Презентация на тему Кривые второго порядка

ОКРУЖНОСТЬ
Уравнение окружности с центром в точке S (a;

b) и радиусом r имеет вид:

Рис. 1

x

y

0

S(a;b)

r

Уравнение второй степени относительно текущих координат x и y является уравнением окружности тогда и только тогда, когда в этом уравнении коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат отсутствует. Таким образом, это уравнение имеет вид

Это каноническое уравнение окружности (рис. 1).

(1)

(2)

В этом случае говорят, что окружность задана общим уравнением.
Для определения координат центра и радиуса окружности, заданной общим уравнением, надо с помощью тождественных преобразований уравнение (2) привести к виду (1).

и проходящей через точку М (2; 1).
Решение. Так как

окружность касается осей координат, то она полностью лежит в одной из координатных четвертей, а именно в I четверти, поскольку одна из ее точек М (2; 1) находится в этой четверти. По той же причине центр искомой окружности S (a; b) равноотстоит от осей координат. Следовательно, он имеет равные положительные координаты (a = b > 0), а радиус r этой окружности равен а. Таким образом, каноническое уравнение искомой окружности принимает вид

Для нахождения а воспользуемся тем, что точка М (2; 1) лежит на окружности:

или

Это означает, что условию задачи удовлетворяют две окружности:

Отсюда

и

и

r окружности, заданной общим уравнением
Решение. Приведем данное уравнение к

виду (1). Для этого разделим все его члены на 9, а затем сгруппируем отдельно члены, содержащие x и у:

Дополним выражения, стоящие в каждой из скобок, до полного квадрата:

Теперь данное уравнение принимает вид

или

откуда

Сравнивая это уравнение с уравнением (1), получим a = – 2, b = 1 и r = 5/3.
Таким образом, данная окружность имеет центр в точке S (–2; 1) и радиус r = 5/3.

точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых

фокусами эллипса, есть величина постоянная (2а), большая, чем расстояние между фокусами (2с).
Простейшее уравнение эллипса получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось Ox принять прямую, проходящую через фокусы

и

(рис. 2).

x

y

Рис. 2

0

Тогда уравнение эллипса примет вид:

(1)

где

Точки

и

,

и

пересечения эллипса с его

осями симметрии (координатными осями) называются вершинами эллипса. Отрезки

и

длины которых соответственно равны 2а и 2b, называются осями эллипса, причем

– большой осью, а

– малой осью, так как а > b. Таким образом, параметры а и b, входящие в уравнение эллипса, равны его полуосям.

его большой оси, т.е.
е = с/а. (2)
Очевидно, что е

1.
Если эллипс, определяемый уравнением вида (1), расположен так, что его фокусы лежат на оси Оу (рис. 3)

x

Рис. 3

0

то тогда b > а и большой осью служит отрезок

длиной 2b, а малой осью – отрезок

длиной 2а.

Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле

е = с/b,

где

y

эллипса
Решение. Приведем данное уравнение к простейшему виду (1),

для чего свободный член перенесем вправо и разделим на него все члены уравнения. В результате получим

или

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), имеем а = 5, b = 3. Отсюда находим оси эллипса 2а = 10, 2b = 6 и координаты вершин

Далее находим

Следовательно, фокусами эллипса служат точки

и

Эксцентриситет эллипса вычисляем по формуле (2): е = с/а = 4/5.

Найти центр, оси, вершины, фокусы и эксцентриситет этого эллипса.
Решение.

Приведем данное уравнение к простейшему виду. Для этого сгруппируем отдельно члены, содержащие переменные x и у:

В каждой из скобок вынесем коэффициент при квадрате переменной, а затем выделим полный квадрат:

Данное уравнение преобразуем теперь к виду

или

откуда

Введем обозначения

Произведенную замену переменных будем рассматривать как преобразование декартовых координат x, у в координаты x’, y’, при параллельном сдвиге координатных осей, причем новое начало координат находится в точке O’ (3; –1). В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

в точке
O’ (3; –1).
И полуосями
и
(рис. 4)
0
x
y

Кроме

того,

Отсюда находим эксцентриситет е = с/а = 2/3.

