Слайд 2
Классическая вероятностная схема
Для нахождения вероятности случайного события A
при проведении некоторого числа опытов следует:
Найти число N всех
возможных исходов данного испытания;
Найти количество N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие A;
Найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события A.
Слайд 3
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A при проведении некоторого
испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых
наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.
Слайд 4
Общее правило, для нахождения геометрических вероятностей
Если площадь S(A)
фигуры A разделить на площадь S(X) фигуры X, которая
целиком содержит фигуру A, то получится вероятность того, что случайно выбранная точка фигуры X окажется в фигуре A:
P=S(A)/S(X)
Слайд 5
Пример 1
Отрезок единичной длины случайным образом разделяют на
три отрезка. Какова вероятность того, что из них можно
сложить треугольник?
Слайд 6
Построение модели
Пронумеруем отрезки слева направо и обозначим
их длины за x, y и z. Так как
x+y+z=1, то z=1-x-y>0. Значит, x>0, y>0 и при этом x+y<1. В координатной плоскости изобразим множество решений системы трех неравенств:
x>0
y>0
x+y<1
Слайд 7
Получим треугольник с вершинами (0;0) (1;0) (0;1) без
учета его сторон. Каждому способу деления заданного отрезка на
три части x,y,z поставим в соответствие точку (x,y) из треугольника. Выбрав точку(x,y) мы однозначно зададим и разбиение заданного отрезка единичной длины на три отрезка [0;x] [x;x+y] [x+y;1].
Слайд 9
Работа с моделью
x+y>z x+y>1-x-y x+y>0.5
x+z>y x+1-x-y>y yx y+1-x-y>x x
подобия 0,5
S1/S2=1/4
Слайд 10
Вероятность того, что точка окажется окажется в меньшем
треугольнике
P(A)=0.25
Слайд 11
Пример 2
Случайным образом нарисовали треугольник. Какова вероятность того,
что он является остроугольным?
Слайд 12
Построение модели
Переформулируем задачу:
Число 180 случайным образом представили в
виде суммы трех положительных слагаемых. Какова вероятность того, что
все слагаемые меньше 90?
А(0;90) В(60;60). Каждая точка однозначно «отвечает» за треугольник с
углами x, y, 180-x-y.
Слайд 15
Работа с моделью
Отметим в нашей модели точки, соответствующие
остроугольным треугольникам.
x
Слайд 16
S(ABC)/S(AOB)=(0.5 AC*BC)/(0.5AC*OB)= BC/OB
По теореме Фалеса BC/OB=0,25
P(A)=0.25
Слайд 17
Пример 3
Два шпиона решили встретиться у фонтана. Каждый
из них может гарантировать только то, что он появится
у фонтана с 12-00 до 13-00. По инструкции шпион после прихода ждет встречи у фонтана 15 минут и по их истечении (или ровно в 13:00) уходит. Какова вероятность встречи?
Слайд 18
Построение модели
За единицу отсчета возьмем 1 час, а
за начало отсчета возьмем 12:00. Пусть x - время
прихода первого шпиона, а y - время прихода второго. Тогда o≤x≤1, 0 ≤y ≤1 и точка (x,y) квадрата с вершинами О(0;0) А(0;1) В(1;1) С(1;0) будет соответствовать времени прихода первого и второго шпионов.
Слайд 20
Работа с моделью
Встреча произойдет, только если время прихода
первого шпиона отличается от времени прихода второго не более
чем на 15 минут. Т.е.
0 ≤x ≤1 0 ≤x ≤1
0 ≤y ≤1 0 ≤y ≤1
|y-x| ≤0.25 x-0.25 ≤y ≤x+0.25
Получается часть квадрата ОАВС, лежащая между прямыми y=x-0.25 и y=x+0.25
Слайд 21
Незаштрихованная часть состоит из двух прямоугольных треугольников, катеты
которых равны 0,75. Значит их площадь равна 0,5625. Т.е.
заштрихованная часть составляет 0,4375 от площади всего квадрата. Это и есть искомая вероятность P(A)=0.4375
