Презентация на тему Фазовое пространство и фазовая плоскость

так как здесь скорость изменения у равна нулю.
Наибольшее распространение

В качестве параметров состояния используют выходную величину у (по оси абсцисс) и её производную по времени

у

Как правило, исследуется свободное движение нелинейной системы:

система выводится из состояния равновесия (задаются начальные условия), затем воздействие снимается. Правая часть дифференциального уравнения равна нулю, так как внешних воздействий (задающего и возмущающих) нет.

Дифференциальное уравнение второго порядка представляется двумя дифференциальными уравнениями первого порядка:

Уравнение фазовой траектории получается исключением времени t из этих уравнений (делением второго на первое):

В верхней полуплоскости фазовые траектории направлены слева направо, так как при увеличении у её производная по времени z > 0. В нижней полуплоскости фазовые траектории направлены справа налево, так как при уменьшении у z < 0.

f(t) показана штриховой линией.
Рассмотрим, как изображаются переходные процессы на

б

в

г

л

y(t)

z(t)

t

y

z

Предположим, переходной процесс – затухающие колебания.

Построим кривую

y

z

а

в

г

д

е

л

м

В точке а Z = 0.

То же в точках в, д, к, м.

В точках б, г, е, л Z имеет максимумы.

?

Кривая Z показана штриховой линией.

Нанесём эти точки на фазовую плоскость и соединим кривой.

Это фазовая траектория.

y

z

z

y(t)

z(t)

Проделаем то же для расходящихся колебаний (неустойчивая система).

Фазовая траектория имеет вид

y

t

Вывод: затухающие колебания на фазовой плоскости изображаются в виде сходящихся спиральных кривых;
расходящиеся колебания на фазовой плоскости изображаются в виде расходящихся спиральных кривых.

y

z

Незатухающий колебательный процесс изобразится в виде

замкнутой кривой.

?

За один период колебаний изображающая

переместится по всему контуру фазовой траектории.