Остается найти координаты вершин и фокусов эллипса. В новой системе координаты вершин таковы:

координаты фокусов:

и

Так как старые координаты выражаются через новые по формулам

то, возвращаясь к первоначальной системе координат, окончательно получим:

Рис. 4

которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина

постоянная (2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2с).
Простейшее уравнение гиперболы получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось Ох принять прямую, проходящую через фокусы

и

(рис. 5)

Рис. 5

x

y

0

а за ось Оу перпендикуляр в середине отрезка

Тогда уравнение гиперболы примет вид:

(1)

где

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках

и

называемых вершинами гиперболы. Отрезок

длиной 2а называется действительной осью гиперболы, а отрезок

длиной 2b – мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры а и b, входящие в уравнение гиперболы, равны ее полуосям.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к ее действительной оси:
е = с/а (2)
Очевидно, что е > 1.

ось гиперболы направлена по оси Ох и имеет длину

2а, а действительная ось длиной 2b направлена по оси Оу (рис. 6)

Рис. 6

x

y

0

(3)

то уравнение гиперболы имеет вид

(4)

Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле:
е = с/b

Ее асимптоты те же, что и у гиперболы (1).
Гиперболы (1) и (4) называются сопряженными.
Гипербола называется равносторонней, если ее действительная и мнимая оси равны, т.е. а = b. Простейшее уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

или

(5)

уравнения асимптот гиперболы
Решение. Перенесем свободный член вправо и разделим

на него все члены данного уравнения. В результате получим простейшее уравнение гиперболы

или

Сравнивая это уравнение с уравнением (1), имеем а = 3, b = 4. Таким образом, действительная ось гиперболы 2а = 6, а мнимая ось 2b = 8; координаты вершин

и

Далее,

следовательно, фокусами гиперболы служат точки

и

Эксцентриситет гиперболы вычисляем по формуле (2): е = с/а = 5/3. Наконец, подставляя значения а = 3, b = 4 в формулы (3), получаем уравнения асимптот гиперболы: у = 4х/3 и у = –4х/3.

гиперболы. Найти центр, оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты

этой гиперболы.
Решение. Приведем данное уравнение к простейшему виду

Обозначим

и

Таким образом, мы производим преобразование параллельного переноса осей координат в точку О (–3;1). В новой системе координат данное уравнение принимает вид

т.е. определяет гиперболу с центром в точке

и полуосями

и

(рис. 7)

Рис. 7

y

0

x

Так как

то е = с/а = 3/2.

Нетрудно найти координаты вершин и фокусов в новой координатной системе:

Так как

то, возвращаясь к старой системе координат, получим

Остается найти асимптоты гиперболы. В новой системе координат уравнения асимптот имеют вид

т.е.

Заменяя теперь

на x + 3, а

на у – 1, получим уравнения асимптот в

первоначальной системе координат:

называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.
Величина р,

равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы; прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно ее директрисе, называется осью, а точка пересечения параболы с ее осью – вершиной параболы.
Простейшее уравнение параболы получается, если координатная система расположена следующим образом: за одну из координатных осей берется ось параболы, а за другую – прямая, перпендикулярная оси параболы и проведенная посредине между фокусом и директрисой.
Тогда уравнение параболы примет вид:

(рис. 8)

(рис. 9)

(рис. 10)

(рис. 11)

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

(1)

(2)

(3)

(4)

параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат.
Уравнения (5) и (6)

приводятся к простейшему виду (1) – (4) путем тождественных преобразований с последующим параллельным переносом координатной системы.

Задание 1. Определить координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы

Решение. Сравнивая это уравнение с уравнением (1), находим, что
2p = 4, откуда p/2 = 1. Таким образом, точка F(1; 0) – фокус параболы, а прямая x + 1 = 0 – ее директриса.

Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.
Решение. Приведем

данное уравнение к простейшему виду. Для этого выразим y через x и в полученном выражении выделим полный квадрат:

или

т.е.

Откуда

Следовательно,

или

Положим теперь

тем самым мы производим преобразование параллельного переноса координатных осей без изменения их направления в точку

В новой системе координат уравнение параболы примет вид:

таким образом, в новой системе координат данная парабола имеет

фокус F(0; –1/8), осью параболы является ось

(ее уравнение

), а уравнение директрисы

(рис. 12)

Рис. 12

Возвращаясь к старой системе координат, получим:
вершину параболы

координаты фокуса:

т.е.

уравнение оси параболы x – 3 = 0
уравнение директрисы у – 5 = 1/8, или 8у – 41 = 0.