Презентация на тему Задание с2

нахождением:

Угла между прямыми

Угла между прямой и плоскостью

Угла между двумя плоскостями

Расстояния от точки до прямой

Расстояния от точки до плоскости

Расстояния между двумя прямыми

угол между прямыми АВ1 и ВС1.
Первое решение.

Прямая AD1 параллельна прямой ВС1 и, следовательно, угол между прямыми AB1 и ВС1 равен углу B1AD1. Треугольник B1AD1 равносторонний и, значит, угол B1AD1 равен 60°.

Второе решение.
Введем систему координат, считая началом координат точку А, осями координат — прямые АВ, AD, АА1. Вектор имеет координаты (1, 0,1). Вектор имеет координаты (0,1,1). Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла  между

Векторами и . Получим и, значит, угол  равен 60°.

Следовательно, искомый угол между прямыми АВ1 и ВС1 равен 60°.
Ответ:60°

угол между прямыми DA1 и ВD1.
Первое решение.

Рассмотрим ортогональную проекцию AD1 прямой BD1 на плоскость ADD1. Прямые AD1 и DA1 перпендикулярны. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что прямые DA1 и BD1 также перпендикулярны, т. е. искомый угол между прямыми DA1 и BD1 равен 90°.

Второе решение.
Введем систему координат, считая началом координат точку А, осями координат — прямые АВ, AD, АА1. Вектор имеет координаты (0, -1,1). Вектор имеет координаты (-1,1,1). Скалярное произведение этих векторов равно нулю и, значит, искомый угол между прямыми DA1 и BD1, равен 90°.
Ответ: 90°

кото-
рой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD1

и СЕ1, где D1и Е1 — соответственно середины ребер А1С1 и В1С1.

Первое решение.
Обозначим D и F1 соответственно середины ребер АС и А1В1.Прямые DC1 и DF1 будут соответственно параллельны AD1 и CE1. Следовательно, угол между прямыми AD1 и CE1 будет равен углу C1DF1.

Треугольник C1DF1 равнобедренный, , .

Используя теорему косинусов, получаем

координат точку А, как показано на рисунке.

Точка С

имеет координаты , точка D1 имеет координаты , точка E1


имеет координаты Вектор имеет координаты . Вектор


координаты Косинус угла между прямыми AD1 и СE1 равен косинусу угла между

векторами и . Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла  между

векторами. Получим =0,7
Ответ: 0,7

ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AF

и плоскостью ВСС1.

Решение.
Пусть О — центр нижнего основания призмы. Прямая ВО параллельна AF. Так как плоскости ABC и ВСС1 перпендикулярны, то искомым углом будет угол ОВС. Так как треугольник ОВС равносторонний, то этот угол будет равен 60°.
Ответ: 60°

ребра которой равны 1, найдите угол между прямой СС1

и плоскостью BDE1.

Решение.
Так как прямые ВВ1 и СС1 параллельны, то искомый угол будет равен углу между прямой ВВ1 и плоскостью BDE1. Прямая BD, через которую проходит плоскость BDE1, перпендикулярна плоскости АВВ1 и, значит, плоскость BDE1 перпендикулярна плоскости АВВ1. Следовательно, искомый угол будет равен углу А1ВВ1; т. е. равен 45°.
Ответ: 45°

равны 1, найдите синус угла между прямой BE и

плоскостью SAD, где Е — середина ребра SC.

Решение.
Через вершину S проведем прямую, параллельную прямой АВ, и отложим на ней отрезок SF, равный отрезку АВ. В тетраэдре SBCF все ребра равны 1 и плоскость BCF параллельна плоскости SAD. Перпендикуляр ЕH, опущенный из точки Е на плоскость BCF,

равен половине высоты тетраэдра, т. e равен . Угол между прямой BE и плоскостью SAD

равен углу ЕВН, синус которого равен .

Ответ:

которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFF1 и

DEE1.

Первое решение.
Так как плоскость FCC1 параллельна плоскости DEE1, то искомый угол равен углу между плоскостями AFF1 и FCC1. Так как плоскости AFF1 и FCQ перпендикулярны плоскости ABC, то соответствующим линейным углом будет угол AFC, который равен 60°.

Второе решение.
Так как плоскость AFF1 параллельна плоскости BEE1, то искомый угол равен углу между плоскостями ВЕЕ1 и DEE1. Так как плоскости ВЕЕ1 и DEE1 перпендикулярны плоскости ABC, то соответствующим линейным углом будет угол BED, который равен 60°
Ответ: 60°

между плоскостями ADD1 и BDC1.
Решение.
Так как

плоскость ADD1 параллельна плоскости ВСС1 то искомый угол равен углу между плоскостями ВСС1 и BDC1. Пусть Е — середина отрезка ВС1. Тогда прямые СЕ и DE будут перпендикулярны прямой ВС1 и, следовательно, угол CED будет линейным углом между плоскостями ВСС1 и BDС1. Треугольник CED прямоугольный, катет CD равен 1, катет СЕ

равен . Следовательно, .

Ответ:

которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АСВ1

и BA1C1.

Решение:
Пусть DE—линия пересечения данных плоскостей, F — середина отрезка DE, G — середина отрезка А1С1. Угол GFB1 является линейным углом между данными плоскостями.

В треугольнике GFB1 имеем: По теореме косинусов

находим

Ответ:

которой равны 1, найдите расстояние от точки А до

прямой D1F1.

Решение.
Так как прямая D1F1 перпендикулярна плоскости AFF1, то отрезок AF1 будет искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую D1F1. Его длина равна
Ответ:

точки А до прямой BD1.
Первое решение.
Искомым

перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD1, в котором


Для площади S этого треугольника имеют место равенства



Откуда находим

АН прямоугольного треугольника ABD1, в котором

 
Треугольники BAD1 и ВНА

подобны по трем углам. Следовательно,


Откуда находим

Третье решение.
Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD1; в котором

Откуда и, следовательно,


Ответ:

которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите

расстояние от точки F до прямой BG, где G — середина ребра SC.

Решение:
Искомое расстояние от точки F до прямой BG равно высоте FH треугольника FBG, в

котором По теореме Пифагора находим

Ответ:

точки А до плоскости BDA1.
Первое решение.
Пусть

О — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости АОА1. Следовательно, плоскости BDA1 и АОА1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDA1, является высота АН прямоугольного треугольника АОА1, в котором


Для площади S этого треугольника имеют место равенства


Откуда находим

отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA1. Следовательно, плоскости

BDA1 и АОА1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDA1 является высота АН прямоугольного треугольника АОА1 в котором


Треугольники АОА1 и НОА подобны по трем углам. Следовательно, АА1 : OA1 = АН : АО.

Откуда находим

Третье решение.
Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости АОА1. Следовательно, плоскости BDA1 и АОА1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDA1, является высота АН прямоугольного треугольника АОА1 в котором


Откуда и, следовательно,


Ответ:

центр основания пирамиды. Пря-мая АО параллельна прямой ВС и,

значит, параллельна плоскости SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до плоскости SBC. Пусть G — середина отрезка ВС. Тогда прямая 0G перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки О на плоскость SBC,

является высота ОН прямоугольного треугольника SOG. В этом треугольнике

Для площади S этого треугольника имеют место равенства

Откуда находим

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBC.

основания пирамиды. Прямая АО параллельна прямой ВС и, значит,

параллельна плоскости SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до плоскости SBC. Пусть G — середина отрезка ВС. Тогда прямая OG перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки О на плоскость SBC, является высота ОН прямоугольного треугольника SOG. В этом треугольнике



Треугольники SOG и OHG подобны по трем углам. Следовательно , SO : SG = ОН : OG.
Откуда находим

Ответ:

которой равны 1, найдите расстояние от точки А до

плоскости BFE1.

Первое решение.
Пусть О и О1 — центры оснований призмы. Прямая АО1 параллельна плоскости BFE1 и, следовательно, расстояние от точки А до плоскости BFE1 равно расстоянию от прямой АО1 до плоскости BFE1 . Плоскость AOO1 перпендикулярна плоскости BFE1 и, следовательно, расстояние от прямой А01 до плоскости BFE1 равно расстоянию от прямой AO1 до линии пересечения GG1 плоскостей АОО1 и BFE1. Треугольник А001 прямоугольный, АО = ОО1 = 1, GG1 — его средняя линия. Следовательно, расстояние между прямыми АО1 и GG1 равно

половине высоты ОН треугольника АОО1 т. е. равно

AD и BF. Угол между прямой AD и плоскостью

BFE1 равен углу между прямыми ВС и BC1 и равен 45°. Перпендикуляр АН, опущенный из точки А

на плоскость BFE1, равен AG • sin 45°. Так как AG = 0,5, то

Ответ:

которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и

ВС.

Решение.
Прямая ВС параллельна плоскости SAD, в которой лежит прямая SA. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SAD.
Пусть Е и F соответственно середины ребер AD и ВС. Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF. В треугольнике SEF имеем:


высота SO равна Для площади S треугольника SEF имеют место равенства

из которых получаем

Ответ:

прямыми АВ1 и ВС1 .
Решение.
Плоскости AB1D1

и BDC1, в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими скрещивающимися прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.
Диагональ СА1 куба перпендикулярна этим плоскостям. Обозначим Е и F точки пересечения диагонали СА1 соответственно с плоскостями AB1D1 и BDC1. Длина отрезка EF будет равна расстоянию между прямыми АВ1 и ВС1. Пусть О и О1 соответственно центры граней AHCD и A1B1C1D1 куба. В треугольнике АСЕ отрезок OF параллелен АЕ и проходит через середину АС. Следовательно, OF — средняя линия треугольника АСЕ и, значит, EF = FC. Аналогично доказывается, что О1Е — средняя линия треугольника А1C1F1и, значит, A1E =
EF. Таким образом, EF оставляет одну треть диагонали СА1

т.е.


Ответ:

которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и

CF1.

Задание 6.3

Решение.
Расстояние между скрещивающимися прямыми АA1 и CF1 равно расстоянию между

параллельными плоскостями АВВ1 и СFF1 в которых лежат эти прямые. Оно равно

Ответ: