Презентация на тему § 1. Степенные ряды

, где an – действительные числа, x

– действительная переменная, таков что: 1) сходится в точке x0, то он абсолютно сходится для x < x0; 2) расходится в точке x0, то он расходится для x > x0; Доказательство. (Самостоятельно)

существует действительное число R: 0  R  +,

такое что x < R ряд сходится, x > R – расходится, то R называют радиусом сходимости степенного ряда.
Определение (интервала сходимости степенного ряда). Если R – радиус сходимости

степенного ряда , то интервалом

сходимости данного степенного ряда называется множество точек –R < x < R.

ряда существует единственный радиус сходимости R, который

можно найти по одной из формул:

или Без
доказательства.
Замечание 1. Если имеется два степенных ряда

и , то радиусы сходимости

этих рядов одинаковы, несмотря на то, что базисные точки – разные.

,

то интервал сходимости – это множество точек –R < x < R. Для ряда
радиус сходимости будет тот же, а интервал сходимости изменится, он будет –R < x – x0 < R, или x0 – R < x < R + x0.
Замечание 3. Так как степенной ряд может сходиться на концах интервала сходимости, т.е. при x =  R, то после исследования степенного ряда на сходимость в этих точках, концы интервала сходимости присоединяют к интервалу сходимости, если степенной ряд сходится в этих точках.

рядов). Каждый степенной ряд
равномерно сходится на любом отрезке
[-r ;

r], содержащемся внутри интервала сходимости (-R ; R).
Доказательство. (Самостоятельно)

Теорема 2. (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда
непрерывна на любом отрезке [-r ; r], содержащемся в (-R ; R).
Доказательство. (Самостоятельно)

ряд имеет

радиус

сходимости R, то ряды и

имеют тот же радиус сходимости R.

Без доказательства.

степенной ряд на

произвольном

отрезке [-r ; r]  (-R ; R) можно:
1) Почленно дифференцировать. При этом:



2) Почленно интегрировать. При этом:



Без доказательства.

в окрестности точки x0 и самой точке. Степенной ряд

вида

(1)

сопоставленный функции f (x) называется рядом Тейлора.

§ 2. Ряды Тейлора. Условия разложимости в ряд Тейлора.

вида:

(2)

называемый рядом Маклорена, сопоставленный функции f (x) в точке

0.
Для радов Тейлора возможны три случая:
1) Ряд (1) расходится в точке x0.
2) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, но

ее окрестности, причем функция, которой сопоставлен ряд, совпадает с

суммой ряда Тейлора:



Только в третьем случае говорят, что функция f (x) разложима в ряд Тейлора (1).
Во всех остальных случаях функции f (x) сопоставлен ряд Тейлора:

Тейлора). Пусть функция
f (x) определена и бесконечное число

раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности. Для того, чтобы f (x) была разложима в ряд Тейлора в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора  0 при n  , т.е. rn(x)  0 при n  .
Доказательство. (Самостоятельно)
Замечание: Не путать остаточный член формулы Тейлора rn(x) с остатком ряда Rn(x), т.к. это ряд:

функция f (x) определена в точке x0 и ее

окрестности, такова что:
1) бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности;
2) все производные f (x) ограничены в совокупности в окрестности точки x0, т.е.  M > 0 для  x  окрестности точки x0, f (n)(x) < M,
n = 0,1,2,… . Тогда f (x) разложима в ряд Тейлора в этой точке.

Доказательство. (Самостоятельно)

Всякий степенной ряд вида


на  [a, b] 

(x0 – R; R + x0) является рядом Тейлора для своей суммы.

Доказательство. (Самостоятельно)

§ 3. Связь степенных рядов и рядов Тейлора.

функция f (x) разложима в

степенной ряд

, то это разложение

единственно на интервале сходимости.
Доказательство.
Пусть функция f (x) имеет два разложения:


По предыдущей теореме на интервале сходимости любой степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы на интервале сходимости, т.е.

разложение единственно.
Ч.т.д.



Находят все производные функции в точке x0.
f

(n)(x), n = 0,1,2,…
2. Сопоставляют функции f (x) ряд Тейлора:

§ 4. Разложение функций в ряд Тейлора.

интервале сходимости исследуют саму функцию и все ее производные

на ограниченность в совокупности.
Если ограничение в совокупности имеет место, то пишут, что


по достаточному условию разложимости в ряд Тейлора.

по известному разложению в ряд Маклорена используют замену переменных.
Рассмотрим

разложение функции ех в ряд Маклорена.
ех определена  х  R.
(ех)(n) = ех, n = 0,1,2,…
f (0) = e0 = 1


Радиус сходимости степенного ряда:

h – некоторое число > 0. Следовательно, на любом

отрезке [-h ; h]  множеству действи-тельных чисел  (ех)(h) < eh  n, n = 0,1,2,…
Следовательно, ограниченность в совокупности имеет место. Значит:



 х  R.

степеням (х – 2), т.е. в точке x0 =

2.
Рассмотрим: ех = ех-2+2 = е2ех-2.
Произведем замену: u = x – 2 в точке x0 = 2, u0 = 0.
Разложение в ряд Маклорена имеет вид:

- сходится  u  R.


Тогда: - сходится  х  R.

На практике используют разложения:

(для всех):
- < x < 

вычисления.

Самостоятельно.
§ 5. Приложения степенных рядов.

тригонометрической системы sinmx, cosmx, m = 1,2,…
Определение (ортогональности).

Система функций {fn(x)}, n = 1,2,… интегрируемая на [a,b] называется ортогональной на [a,b], если:

ортогональной на [- ; ] (доказать самостоятельно).
§ 2. Понятие

ряда Фурье. Связь тригонометрических рядов и рядов Фурье. Условия разложимости в ряд Фурье.
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что функция f (x) такова, что:
1) определена  x  R и 2 - периодична;
2) на периоде имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода (с конечным скачком);
3) в точках разрыва первого рода значения функции равны полусуммам односторонних

точка разрыва первого рода, то:



Функциональный ряд вида



называется тригонометрическим

рядом. Среди тригонометрических рядов важное значение имеют ряды Фурье.

сопоставленным функции f (x), при этом пишут, что:



если коэффициенты

этого ряда вычисляются по формулам:

Фурье могут быть следующие возможности:
расходится для  x 

R;
2) сходится для  x  R, но не к функции f (x);
3) сходится для  x  R, причем к функции f (x).

разлагается в ряд Фурье и пишут:



Теорема (о связи тригонометрических

рядов и рядов Фурье). Всякий тригонометрический ряд


сопоставленный функции f (x), равномерно сходящийся для  x  R является рядом Фурье этой функции.
Доказательство. (Самостоятельно)

Если функция f (x) раскладывается в ряд Фурье, то

это разложение единственно.
Без доказательства.
Теорема (об оценке коэффициентов ряда Фурье). Если функция f (x) такова что:
1) разложима в ряд Фурье;
2) непрерывна для  x  R и 2 периодична
3) все производные этой функции до k-того порядка включительно ограничены, т.е.
f (m)(x) < M, m = 0,1,2,…, k, x  R.
Тогда для коэффициентов ряда Фурье справедлива