3

Решение.

1 случай.

MP = MK + KP.

K

Перебор вариантов в задаче зависит от расположения точки касания третьей окружности с прямой относительно точек касания первых двух окружностей с этой прямой.


Слайд 83
O3MPO19E4O2r3Решение.2 случай. MP = MK + KP.K
Текст слайда:

O3

M

P

O1

9

E

4

O2

r3

Решение.

2 случай.

MP = MK + KP.

K


Слайд 84
Текст слайда:


O2

А

K

O1

K1

O

E

K2

M

R = 2

1 случай.
Точка касания искомой окр. с АK левее точки касания K.

2 случай.
Точка касания искомой окр. с АK правее точки касания K.


Слайд 85
Текст слайда:

А

K

O1

K1

O

M

R = 2

1 случай. Точка касания искомой окр. с АK левее точки касания K.

r

AK = AK1 + K1K,


Слайд 86
Текст слайда:

O2

А

K

O

E

K2

M

R = 2

2 случай.
Точка касания искомой окр. с АK правее точки касания K.

r

AK2 = AK + KK2,


Слайд 87
Текст слайда:


Пример 32. Найдите радиус окружности, вписанной в угол MKN равный
2arcsin 0,6 и касающейся окружности, радиуса 4 также вписанной в угол MKN.

O2

K

B

O1

B1

O

N

B2

M

R = 4

1 случай.
Точка касания искомой окр. с KN левее точки касания B.

2 случай.
Точка касания искомой окр. с KN правее точки касания B.

A1

A2

C1

C2

Центры окружностей,
вписанных в угол, лежат на биссектрисе этого угла.


Слайд 88
Текст слайда:

K

B

O1

B1

O

N

M

R = 4

1 случай. Точка касания искомой окр. с KN левее точки касания B

A1

A2

C1

r

OB ┴ KN, а KN = R = 4.

r = 1.


Слайд 89
Текст слайда:

O2

K

B

O

N

B2

M

R = 4

A1

A2

C2

2 случай. Точка касания искомой окр. с KN правее точки касания B

r = 16.

r

Ответ: 1 и 16.


Слайд 90
Текст слайда:


4. Взаимное расположение элементов фигуры

4.1 Выбор обозначений вершин многоугольника

А

В

С

D

E

А

С

D

F

3 сл.

C

D

F

B

B

D

A

4 сл.

В

E

F

C

E

F

E

F

1 сл.

2 сл.

СГ

ПГ


Слайд 91
Текст слайда:

А

В

С

D

E

F

Решение. 1 случай

Медиана треугольника разбивает
его на два равновеликих треугольника.

Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.

В остальных 3-х случаях искомая площадь будет равна S.

Ответ: S или 3S.


Слайд 92
Текст слайда:

1 сл.

2 сл.

4 сл.

3 сл.


Пример 34. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

А

В

С

D

E

9

1

3

3

C

D

A

B

E

81

9

27

27

D

A

B

C

E

27

3

9

9

B

C

D

A

E

27

3

9

9


Слайд 93
Текст слайда:

А

В

С

D

E

9

1

3

3

Решение. 1 случай

Трапеция разбивается диагоналями
на два равновеликих треугольника
(примыкающих к боковым сторонам)
и два подобных треугольника
(примыкающих к основаниям).

Если у двух треугольников равны
высоты, то их площади относятся
как основания.


Слайд 94
Текст слайда:

4 сл.

3 сл.

D

A

B

C

E

27

3

9

9

B

C

D

A

E

27

3

9

9

2 сл.

C

D

A

B

E

81

9

27

27

Ответ: 16; 48; 144.


Слайд 95
Текст слайда:


Пример 35. (ЕГЭ-2011). Периметр равнобедренной трапеции равен 136.
Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении 9 : 25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найти отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

Стр 30

1 случай

А

С

D

O

B

L

N

M

2 случай

А

С

D

O

B

E

H

Q

P


Слайд 96
Текст слайда:

А

С

D

O

B

L

N

M

Решение. 1 случай

По свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD = 68.

Трапеция – равнобедренная, то AB = CD = 34.

LN ┴ ВC, LN ┴ AD, BL = LC , AN = ND.


MB = BL и AM = AN
(отрезки касательных,
проведенные из одной точки),
то BC = 2BL = 18,
AD = 2AN = 50.

