Презентация на тему Задания на производную

рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как

мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.
Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.

скорость? Что это такое?



Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую

оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в

разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной

в данный момент времени» не более как синоним фразы

«мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость».

Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса.
Итак, проблема поставлена.
Приступим к её решению.

мы тебя исследуем !
Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему ?
Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью.
Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания

и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.
Рассмотрим подробно каждую из них.

свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния

покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени,

прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).
Если промежуток времени h очень мал, то приближённо
s(t+h)-s(t)≈v(t)∙h, или , причём

последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h.
Сказанное записывают в виде

времени от t0 до t при t→ t0, называется

мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0

v(t0) =

∆t = t – t0

∆x = x – x0
∆v = v(t+t0) - v(t0) ∆f = f(x+x0) – f(x0)
.
.

На языке предмета На математическом языке

терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить

прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x).

- f(x0)

∆x = x – x0
2)

∆f = f(x+x0) – f(x0)
3)

4)

x0

x0+∆x

∆x

∆y

y

x

0

Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле

в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся

в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .

Скорость растворения в данный момент времени

∆t = t – t0

∆x = x – x0
∆f = f(t1) - f(t0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.

На языке предмета На математическом языке

массой в 1 кг повышается от t1 = 0

до t2 = τ, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры τ, до которой тело нагревается: Q=Q(τ).

Пусть температура повысилась с τ до τ +Δτ. Количество тепла ΔQ, затраченное для этого нагревания равно: ΔQ=Q(τ+Δτ)-Q(τ).
Отношение есть количество тепла,
которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1. Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры τ.
Теплоёмкостью при температуре τ называ-ется предел отношения приращения количества тепла ΔQ к приращению температуры Δτ.( при Δτ →0)

∆x = x – x0
∆Q = Q(τ1) - Q(τ0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.

А л г о р и т м

На языке предмета На математическом языке

q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за

время t.
Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока.
Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt→0.

∆x = x – x0
∆q = q(t1) - q(t0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.

А л г о р и т м

На языке предмета На математическом языке

а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции,

а y - приращение издержек производства.

В этом случае производная выражает предельные

издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной

единицы продукции ,где MC – предельные

издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.C(t)СС

экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример - категория

предельной выручки
(MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки:


При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом ,  MR= P.

Экономические задачи

за время t. Найдем производительность труда в момент t0.

За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+ u = u(t0+ t). Тогда средняя
производительность труда за этот период
поэтому производительность труда в момент t0

на ограниченной территории в момент времени t.
Пусть у=у(t)- численность

населения.
Рассмотрим прирост населения за t = t - t0
y=k ∙ y ∙ t, где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости,
кс – коэффициент смертности)

получим

и той же математической модели – пределу отношения приращения

функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:
Присвоить ей новый термин.
Ввести для неё обозначение.
Исследовать свойства новой модели.
Определить возможности применения нового понятия - производная

предел отношения приращения функции в точке х к приращению

аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;
б)

угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0;
в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;
г) теплоёмкость С(τ) при температуре τ есть производная от количества тепла Q(τ), получаемого телом;
д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических

задач оптимизационного характера.
И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

У нас впереди огромные возможности для исследовательской работы в новых проектах!

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский