Презентация на тему Передаточные функции разомкнутой и замкнутой цифровых систем управления

структурная схема которой показана на рис. 1. Подобные системы называют

импульсными фильтрами. Импульсный фильтр состоит из объекта управления, непрерывной части, формирующего элемента и дискретизатора. Непрерывная часть и формирующий элемент образуют приведенную непрерывную часть импульсного фильтра, на вход которой подаются мгновенные импульсы

равен сумме реакций приведенной непрерывной части от каждого мгновенного

импульса:
(1)

Следует иметь в виду, что сигнал на выходе импульсного фильтра является непрерывным и не равным нулю между дискретными моментами времени.
Введем последовательность мгновенных импульсов выходного сигнала. С этой целью условно подключим к выходу фильтра фиктивный дискретизатор, работающий синхронно с основным дискретизатором импульсного фильтра.

выходного сигналов осущест­вляется синхронно, при

имеем:
(2)

(3)

Подставляя уравнение (2) в (3), получаем

(4)
Подстановкой уравнение (4) приводится к виду:
(5)

- весовая последовательность системы, а выражение (7) является

по определению Z-преобразованием функции и
. (8)
Теперь преобразование выхода, определяемое уравнением (6), можно записать в виде:
(9)

выход системы с ее входом. В уравнении (9) функция

, которая является отношением выхода к входу , (10)

называется импульсной передаточной функцией или Z-передаточ­ной функцией импульсной системы. Следовательно, импульсная передаточная функция может быть определена как отношение Z-преобразований импульсного выхода системы к Z-преобразованию ее импульсного входа.

части (импульсного фильтра) имеет вид: (11)

где Wн(s) – передаточная функция непрерывной

части фильтра.
Уравнению (11) соответствует импульсная переходная функция
(12)
где:   – переходная функция непрерывной части фильтра.

процессы, происходящие в импульсном фильтре только в дискретные моменты

времени. Для анализа характеристик между этими моментами времени используется смещенная дискретная передаточная функция, которая равна Z-преобразованию смещенной импульсной переходной функции приведенной непрерывной части фильтра. Для образования смещенной импульсной переходной функции необходимо в цепь фиктивного дискретизатора включить звено запаздывания с передаточной функцией

импульсного фильтра определяется как
(13)

где – cмещенная импульсная переходная функция приведенной непрерывной части фильтра.
Придавая  значение от нуля до единицы, можно определить смещенные передаточные функции (13), которые позволяют оценить процессы в импульсном фильтре для различных дискретных моментов времени.

накапливает поступающие на его вход положительные и отрицательные импульсы.

Счетчик является цифровым интегратором и описывается разностным уравнением: где – дискретные значения выходного и входного сигналов.
Решение. Применим к уравнению Z-преобразование. В результате с учетом теоремы (…) найдем, что
В соответствии с (9) передаточная функция счетчика

схему замкнутой цифровой САУ (Рис. 1), в которой цифровой

фильтр с передаточной функцией является последовательным корректирующим устройством.
Передаточные функции замкнутой системы определяются так же, как и в непрерывных системах:
(14)

где  – передаточная функция разомкнутой системы.

Структурная схема замкнутой цифровой САУ

функции применяются для анализа устойчивости и качества работы цифровых

систем.
При определении смещенной передаточной функции замкнутой системы следует учитывать, что звено запаздывания, с помощью которого учитывается смещение во времени, подключается на выходе системы к цепи фиктивного дискретизатора.
(15)

где   – смещенная передаточная функция разомкнутой системы.

так же как и непрерывные системы, в зависимости от

ошибки в установившемся режиме подразделяются на статические и астатические. Ошибка в установившемся режиме в дискретные моменты времени находится по теореме о конечном значении . При входном сигнале
(16)

по (3), считают статической. Если эта ошибка не равна

нулю, то цифровую систему называют статической, в противном случае система относится к классу астатических. Из уравнения (3) следует, что в астатической системе передаточная функция ошибки равна нулю в точке z=1, что выполняется, если передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с (1) имеет полюс в этой же точке.

по (3), считают статической. Если эта ошибка не равна

нулю, то цифровую систему называют статической, в противном случае система относится к классу астатических. Из уравнения (3) следует, что в астатической системе передаточная функция ошибки равна нулю в точке z=1, что выполняется, если передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с (1) имеет полюс в этой же точке.
(17)

часть цепи задана в обычном виде передаточной функцией W(s).

Для отыскания дискретной передаточной функции W(z) необходимо предварительно находить весовую функцию из передаточной функции W(s), а затем воспользоваться выражением (6).
К дискретной передаточной функции от непрерывной можно перейти через таблицы соответствия изображения по Лапласу и Z-изображения. Этому непосредственному переходу от W(s) к W(z) соответствует условная запись: (18)

получения дискретной передаточной функции по формулам (2) и (18)

являются точными, но их применение для реальных систем второго порядка и выше затруднительно. Поэтому в практических расчетах импульсных систем используют приближенные способы перехода от передаточной функции W(s) к дискретной передаточной функции W(z). Эти способы основаны на замене производной во времени, фигурирующей в уравнении непрерывной части, первой разностью: (19)

дифференциальное уравнение непрерывного интегратора: (20)
и, подставив в него (19), получим

разностное уравнение интегратора
(21)
Запишем уравнение (21) в Z-форме:
(22)
(23)

что обычная передаточная функция интегратора (24)
получаем одну из наиболее часто

используемых формул приближенного перехода от передаточной функции к дискретной передаточной функции:

(25)
Более точный переход от непрерывной системы к дискретной обеспечивает подстановка Тастина
(26)

систем получаются из их передаточных функций путем замены оператора

z на . Так как частота входит в показатель степени числа е , то частотные характеристики оказываются периодическими функциями частоты, период изменения которых равен T. Следовательно, нельзя различить составляющие, частоты которых кратны частоте работы дискретизатора .

трансцендентными уравнениями. Их определение связано со сложными расчетами, поэтому

на практике вводят понятие псевдочастоты. Переход к псевдочастоте основан на введении комплексной переменной:
(27)
(28)
Учитывая содержание z как и произведя замену , из (27) получим
(29)

(30)

Теперь (29) принимает вид
(31)
Удобство псевдочастоты заключается в том, что

на частотах, на которых выполняется условие T<2, она приближенно равна круговой частоте.
Нетрудно убедиться, что при изменении частоты

частоты псевдочастота принимает значения от - до +, а

комплексная переменная w движется по мнимой оси от -j до +j, то есть внутренняя часть круга единичного радиуса на плоскости комплексной переменной z отображается на левую полуплоскость комплексной переменной s. Таким образом, частотные характеристики цифровых САУ определяются уравнением:
при

для вычисления ее дискретной передаточной функции?
Что называют импульсным фильтром?
Как

определяется дискретная передаточная функция системы при последовательном, параллельном соединении звеньев и соединении звеньев с обратной связью?
Какие виды частотных характеристик используют для анализа цифровых систем?
Для чего введено понятие псевдочастоты?

Часть 2.  Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, 1999. – 83 с.
Лукас В.А.

Теория автоматического управления. – М.: Недра, 1990. – 416 с.