Презентация, доклад по алгебре и началам анализа по теме Однородные тригонометрические уравнения. (10 класс).

Однородные тригонометрические уравнения.

Познакомимся с тригонометрическими уравнениями специального вида, довольно часто встречающиеся на практике.

Определение

Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Уравнения вида asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и b отличны от нуля, так как, если а = 0, то уравнение принимает вид bcosx=0, а получившееся уравнение cosx=0 отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при b=0 получаем sinx=0, что тоже не требует отдельного обсуждения.

Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0.
Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим:
asinx/cosx + bcosx/cosx = 0/cosx
atgx+b=0
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:
tgx= -b/a

Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль, потому что на нуль делить нельзя. Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае cosx отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что cosx=0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0, то есть sinx=0 (коэффициент а не равен нулю по условию). Получается, что и cosx=0 и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках.

Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx – вполне благополучная операция.

Уравнение вида asinmx+bcosmx=0
тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Для их решения обе части уравнения делят почленно на cosmx.

Примеры

№1. Решить уравнение
2sinx-3cosx=0.
Решение.
Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим:
2tgx-3=0;

№2. Решить уравнение
sin(2π-2х) =cos(2x- π/2).
Решение.


Разделив обе части уравнения почленно на
cos2x, получим:
tg2x - 1=0;

Рассмотрим теперь однородное тригонометри-ческое уравнение второй степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0.
Если коэффициент а отличен от нуля, то есть в уравнение содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая, как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cosx не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на cos2x.
asin2x/cos2x+bsinxcosx/cos2x+ccos2x/cos2x=0/cos2x;
atg2x+btgx+c=0
Это квадратное уравнение относительно новой переменной t = tgx.

Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 коэффициент а=0, то есть отсутствует член asin2x. Тогда уравнение принимает вид bsinxcosx=0. Это уравнение можно решить методом разложения на множители:
cosx( b sinx+ c cosx)=0
cosx=0 или bsinx+ccosx=0
Получились два уравнения, которые мы умеем решать.
Аналогично обстоит дело и в случае, когда c=0, то есть когда однородное уравнение принимает вид asin2x+bsinxcosx=0 (здесь можно вынести за скобки sinx).

Фактически мы выработали алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени.

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени.

Посмотреть, есть ли в уравнении asin2x;
Если asin2x содержится в уравнении , то есть а≠0, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующим введением новой переменной
t = tgx;
Если asin2x не содержится в уравнении, то есть а=0, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx;

Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второй степени вида
asin2mx+bsinmxcosmx+ccos2mx=0.

Примеры

№1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0.
Решение.
sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 ; |÷ cos2x
tg2x-3tgx+2=0.

№2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0.

Решение. cosx(√3sinx +cosx )=0