Презентация на тему Весь курс геометрии 8 класс в ОГЭ

Противолежащие углы
попарно равны.
Сумма углов, прилежащих
к любой стороне, равна
180⁰
α
β
α+β=180⁰
Диагонали точкой
пересечения

=

Каждая диагональ делит параллелограмм, на два равных треугольника,
обе на четыре равновеликих треугольника(одинаковой площади).

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

высоту.
α
Через две прилежащие
стороны и угол
между ними.
Через диагонали
и угол

точкой пересечения
делятся пополам.
Обе диагонали являются
биссектрисами внутренних
Углов.
Прямые, содержащие диагонали,
являются осями

=

=

Ромб – это параллелограмм у которого все стороны равны.

сторону и высоту.

Через стороны и угол ромба
Через диагонали

которого все углы прямые.
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.
Диагонали равны

Перпендикуляры к сторонам
проходящие через их
середины, являются
осями симметрии.

Через стороны
Через диагональ и угол между диагоналями.

которого все стороны равны.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника
Диагонали равны,
перпендикулярны
и,

Квадрат имеет
четыре оси
симметрии.

можно вписать окружность.
а
R
r
а
а
d
Через сторону.
Через диагональ.

две стороны параллельны
Основания, а две другие не параллельны (боковые

a,b – основания трапеции , a||b
m, n – боковые стороны
d₁,d₂ - диагонали трапеции
h- высота

Средняя линия трапеции
параллельна основаниям
и равна их полусумме.

Сумма углов,
прилежащих
к любой боковой
стороне, равна 180⁰

α+β=180⁰
σ+γ=180⁰

M

N

=

=

h

=

сторонами
и отрезками диагоналей, равновелики.
A
B
C
D
O
Треугольники АОD и СОВ
образованные основаниями
и

окружность.
h
Через полусумму
оснований и высоту
Через диагонали и
угол между

Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Вариант

Один из углов равнобедренной трапеции равен 74°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1

Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Вариант 2

Один из углов прямоугольной трапеции равен 82°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

2

больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2
Один

3

меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.


Вариант

Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

4

больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2
Один

5

меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2
Один

6

в точке O, AC=14, BD=18, AB=5. Найдите DO.
Вариант 2
Диагонали

7

в точке O, BO=8, AB=9. Найдите AC.
Вариант 2
Диагонали AC

8

Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2
В ромбе

9

углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Вариант

Сторона ромба равна 18, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

10

если диагональ AC образует с основанием AD и боковой

Вариант 2

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 62° и 9° соответственно. Ответ дайте в градусах.

11

и ∠BDC=24°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Вариант

В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=30° и ∠BDC=110°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

12

Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Вариант

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 46°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте
в градусах.

13

угла A образует со стороной BC угол, равный 33°.

Вариант 2

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

14

и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.
Вариант

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

15

и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
Вариант

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

16

сторонами углы, равные 40° и 35°. Найдите больший угол

Вариант 2

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 25°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

17

сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол

Вариант 2

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

18

делит основание AD на отрезки длиной 1 и 11.

Вариант 2

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 10 и 11. Найдите длину основания BC.

19

из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого

Вариант 2

Диагональ прямоугольника образует угол 86° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

20

изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Вариант 2
На клетчатой

21

BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=4,

Вариант 2

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=9, CK=15.

1

одной из его сторон равно 11, а одна из

Вариант 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.

2

AD. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что

Вариант 2

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

3

КВАДРАТОВ КАТЕТОВ
c2 = a2 + b2
c
b
a

Найдите гипотенузу этого треугольника.
Вариант 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 18

1

20 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Вариант

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

2

этого треугольника.
Вариант 2
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите медиану

3

этого треугольника.
Вариант 2
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите биссектрису

4

этого треугольника.
Вариант 2
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите высоту

5

этого треугольника.
Вариант 2
Медиана равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону

6

квадрата.
Вариант 2
Сторона квадрата равна 6√2. Найдите диагональ этого квадрата.
7

и 5, а один из углов между боковой стороной

Вариант 2

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

8

проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого

Вариант 2

Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.

9

площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
10

радиуса 16.
Вариант 2
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса

11

равны 20 и 6.
Вариант 2
Найдите площадь ромба, если его

12

этого квадрата.
Вариант 2
Периметр квадрата равен 44. Найдите площадь этого

13

углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Вариант 2
Периметр ромба

14

от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1.

Вариант 2

Сторона ромба равна 5, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь этого ромба.

15

1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Вариант 2
На клетчатой

16

изображён треугольник. Найдите его площадь.
Вариант 2
На клетчатой бумаге с

17

1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Вариант 2
На клетчатой бумаге

18

1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Вариант 2
На клетчатой бумаге

19

точка D так, что AD=3, DC=10. Площадь треугольника ABC

Вариант 2

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=6, DC=8. Площадь треугольника ABC равна 42. Найдите площадь треугольника ABD.