P


Слайд 97
Текст слайда:

А

С

D

O

B

F

H

Решение. 2 случай

E

Q

Поскольку трапеция равнобедренная,
то для прямых, проходящих через вершины C и D получатся такие же результаты.


Слайд 98
Текст слайда:

2 случай

3 случай

1 случай


4.2 Выбор линейного элемента

Пример 36. Площадь треугольника ABC равна 8. MN – средняя линия.
Найдите площадь треугольника CMN.

А

В

N

M

С

А

В

M

С

А

В

N

С

M

N

MN || BC

MN || AC

MN || AB


Слайд 99
Текст слайда:

А

В

N

M

С

1 случай. MN || BC

Решение.

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.

А

В

M

С

N

2 случай. MN || AC


Слайд 100
3 случай. MN || ABАВNСMОтвет: 2.
Текст слайда:

3 случай. MN || AB

А

В

N

С

M

Ответ: 2.


Слайд 101
Текст слайда:


4.3 Выбор углового элемента

Пример 37. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4 . Найдите АС.

B

С

A

B

A

С

O

O

2 случай

1 случай


Слайд 102
BСAO По обобщенной теореме синусов
Текст слайда:

B

С

A

O

По обобщенной теореме синусов


Слайд 103
BAСOРешение. Пусть угол С – тупой.
Текст слайда:

B

A

С

O

Решение.

Пусть угол С – тупой.


Слайд 105
Текст слайда:


Пример 38. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н.
Известно, что CH = AB . Найдите угол АСВ.

A

С

B

H

E

F

D

B

A

C

F

H

E

D

2 случай

1 случай


Слайд 106
AСBHEFDРешение. ВЕ ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.
Текст слайда:

A

С

B

H

E

F

D

Решение. ВЕ ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.


Слайд 107
BACFHEDРешение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.
Текст слайда:

B

A

C

F

H

E

D

Решение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.


Слайд 108
АВCFHEDРешение. ВF ┴ AC, CD ┴ AB, AE ┴ BC.
Текст слайда:

А

В

C

F

H

E

D

Решение. ВF ┴ AC, CD ┴ AB, AE ┴ BC.


Слайд 109
АВCFHEDРешение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.
Текст слайда:

А

В

C

F

H

E

D

Решение. ВE ┴ AC, CD ┴ AB, AF ┴ BC.


Слайд 110
АВC(H)EРешение. ВE ┴ AC. Аналогично
Текст слайда:

А

В

C

(H)

E

Решение. ВE ┴ AC.

Аналогично


Слайд 111
Текст слайда:

Опорная задача. Если Н – ортоцентр треугольника, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой.

A

С

B

H

E

D

Доказательство.

В четырехугольнике AEHD углы E и D прямые,
то

Отсюда следует, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ВСН равны между собой.
Аналогичное доказательство проводят и для других треугольников.


Слайд 112
Текст слайда:

A

С

B

H

E

D


Пример 39. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н.
Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

C

A

B

H

D

E

2 случай

1 случай


Слайд 113
AСBHEDРешение. Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и BCH равны.
Текст слайда:

A

С

B

H

E

D

Решение.

Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и BCH равны.


Слайд 114
CABHDEРешение.
Текст слайда:

C

A

B

H

D

E

Решение.


Слайд 115
AСBHEDРешение.
Текст слайда:

A

С

B

H

E

D

Решение.


Слайд 116
AСBHEDРешение.
Текст слайда:

A

С

B

H

E

D

Решение.


Слайд 117
Текст слайда:

Опорная задача. Пусть в треугольнике АВС проведены высоты AA1 и CC1 .
Тогда треугольник A1BC1 подобен данному с коэффициентом подобия, равным |cos B|.

B

A

C

H

C1

A1

B1

Доказательство. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC.


Слайд 118
AHCBC1B1A1Доказательство. Рассмотрим тупоугольный 	        треугольник ABC.
Текст слайда:

A

H

C

B

C1

B1

A1

Доказательство. Рассмотрим тупоугольный треугольник ABC.


Слайд 119
Текст слайда:


B

A

C

H

C1

A1

B1

Пример 40. Точки A1, B1, C1 – основания высот треугольника ABC.
Углы треугольника A1B1C1 равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника ABC.

A

H

B

C

B1

C1

A1

2 случай

1 случай


Слайд 120
BACHC1A1B1Решение. Аналогично получим:
Текст слайда:

B

A

C

H

C1

A1

B1

Решение.

