Презентация на тему Теорема Арцела. Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов. Обобщенная теорема Арцела.

из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния,

т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ (x, y), определенных для любых x и y из X и подчиненной следующим трем аксиомам:
ρ (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x=y;
ρ (x, y) = ρ (y, x);
ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z).

Пусть X – некоторое множество. Система Ƭ его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие условия:
Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих Ƭ, принадлежит Ƭ;
Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих Ƭ, принадлежит Ƭ;
X, Ø Є Ƭ.

Пара (X, Ƭ) называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие Ƭ, называются открытыми множествами.

покрытие F открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Функция f(x), определенная

в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если существует lim f(x) = f(a).
x -> a

Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в любой точке этого множества.

Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве X, если для любого ɛ > 0 найдется такое δ >0 что для любых x’, x’’ из условия |x’-x’’| < δ вытекает условие |f(x’) – f(x’’)| < ɛ.
 

Дополнение до открытых множеств данного топологического пространства называется замкнутыми множествами.

Замыкание множества—пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное множество.

если для каждого ɛ > 0 найдется такое δ

> 0, что |ϕ(x1)- ϕ(x2)| < ɛ для всех x1 и x2 из [a, b] таких, что ρ (x1, x2) < δ, и для всех ϕ Є Ф.

Семейство Ф функций ϕ, определенных на некотором отрезке [a, b], называется равномерно ограниченным, если существует такое число K, что |ϕ(x)| < K для всех x Є [a, b] и всех ϕ Є Ф.
 

Множество X, лежащее в некотором топологическом пространстве T, называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно.

Пусть M – некоторое множество в метрическом пространстве R и ɛ - некоторое положительное число. Множество A из R называется ɛ-сетью для M, если для любой точки x Є M найдется хотя бы одна точка a Є A, такая, что ρ (x, a) ≤ ɛ.

Множество M называется вполне ограниченным, если для него при любом ɛ > 0 существует конечная ɛ-сеть.

Для того, чтобы множество M, лежащее в метрическом пространстве

R, было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

Отображение F метрического пространства X в метрическое пространство Y называется равномерно непрерывным, если для каждого ɛ > 0 найдется такое δ > 0, что ρ2 (F (x1), F (x2)) < ɛ как только ρ1 (x1, x2) < δ (здесь ρ1 – расстояние в X, а ρ2 – расстояние в Y), причем δ зависит только от ɛ, но не от x1 и x2.

Отображение f метрического пространства X в метрическое пространство Y называется непрерывным, если для любого открытого множества пространства Y его полный прообраз является открытым в пространстве X.

непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b], было предкомпактно

в C[a, b], необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство.

Необходимость. Пусть семейство Ф предкомпактно в C[a, b]. Тогда по теореме о предкомпактных подмножествах в метрических пространствах, для каждого положительного ɛ в семействе Ф существует конечная ɛ/3-сеть ϕ1,…,ϕk. Каждая из функций ϕi, как непрерывная функция на отрезке, ограничена: |ϕi(x)| ≤ Ki.

для всякого ϕ Є Ф имеем, хотя бы для

одного ϕi,
ρ (ϕ, ϕi) =max |ϕ(x)-ϕi(x)| ≤ ɛ/3.
x

Следовательно,
|ϕ(x)| ≤ |ϕi(x)| + ɛ/3 ≤ Ki + ɛ/3 ≤ K.
Итак, Ф равномерно ограничено.

Далее, так как каждая из функций ϕi, образующих ɛ/3-сеть, непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна на [a, b], то для данного ɛ/3 существует такое δi, что
|ϕi(x1)- ϕi(x2)| < ɛ/3,
если |x1-x2| < δi.

Положим δ = min δi. Для произвольной функции ϕ Є Ф выберем ϕi так, чтобы ρ (ϕ, ϕi) < ɛ/3; тогда при |x1-x2| < δ будем иметь
|ϕ(x1)-ϕ(x2)| ≤ |ϕ(x1)-ϕi(x1)| + |ϕi(x1)-ϕi(x2)| + |ϕi(x2)-ϕ(x2)| < ɛ/3 + ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ.
Равностепенная непрерывность Ф также доказана.

равностепенно непрерывное семейство функций. В силу теоремы о предкомпактных

подмножествах в метрических пространствах для доказательства его предкомпактности в C[a, b] достаточно показать, что при любом ɛ > 0 для него в C[a,b] существует конечная ɛ-сеть.