20

высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.
Вариант 2
Основания трапеции

21

— середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Вариант 2
Площадь

23

E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE

Вариант

Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE

24

и 5. Найдите площадь этого треугольника.
Вариант 2
Два катета прямоугольного

25

стороны равны 6 и 12. Найдите его высоты. В

Вариант 2

Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

25

1×1 изображена фигура. Найдите её площадь.
Вариант 2
На клетчатой бумаге

26

окну пятого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от

Вариант 2

Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к окну шестого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 8 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.

27

положении, находится на высоте 3,2 м от земли. Длина

Вариант 2

Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 4,8 м от земли. Длина троса равна 6 м. Найдите расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах.

28

троса. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса

Вариант 2

Флагшток удерживается в вертикальном положении при помощи троса. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 4,2 м. Длина троса равна 7 м. Найдите расстояние от земли до точки крепления троса. Ответ дайте в метрах.

29

положении, находится на высоте 4,4 м от земли. Расстояние

Вариант 2

Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,6 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 1,5 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

30

если её верхний конец находится на высоте 2,4 м

Вариант 2

Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если её верхний конец находится на высоте 3,5 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м. Ответ дайте в метрах.

31

стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите

Вариант 2

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=15, BF=8.

1

BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади

Вариант 2

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

2

на отрезки DH=15 и CH=2. Найдите высоту ромба.
Вариант 2
Высота

3

равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно

Вариант 2

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

4

в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=11, а

Вариант 2

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.

5

углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°,

Вариант 2

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD=29.

6

задач.

пропорциональным
сторонам и
углу между ними
Первый признак
Второй признак
По двум углам

По

Третий признак

подобный данному.

угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна

Вариант 2

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 83, сторона BC равна 62, сторона AC равна 104. Найдите MN.

1

изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной

Вариант 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

2

AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN
и

Вариант 2

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN
и CM пересекаются в точке O, AN=27, CM=9. Найдите AO.

3

AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN
и

Вариант 2

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN
и CM пересекаются в точке O, AN=24, CM=18. Найдите ON.

4

стороны AB и BC в точках M и N

Вариант 2

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=24, MN=18. Найдите AM.

5

ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M

Вариант 2

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=16, MN=12. Площадь треугольника ABC равна 80. Найдите площадь треугольника MBN.

6

высота CH, AH=2, BH=8. Найдите CH.
Вариант 2
На гипотенузу AB

7

основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=3,

Вариант 2

Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=4, AD=9, AC=26. Найдите AO.

8

плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо —

Вариант 2

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

9

см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. Найдите,

Вариант 2

Проектор полностью освещает экран A высотой 190 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 380 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

10

прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке

Вариант 2

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=12, DC=48, AC=35.

1

стороны AB и BC в точках M и N

Вариант 2

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.

2

Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Вариант 2
Катеты прямоугольного треугольника равны

3

и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Вариант 2
Катет и

4

вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC.

Вариант 2

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=8, AC=32

5

боковые стороны AB и CD в точках E и

Вариант 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=44, BC=24, CF:DF=3:1.

6

окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника

Вариант 2

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

7

соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD

Вариант 2

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD=15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

8

BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также

Вариант 2

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

9

проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1

Вариант 2

В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны.

10

39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон

Вариант 2

Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.

11

а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние

Вариант 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

12

отношение противоположного катета к гипотенузе
А
В
С
КОСИНУСОМ ОСТРОГО УГЛА прямоугольного треугольника

ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету

альфа
ТАНГЕНС УГЛА равен отношению синуса к косинусу этого угла

равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих

А1

В1

С1

- по первому признаку

AC=7, AB=25. Найдите sinB.
Вариант 2
В треугольнике ABC угол C

1

BC=14, AB=50. Найдите cosB.
Вариант 2
В треугольнике ABC угол C

2

BC=15, AC=3. Найдите tgB.
Вариант 2
В треугольнике ABC угол C

3

sinB=5/8, AB=16. Найдите AC.
Вариант 2
В треугольнике ABC угол C

4

cosB=4/7, AB=21. Найдите BC.
Вариант 2
В треугольнике ABC угол C

5

tgB=9/7, BC=42. Найдите AC.
Вариант 2
В треугольнике ABC угол C

6

2
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке
9

окружности -хорда
Хорда проходящая
через центр - диаметр
Отрезок соединяющий
центр с

Прямая- имеющая с
окружностью только
одну общую точку
называется касательной, а их
общая точка – точка касания.

Касательная к окружности
перпендикулярна радиусу проведенная
в точку касания..