Аналогично получим:


Слайд 121
AHBCB1C1A1Аналогично получим:
Текст слайда:

A

H

B

C

B1

C1

A1

Аналогично получим:


Слайд 122
Текст слайда:

Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.
3. Угол АВС – тупой.
4. Угол ВАС – тупой.

Случаи, когда один из углов АВС, ВАС, АСВ – прямой, невозможны (почему?).

Замечание. Другое решение может быть основано на следующей опорной
задаче:
Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника (треугольник, образованный основаниями высот).


Слайд 123
Текст слайда:

Опорная задача. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника (треугольник, образованный основаниями высот).

B

A

C

H

C1

A1

B1

Если треугольник тупоугольный, то две его высоты — биссектрисы внешних углов ортотреугольника, а третья — биссектриса внутреннего угла.


Слайд 124
Текст слайда:

Пример 41. Окружности с центрами О и В радиуса ОВ пересекаются в точке С. Радиус ОА окружности с центром О перпендикулярен ОВ, причем точки А и С лежат по одну сторону от прямой ОВ. Окружность S1 касается меньших дуг АВ и ОС этих окружностей, а также прямой ОА, а окружность S2 касается окружности с центром В, прямой ОА и окружности S1. Найдите отношение радиуса окружности S1 к радиусу окружности S2.

B

A

K

C

R

4.4 Выбор кругового элемента

E

O

J

I

a

b

O

B

A

K

C

R

E

J

I

a

b

1 случай

2 случай


Слайд 125
Текст слайда:

B

A

K

C

R

E

O

J

I

a

b

1 случай

1 случай.

OI – отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов a и R.

R = 6a.


Слайд 126
Текст слайда:

O

B

A

K

C

R

E

J

I

a

b

2 случай.

OJ – отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов b и R.


Слайд 127
Текст слайда:

4.5 Выбор плоской фигуры

Пример 42. Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3 . Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.

A

С

B

H

E

D

F

x

x

b

x – b

A

С

B

E

D

F

P

a – x

a


Слайд 128
AСBHEDFxxbx – bPa – xa
Текст слайда:

A

С

B

H

E

D

F

x

x

b

x – b

P

a – x

a


Слайд 129
AСBHEDFxba
Текст слайда:

A

С

B

H

E

D

F

x

b

a


Слайд 130
AСBEDFРешение. Аналогично 1 случаю.
Текст слайда:

A

С

B

E

D

F

Решение. Аналогично 1 случаю.


Слайд 131
Текст слайда:


5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств

5.1 Неопределенность между значением синуса (косинуса) угла
и видом угла

Пример 43. Радиус окружности равен 1. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 2. Ответ дайте в градусах.

A

B

O

A1

C

α

Решение.

Все вписанные углы, опирающиеся на эту хорду, с вершинами, лежащими на одной дуге, будут равны.

Хорда BC разбивает
окружность на две дуги.

ПГ


Слайд 132
Текст слайда:


A1

B

C

O

H

A

D

H1

D1

Проекция боковой стороны
равнобедренной трапеции
на большее основание равна полуразности оснований,
а проекция диагонали — полусумме оснований (средней линии).

Вписанный угол измеряется полови-
ной дуги, на которую он опирается.


Слайд 133
Текст слайда:


Пример 44. Около треугольника ABC описана окружность с центром О, угол АОС равен 60°. В треугольник ABC вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.

A

С

B

O

B1

M

M1

Решение.

По следствие теоремы синусов


Слайд 134
AСBOB1MM1 Центр вписанной окружности М, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
Текст слайда:

A

С

B

O

B1

M

M1

Центр вписанной окружности М, лежит на пересечении биссектрис треугольника.


Слайд 135
Текст слайда:


A

B

C

M

H

Пример 45. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН.
Найдите угол МВС.

l

l

α

H

l

l

A

C

B

M


Слайд 136
A1BCOHADH1D1Решение.  Ответ: 1 или 9.
Текст слайда:

A1

B

C

O

H

A

D

H1

D1

Решение.

Ответ: 1 или 9.


Слайд 137
Текст слайда:

Опорная задача. Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник
АВС. Докажите равенства:

B

C

A

O

A1

C1

Доказательство.

=>

Остальные равенства доказывают аналогично.