Пусть |ϕ(x)| ≤ K для всех ϕ Є Ф и пусть δ > 0 выбрано так, что
|ϕ(x1)-ϕ(x2)| < ɛ/5 при |x1 – x2| < δ для всех ϕ Є Ф. Разобьем отрезок [a, b] на оси x точками x0 = a < x1 < … < xn =b на промежутки длины меньше δ и проведем через эти точки вертикальные прямые. Отрезок [-K, K] на оси y разобьем точками y0 = -K < y1 < … < ym = K на промежутки длины меньше ɛ/5 и проведем через эти точки деления горизонтальные прямые. Таким образом, прямоугольник a ≤ x ≤ b, -K ≤ y ≤ K разобьется на ячейки с горизонтальной стороной меньше δ и вертикальной стороной меньше ɛ/5. Сопоставим теперь каждой функции ϕ Є Ф ломаную Ψ(x) с вершинами в точках (xk, yl), т.е. в узлах построенной сетки и уклоняющуюся в точках xk от функции ϕ(x) меньше, чем на ɛ/5 (существование такой ломаной очевидно).

< ɛ/5, |ϕ(xk)-ϕ(xk+1)| < ɛ/5,
то
|Ψ(xk)-Ψ(xk+1)| < 3ɛ/5.

Так

как между точками xk и xk+1 функция Ψ(x) линейна, то
|Ψ(xk)-Ψ(x)| < 3ɛ/5 для всех x Є [xk, xk+1].
Пусть теперь x – произвольная точка отрезка [a, b] и xk – ближайшая к x слева из выбранных нами точек деления. Тогда
|ϕ(x)-Ψ(x)| ≤ |ϕ(x)-ϕ(xk)| + |ϕ(xk)-Ψ(xk)| + |Ψ(xk)-Ψ(x)| ≤ ɛ.
Следовательно, ломаные Ψ(x) по отношению к Ф образуют ɛ-сеть.
Число их, очевидно, конечно; таким образом, Ф вполне ограничено.

Теорема полностью доказана.

отображение метрического компакта в метрическое пространство равномерно непрерывно.

Доказательство.
Пусть

отображение F метрического компакта K в метрическое пространство M непрерывно, но не равномерно непрерывно. Это значит, что для некоторого ɛ > 0 и каждого натурального n найдутся в K такие точки xn и x’n, что ρ1 (xn, x’n) < 1/n и в то же время ρ2 (F (xn), F (x’n)) ≥ ɛ
(ρ1 – расстояние в K, ρ2 – расстояние в M). Из последовательности {xn} в силу компактности K можно выбрать подпоследовательность {xnk}, сходящуюся к некоторой точке x Є K. Тогда и {x’nk} сходится к x; но при этом для каждого k должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств
ρ2 (F(x), F(xnk)) ≥ ɛ/2; ρ2 (F(x), F(x’nk)) ≥ ɛ/2,
что противоречит непрерывности отображения F в точке x.

метрических компакта и пусть CXY – множество всех непрерывных

отображений f компакта X в Y. Введем в CXY расстояние при помощи формулы
ρ (f,g) = sup ρ (f(x), g(x)).
x Є X
Таким образом CXY превращается в метрическое пространство.

Теорема (обобщенная теорема Арцела). Для предкомпактности множества D C CXY необходимо и достаточно, чтобы входящие в D функции были равностепенно непрерывны.

Последнее означает, что для любого ɛ > 0 должно существовать такое
δ > 0, что из
ρ (x’,x’’) < δ
вытекает
ρ (f(x’), f(x’’)) < ɛ,
каковы бы ни были f из D и x’ и x’’ из X.

и в теореме Арцела.

Докажем достаточность. Для этого погрузим CXY

в пространство MXY всех отображений компакта X в компакт Y с той же самой метрикой
ρ (f,g) = sup ρ (f(x), g(x)),
x Є X
которая была введена в CXY, и докажем предкомпактность множества D в MXY. Так как CXY замкнуто в MXY, то из предкомпактности множества D в MXY следует его предкомпактность в CXY.

Зададим ɛ > 0 произвольно и выберем δ так, чтобы из ρ (x’,x’’) < δ вытекало
ρ (f(x’), f(x’’)) < ɛ для всех f из D и всех x’, x’’ из X. Легко видеть, что X можно представить как сумму конечного числа непересекающихся множеств Ei таких, что из x’, x’’ Є Ei следует ρ (x’,x’’) < δ. Действительно, для этого достаточно выбрать точки x1,…,xn так, чтобы они образовали δ/2-сеть в X и положить, например,
Ei = B(xi, δ/2) \ U B(xj, δ/2),
jгде B(xi, δ/2) – шар радиуса δ/2 с центром xi.