Презентация на тему Первообразная функция.Неопределенный интеграл.

«Неберущиеся» интегралы.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов элементарных функций. Формулы интегрирования.
Методы

вычисления неопределенных интегралов.

древнем Египте, примерно в 1800 до н. э., Московский

математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н.э Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

важнейших задач математического анализа. Подобные задачи возникают в приложениях

при исследовании процессов, в которых известна скорость изменения некоторой величины и требуется найти закон изменения самой этой величины.

на промежутке X, если в любой точке этого промежутка

верно равенство:
F’(x) = f(x).
Это равенство можно записать так:

поэтому функцию y=F(x) также называют первообразной для выражения f(x)dx на X.

Понятие первообразной функции.

– любые первообразные для f(x) на X, то F1(x)

– F2(x) = const на промежутке X.
Доказательство:
Введем обозначение: F(x) = F1(x) – F2(x). Требуется доказать, что F(x) = const на X. Этот факт будет доказан позже, и тогда эта теорема будет доказана.
Следствие. Если F(x) – какая-то первообразная для f(x) на X, то любую другую первообразную Ф(x) можно представить в виде: Ф(х) = F(x)+C, где C – некоторая постоянная.

Основная теорема интегрального исчисления.

функций, которые определены соотношением: F(x) + C.
Записывают: ∫ f(x)dx

= F(x) + C.
f(x) называется подынтегральной функцией.
f(x)dx называется подынтегральным выражением.
Отметим, что подынтегральное выражение является дифференциалом любой первообразной функции f(x):
dF(x) = F'(x) = f(x)dx. (1)
Результат примера 2 можно записать в виде

Неопределенный интеграл.

первообразную на этом промежутке. При вычислении производной любой элементарной

функции в результате всегда получаем элементарную функцию. Следовательно, любая элементарная функция имеет первообразную на каждом промежутке, на котором эта функция определена.
Если одна из первообразных функции y=f(x) является элементарной, то и все ее первообразные являются элементарными функциями. В этом случае говорят, что неопределенный интеграл выражается через элементарные функции или берется в конечном виде.
В ряде случаев оказывается, что первообразная элементарной функции y=f(x) не выражается через элементарные функции. Неопределенный интеграл от такой функции называют неберущимся в классе элементарных функций (кратко – неберущимся).

Поставим вопрос: какие функции имеют первообразную?

= (F(x) + C)' = f(x)
2. Дифференциал от

неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению
d(∫ f(x)dx)= f(x)dx.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
∫ dF(x) = F(x) + C.

Свойства неопределенного интеграла:

∫f(x)dx ± ∫g(x)dx, где f, g некоторые функции.
Пусть F(x)

– первообразная для f(x), а G(x) – первообразная для g(x). Тогда F'(x) = f(x), G(x) = g(x), и также ∫f(x)dx = F(x) + C1, ∫g(x)dx = G(x) + С2.
Складывая и вычитая два последние равенства, получим:
∫f(x)dx ± ∫g(x)dx = (F(x) ± G(x)) + (C1+ С2) (1)
С другой стороны, [F(x)±G(x)]' = F'(x)±G'(x) = f(x) ± g(x)/
Поэтому ∫[f(x) ± g(x)]dx = [F(x)±G(x)] +С. (2)
Правые части в этих равенствах равны с точностью до определенной постоянной, следовательно, равны и левые части.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
∫С*f(x)dx = C*∫f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла:

свойство линейности, что приводит к необходимости складывать произвольные постоянные

или умножать их на некоторое (фиксированное) число.
Если С1 и С2 – постоянные, которые могут принимать любое значение из R, α Ο R – фиксированное число, α≠0, то С1+ С2 = С, αС = С.
На практике при нахождении первообразных произвольную постоянную на промежуточных этапах не записывают, а добавляют лишь в конце вычислений.
Пример 3: ∫(x2 – 2sinx + 1)dx = ∫ x2dx – 2∫ sinxdx + ∫dx =
=

Произвольная постоянная

совокупности первообразных выбирается некоторая одна. За счет выбора С

можно выбрать первообразную, которая удовлетворяет тем или иным условиям. Часто используют начальные условия: при x = x0 О R первообразная должна принимать заданное значение y0.
Пример 4. Зависимость производительности от времени задается .
Как зависит от времени количество производимой продукции Q(t), если известно, что к моменту времени t0 = 1 было выпущено продукции в объеме Q0=50.
Так как q(t)=Q'(t), то Q(t) – первообразная функции q(t). В нашем случае t>0 b Q(t) = 3t + 2 lnΙtΙ + C.
Так как Q(1)=3 + 2 lnΙ1Ι+ С = 50, то C=47. Получаем функцию Q(t)=3t+2lnΙtΙ+47, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от времени.

Произвольная постоянная

нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства

элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Нахождение значения неопределенного интеграла

знак дифференциала).

требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то

с помощью замены x =и dx = получается:


Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:


По рассмотренному выше свойству 2 неопределенного интеграла:


что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

формуле производной произведения:
(uv)' = u'v +v'u
Где u и v

– некоторые функции от x.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv+vdu
Проинтегрировав, получаем: ∫d(uv) = ∫udv+∫vdu, а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: uv=∫udv+∫vdu
или


Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Элементарные методы интегрирования.

частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако,

последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

трапеции
4) Объем тел вращения

точках b и a называют определенным интегралом этой функции

от a до b. Определенный интеграл функции f от a до b обозначают так:



и читают: "Определенный интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс". Числа a и b называют пределами интегрирования (а - нижним, b - верхним), знак ò - знаком интеграла. Если а


где F - одна из первообразных функции f. Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b)-F(a) для краткости обозначают так: F(x)|ab. Значит,

интеграл меняет знак:


2. Для любого значения а справедливо

равенство:


3. Для любых значений а, b и с верно равенство:

сумме интегралов слагаемых


5. Постоянный множитель можно вынести за

знак интеграла:

отрицательна, непрерывна на отрезке [a;b] и имеет на нем

конечное число экстремумов. Обозначим через S(x) площадь криволинейной трапеции, расположенной над отрезком [a;x], где а£x£b, и ограниченной сверху графиком функции f. Тогда S(x) является первообразной для f(x), т.е. на отрезке [a;b] выполняется равенство S'(x)=f(x). Значит, площадь криволинейной трапеции находится по формуле:



Для существования первообразной у функции f достаточно, чтобы эта функция была непрерывна на отрезке [a;b]. Теорема. Любая функция f, непрерывная на отрезке [a;b] и имеющая на нем конечное количество экстремумов, имеет на этом отрезке первообразную.

и имеющая на нем конечное количество экстремумов, имеет на

этом отрезке первообразную.

Площадь криволинейной трапеции

неотрицательна на отрезке [a;b], то объем V тела, полученного

при вращении соответствующей криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, выражаются формулой:


Пример. Найдем объем шара радиуса R. Решение. Шар получается при вращении вокруг оси абсцисс полукруга. Уравнение полуокружности имеет вид: