Презентация на тему Решение прямоугольных треугольников

то есть для треугольников у которых один угол равен

90°

С

B

A

катет

гипотенуза

катет

катет
СF – катет
PF - гипотенуза
CH- катет
СB – катет
НВ -

АС - катет

ВС - катет

АВ -гипотенуза

AC2 + CB2

AB2 =

c

B

A

катет

катет

гипотенуза

К2 + К2 = Г2
32 + 42 =

9 + 16 = Г2

25 = Г2

Г=

АВ =5

АС2 + СB2 = AВ2

другому катету



ВС2 = АВ2 - АС2
Г2 – К2

100 – 64 = К2
36 = К2
К =

СВ = 6

12 + 12 = Г2
1 + 1 = Г2

С

В

А

С

В

А

АВ =

СВ = 2

УГЛА
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

величину угла. В числителе и в знаменателе такой дроби

какого-то угла. Итак, надо, например, найти cos А (т.е.

А

С

В

отношение тех сторон, которые обвели.
Это дробь в числитель, которой

А

С

В

Прилежащий катет

Гипотенуза

cos A =

AC

AB

угол В, обвели его стороны.

Записали дробь в числителе,

cos B =

A

C

B

прилежащий катет

Гипотенуза

ВС

АВ

Синус этого угла - это дробь в числителе, которой

A

C

B

Гипотенуза

Противолежащий катет

sin A =

BC

AB

угол В, обвели его стороны.

Записали дробь в числителе,

sin B =

A

C

B

Гипотенуза

AC

АВ

Противолежещий катет

Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой

A

C

B

Противолежащий катет

tg A =

BC

AC

Прилежащий катет

Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой

tg B =

A

C

B

AC

BC

Противолежещий катет

Прилежащий катет

BH/BK

sin B = HK/BK

tg B = HK/BH
cos B =

прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе.
Угол D

C

D

H

A

C

D

A

H

высота

sin D=CH/CD
cos D=DH/CD
tg D=CH/DH

sin D= AC/AD
cos D=DC/AD
tg D=CA/DH

RC/BR

sin R = BC/BR

tg R = BC/RC
cos R =

данным сторонам
Как решать:
Выразить sin (cos, tg) через стороны треугольника

sin A = BC/AB
AB=25, надо найти ВС,
По теореме

С

А

В

15

25

sin A = ?

AC=15
AB=25

A = ?
0,8

0,75

0,8
0,75

g A = ?

tg) и стороне
Как решать:
Выразить sin (cos, tg)

= CB/AB
BC/13=5/13,
значит ВС=5
надо найти AС,
по теореме Пифагора

С

А

В

?

13

cos B=5/13

AB =13
AC = ?

= 0,8
15
8
?
39
cos A =5/13
36
21

позволяет по данному значению синуса острого угла прямоугольного треугольника

sin A = 3/5
cos A = ?

cos

cos A = √13/ 7

sin A = ?

sin A =√1 – (√13/7)2

sin A = √1- 13/49

sin A = √49/49 -13/49

sin A = √36/49

sin A = 6/7

0,6

cos A = 0,6
sin

0,8

sin A = 12/13
cos A = ?

5/13

√93/10

cos A = √7/10
sin A = ?

sin A = 3/√34
cos A = ?

5/√34

cos A=√91/10
sin A = ?

0,3

sin A = 5/√41
cos A = ?

4/√41

cos A =5/13
sin A = ?

12/13

и стороне
Как решать:
Выразить sin (cos) через стороны

дана, но такой
стороны нет
По данному значению
sinA

С

A

B

4

sin A = 3/5

?

sin A = BC/AB

cos A =
√1 – (3/5)2 = 4/5

cos A = AC/AB

cos A = 4/AB

4/5 = 4/AB

АВ = 5

cos B = √1 – 121/196

С

В

А

10√3

?

sin B =11/14

= 10
Ответ:
ВС = 9

= 30
Ответ:
AB =5

две стороны равны.

Эти стороны называются боковыми. Третья сторона

основание

Боковая сторона

Боковая сторона

А

В

С

помнить: основание не обязательно располагается горизонтально.





A
B
C
C
A
B
A
B
C
AB – основание

это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной

K

A

AK - биссектриса

В

H

BH - высота

СD - медиана

С

D

проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Медиана, проведенная
к

А

B

C

H

AH - высота,
биссектриса,
медиана.

AC = CB

основанию


Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, разбивает его на

H

C

A

D

BAH. Это прямоугольный треугольник, в котором даны две стороны

B

А

C

H

2√6

AB = BC
AB = 5
BH =2√6
cosA = ?

H

B

A

2√6

cosA = AH/AC
cosA = AH/5

5

5

cosA = 1/5 =0,2

HB = 16 CH – высота, значит

С

А

В

H

?

AC = BC
AB = 32
cosA = 4/5
CH =?

H

C

A

?

16

cosA = 4/5
cosA = AH/AC
AH/AC = 4/5
16/AC = 4/5
AC = 20

Найдите cos А.

В треугольнике АВС
АС=ВС=

В треугольнике АВС
АС=ВС, АВ=24, cos А =
Найдите высоту СH

В треугольнике АВС
АС=ВС=8, sin B=
Найдите АВ

В треугольнике АВС
АС=ВС, АВ=2, sin A=
Найдите АC.

A = 6/5 = 1,2
15
9
CH = 12
sin A=12/15= 0,75


A
C
B

A
C
B

A
C
B

12

H
?
AC=

H

8

CH =
HB = 6
AB = 12

1

?

cos A = ¼
AC = 4

стороне
Высота, проведенная к боковой стороне треугольник, в общем случае,

B

B

H

A

C

H

H

H

H

A

A

C

C

C

C

B

Найдите ВН.

Очевидно, что
Значит cosA = cosB = 3/5

Данная

В

А

Н

С

6

?

6

?

В

Н

А

Н

В

А

?

6

BH = 3,6

sinA
В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=25, высота АН=15. Найдите cosA


В

В

А

С

Н

1задача
sinA= sinB= AH/AB
sin A=5/20= 0,25

2задача
cosA=cosB=HB/AB
HB= 20 (т.Пифагора)
cos A=20/25=0,8

B

A

C

H

3 задача
sin ACB=sin A=
=CH/AC=4/16=0,25

боковой стороне
Сумма углов треугольника 180° . Поэтому в равнобедренном

A

H

B

C

A

H

C

B

H

B

АС=5,
sin C=0,6 CH – высота.

A

H

С

В

5

A

H

С

5

?

АН = 24 Найдите синус угла АСВ

В тупоугольном
треугольнике АВС

0,28

0,5

углов прямоугольного треугольника 90°. Значит, синус одного равен косинусу

С

А

В

α

β

α + β = 90°
sin α = cos β
sin β = cos α

tg α=ctg β
tg β=ctg α

α

β

C

A

B

α + β = 180°
sinα = sin β

cos α = - cos β
tg α = - tg β

равен 90°, cos B =4/5. Найдите косинус внешнего угла

A

С

В

cosB=sinA=4/5
Используя основное
тригонометрическое тождество
cos A= 3/5

С

А

В

25

Н

15

sin B=20/25=4/5

- 3/5 = - 0,6

4/5=0,8

В= 0,8. Найти sin A

В ∆ АВС угол

С

А

В

0,8

0,6

С

А

В

- 0,5

ВС=6. Найти тангенс внешнего угла при

С

A

B

6

- 0,6

С

B

A

5

4

Найти
синус внешнего

С

A

B

8

- 2

С

А

В

Н

0,7

10