Слайд 138
Текст слайда:


Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, MN = 12.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

A

C

O

M

B

N

A

C

O

M

B

N


Слайд 139
Текст слайда:

2 случай


Пример 47. В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, MN = 12.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

A

C

O

M

B

N

A

C

O

M

B

N

1 случай


Слайд 140
ACOMBNРешение.  илиПо следствие теоремы синусов
Текст слайда:

A

C

O

M

B

N

Решение.

или

По следствие теоремы синусов


Слайд 141
5.2 Интерпретация алгебраического решенияАСOКrMBАСOКrMB2 случай    1 случай
Текст слайда:


5.2 Интерпретация алгебраического решения

А

С

O

К

r

M

B

А

С

O

К

r

M

B

2 случай

1 случай


Слайд 142
Текст слайда:

А

С

O

К

r

M

B

Решение.

B2

Интерпретируем отрицательный корень:
точка B расположена между точками M и K ,
то есть отрезок MB откладывается в
противоположном направлении.

Оба корня удовлетворяют решению задачи.


Слайд 143
АВСD103634АВСD1036342 случай.    1 случай.
Текст слайда:


А

В

С

D

10

36

34

А

В

С

D

10

36

34

2 случай.

1 случай.


Слайд 144
Текст слайда:

А

В

С

D

E

10

36

34

x

36

10

в треугольнике DEC :

Условию задачи соответствуют
два чертежа. В одном случае
угол CDE острый, в другом – тупой.

1. Пусть x = 14, тогда AD = 24.

угол D – острый.


Слайд 145
АВСD103634xE36102. Пусть x = 10, тогда AD = 20.угол D – тупой.
Текст слайда:

А

В

С

D

10

36

34

x

E

36

10

2. Пусть x = 10, тогда AD = 20.

угол D – тупой.


Слайд 146
Текст слайда:


Пример 50. (ЕГЭ, 2011). Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 36, касается средней линии, параллельной стороне AB. Известно, что BC = 9. Найти сторону AB.

А

С

В

M

N

O

l

l

В трапецию BMNC вписана окружность


Слайд 147
Текст слайда:

А

С

В

M

N

O

l

l

По формуле Герона

Два ответа означают, что условию задачи соответствует треугольник со сторонами
10, 17, 9.
Полученные значения x соответствуют двум способам обозначения вершин буквами.

y = 17 при x = 10 и
y = 10 при x =17.


Слайд 148
Текст слайда:


5.3 Задачи с параметрами

Пример 51. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом α при вершине А. Точка D – середина гипотенузы. Точка C1 симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол AC1B.

А

С

D

C1

B

А

С

D

C1

B

2 случай

1 случай

α

α

450 < α < 900

00 < α < 450


Слайд 149
Текст слайда:

А

С

D

C1

B

α

Точка D – центр окружности, описанной
около прямоугольного треугольника.

Точки C и C1 расположены по одну сторону от хорды AB.

Вписанные углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу, равны.


Слайд 150
АСDC1BαТочки C и C1 расположены по разные стороны от хорды AB.Четырехугольник AC1BC вписан в окружность, поэтому
Текст слайда:

А

С

D

C1

B

α

Точки C и C1 расположены по разные стороны от хорды AB.

Четырехугольник AC1BC вписан в окружность, поэтому


Слайд 151
Текст слайда:


Пример 52. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, одна из его
сторон равна а. Найдите вторую сторону треугольника.

A

С

B

2 случай

1 случай

С

A

B

a

a

a

l

l

l

l


Слайд 152
AСBllИспользуя неравенство треугольника, получаем систему
Текст слайда:

A

С

B

l

l

Используя неравенство треугольника, получаем систему


Слайд 153
АВСDMOO1αАВСDMOO1αАВСDMOO12 случай    1 случай    3 случай
Текст слайда:


А

В

С

D

M

O

O1

α

А

В

С

D

M

O

O1

α

А

В

С

D

M

O

O1

2 случай

1 случай

3 случай


Слайд 154
АВСDMOO1αПоэтому по разные стороны от прямой BD расположены центры O и O1 описанных около них окружностей.
Текст слайда:

А

В

С

D

M

O

O1

α

Поэтому по разные стороны от прямой BD расположены центры O и O1 описанных около них окружностей.


Слайд 155
αАВСDMOO1
Текст слайда:

α

А

В

С

D

M

O

O1


Слайд 156
АВСDMOO1НГПГ
Текст слайда:

А

В

С

D

M

O

O1

НГ

ПГ