Презентация на тему Дифференциальные уравнения

n – го порядка для функции y аргумента x

называется соотношение вида
(1.1),
где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости

XOY , и в этой области задана точка , то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия

вида (3.1)
или уравнение вида

(3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:
;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

для его правой части при любых справедливо соотношение ,

называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

(5.1)
Если , то это уравнение с помощью подстановки

, где и - новые переменные, а и - некоторые постоянные числа, определяемые из системы
Приводится к однородному уравнению
Если , то уравнение (5.1) принимает вид
.
Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

такое число k, что левая часть этого уравнения становится

однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k‑го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение .

Обобщенное однородное уравнение

уравнением Бернулли.
Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли

на . В результате получим:

Уравнение Бернулли

часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно

называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ

= µ(x,y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение
µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.

Интегрирующий множитель

with(plots):
> p1:= odeplot (F,[t , x(t)],-3..7,color= black, thickness=2,linestyle=3):
> p2:=odeplot(F,[t

, x(t)],-3..7,color= green, thickness=2):
> p3:=textplot([3.5,8,"x(t)"],font=[TIMES,ITALIC, 12]):
> p4:=textplot([5,13,"y(t)"],font=[TIMES,ITALIC, 12]):
> display(p1,p2,p3,p4);

Примеры задачи Maple