Радиус равен
половине диаметра.

d

r

k

хорда
D
r
r

проведенная
в точку касания..
Отрезки касательных,
проведенных из одной
точки равны

r

r

мера
окружности равна 360⁰
сумма градусных мер двух дуг
окружности

в центре
окружности называется
ее ЦЕНТРАЛЬНЫМ УГЛОМ
угол, вершина которого

Вписанный угол
равен половине
центрального,
опирающего на
одну и ту же дугу.

одну
и ту же дугу равны.
Все вписанные углы,
опирающиеся на диаметр,

касательных,
проведенных из одной
точки равны АВ=АС
α
β
γ
Угол между
касательными

γ
α
Угол

Угол между касательной
и секущей.

γ

α

β

касаются окружности, то окружность называется вписанной, а многоугольник описанным.
Описанная

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной, а многоугольник вписанным.

Четырехугольник можно
описать около окружности,
если суммы противоположных
сторон равны и

p-полупериметр,r-радиус .

β

α

γ

σ

α+γ=β+σ=180⁰

σ+γ+α+β= 360⁰

Четырехугольник можно
вписать в окружность, если
сумма противоположных углов
равна 180⁰ и наоборот.

вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.
Около любого треугольника можно

M — середина стороны AB, AB=24, BC=14. Найдите CM.
Вариант

В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB=26, BC=18. Найдите CM.

1

вписанной в этот квадрат.
Вариант 2
Сторона квадрата равна 24. Найдите

2

Найдите высоту этой трапеции.
Вариант 2
Радиус окружности, вписанной в трапецию,

3

30. Найдите высоту этой трапеции.
Вариант 2
Радиус окружности, вписанной в

4

42. Найдите высоту этой трапеции.
Вариант 2
Радиус окружности, вписанной в

5

равен 48°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте

Вариант 2

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 71°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

6

и BC, вписанной в окружность, равен 69°. Найдите угол

Вариант 2

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 55°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

7

и BC, вписанной в окружность, равен 46°. Найдите угол

Вариант 2

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 68°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

8

так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC

Вариант 2

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 168°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

9

две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K.

Вариант 2

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=4, AC=16. Найдите AK.

10

две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K.

Вариант 2

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=4, BC=12. Найдите AK.

11

CD=16. Найдите AD.
Вариант 2
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=6,

12

описана около окружности, AB=9, BC=5, CD=7.
Найдите AD.


Вариант

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=13, BC=4, CD=11. Найдите AD.

13

точке P, BP=7, CP=14, DP=10. Найдите AP.
Вариант 2
Хорды AC

14

и CD пересекаются в точке K, BK=18, DK=9, BC=16.

Вариант 2

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=6, DK=10, BC=12. Найдите AD.

15

равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABC.

Вариант 2

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

16

которая касается сторон угла в точках A и B,

Вариант 2

В угол C величиной 107° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

17

AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=32°.

Вариант 2

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=34°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

18

лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=54°

Вариант 2

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=62° и ∠OAB=53°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

19

окружности с центром в точке O пересекаются под углом

Вариант 2

Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 56°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

20

около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=123°.

Вариант 2

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=79°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

21

ABC равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол

Вариант 2

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

22

в точке O. Точки O и C лежат в

Вариант 2

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 67°. Ответ дайте в градусах.

23

отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен

Вариант 2

В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 88°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

24

с центром в точке O. Угол ACB равен 54°.

Вариант 2

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 16°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

25

на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC

Вариант 2

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.

26

отмечены точки A и B так, что ∠AOB=140°. Длина

Вариант 2

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=122°. Длина меньшей дуги AB равна 61. Найдите длину большей дуги AB.

27

на стороне AB. Радиус окружности равен 20. Найдите BC,

Вариант 2

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 13. Найдите AC, если BC=24.

28

угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого

Вариант 2

В треугольнике ABC известно, что AC=20, BC=21, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

29

спицами равны. Найдите угол, который образуют две соседние спицы.

Вариант 2

Колесо имеет 40 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

30

Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми

Вариант 2

На рисунке изображено колесо с пятью спицами. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 60°?

31

стрелки часов в 11:00. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2
Найдите

32

8 минут. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2
Найдите угол, который

33

Найдите длину хорды CD, если AB=12, а расстояния от

Вариант 2

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=18, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9.

1

соответственно 61° и 89°. Найдите BC, если радиус окружности,

Вариант 2

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 63° и 87°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 11.

2

из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность

Вариант 2

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=11.

3

ABC проходит через вершину C и касается прямой AB

Вариант 2

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=1, AC=5.

4

ABC в точках K и P соответственно и проходит

Вариант 2

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

5

на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке

Вариант 2

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=15, MD=12, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

6

образом. Точки A и B лежат на первой окружности,

Вариант 2

Окружности радиусов 4 и 60 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

7

вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в

Вариант 2

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=43 и CD=4 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

8