Презентация на тему Теория множеств. Cоответствия. Функции. Отображения. Лекция 2

изучить свойства соответствий для применения в задачах компьютерной инженерии
Содержание:

Понятие упорядоченной пары и вектора
Декартово произведение множеств
Определение соответствия
Свойства соответствий
Взаимно-однозначное соответствие
Функции
Отображения
Примеры применения в теории кодирования и задачах диагностирования

Тема: Соответствия. Функции. Отображения

шк., 1986. С. 9-12.
Тевяшев А.Д., Гусарова И.Г. Основы

дискретной математики в примерах и задачах. Харьков: ХТУРЭ, 2001. С. 11-17.
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 4-10 с.
Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергия, 1980. 344 с.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. С.-П., 2001. С. 4-24.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 87с.
Хаханов В.И., Чумаченко С.В. Дискретная математика. Электронный учебник. ХНУРЭ: Электронная библиотека кафедры АПВТ (ауд. 320) NSERV\Library\Чумаченко\Дискретная математика\...

всюду определенность
сюръективность
инъективность
функциональность
биекция (взаимная однозначность)
Базовые

понятия:

множество
упорядоченная пара
подмножество

теории множеств
Под упорядоченной парой следует понимать двухэлементное упорядоченное множество
Вектор

(кортеж) представляет собой упорядоченный набор элементов
х = (х1, х2, …, хn), где хi – координаты (компоненты)
Длина (размерность) вектора определяется количеством его координат

Основные понятия: упорядоченная пара, вектор

• Точка

Информация

Упорядоченная пара

Множество

размерности равны, если их соответствующие компоненты равны:
x=y ⇔ ∀i

xi=yi

Def: проекцией вектора х=(х1, х2, …, хn) на i-ю ось называется его i-й компонент Pr i x = хi

Def: пусть V – множество векторов одинаковой длины, тогда проекцией множества V на i-ю ось называется множество проекций всех векторов из V:

позиции – абсцисса, на второй – ордината. Они являются

проекциями на первую и вторую оси соответственно
Дано множество V векторов размерности 3:
V = { (a,b,c), (c,b,d), (b,b,d) }
Найти проекции множества V на оси

Примеры

Pr1V={a,c,b}
Pr2V={b}
Pr3V={c,d}

A и B есть множество всех упорядоченных пар (a,b)

таких, что a∈A, b∈B:
A×B={ (a,b) | a∈A, b∈B }
Примеры
1. Декартово произведение множеств А={1,2}, B={3,4,5} есть
А×B = { (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5) }
2. A={1,2,3,4,5,6,7,8}, B={a,b,c,d,e,f,g,h}
А×В – обозначение клеток шахматной доски

R×R=R2 есть множество пар вида (a,b), a∈R, b∈R :
R2={(a,b)

| a∈R, b∈R}
Декартов квадрат (А=В):
А×А=А2={(a,b) | a∈А, b∈А}
Def: прямое произведение n множеств
А1×А2× ¾ ×Аn ={(а1, а2, …… , аn)| ai∈Аi , i=1,n}
Мощность декартова произведения множеств:
| А1×А2× … ×Аn | = |А1 |•|А2|• ¾ •|Аn|

Рене Декарт
XVI-XVII вв.

Декартово (прямое) произведение множеств 2

множеств:
G ⊆ A×B
А – область определения (множество отправления) соответствия

G :
Pr1G={ x | (x,y)∈G }

В – область значений (множество прибытия) соответствия G :
Pr2G={ y | (x,y)∈G }

называется образом элемента х
в множестве B при соответствии

G.
Def: множество всех элементов x∈A, которым соответствует элемент y∈B, называется прообразом элемента y в множестве A при соответствии G.
Пример
А={1,2,3}, B={e,f,g}
G={(1,e), (2,e)} ⊆ A×B

Образы и прообразы

G

образы

прообразы

Сюръективность: Pr2G = В

названными свойствами
Функция – функциональное соответствие

x – аргумент, y –

значение функции
Отображение – всюду определенная функция

Взаимно-однозначное соответствие (биекция). Функция. Отображение

}⊂ R×R
всюду определено: Pr1G = (-∞; ∞) =

R
не sur: Pr2G = (0; ∞) ≠ R
in: образ имеет единственный прообраз
функционально: каждому прообразу соответствует единственный образ
не является bi
функция, так как функционально
отображение, так как всюду определено и функционально

Пример

азбукой Морзе
представление чисел в системах счисления
секретные шифры

входящие и исходящие номера в деловой переписке

являются соответствиями между кодируемыми объектами и присваиваемыми им кодами

Они обладают всеми свойствами взаимно-однозначного соответствия, кроме сюръективности
Единственность образа и прообраза в кодировании гарантирует однозначность шифровки и дешифровки
Отсутствие сюръективности означает, что не каждый код имеет смысл. Например, кодирование телефонов шестизначными номерами не сюръективно

работу дешифратора адреса можно представить в виде графа адресной

дешифрации, показывающего соответствие между адресами и элементами памяти

Граф адресной дешифрации:
а – случай исправной схемы;
б – случай с неисправностью

множеств
Если множества имеют одинаковое количество элементов, то между ними

можно установить взаимно-однозначное соответствие
Классификация соответствий применяется в задачах компьютерной инженерии и управления

б) нет.
2. Длина вектора
определяется:
а) числом различных
элементов;
б) числом координат.


3.

Какое из
cоответствий
называется взаимно-
однозначным:
а) сюръективное,
инъективное и
функциональное?
б) сюръективное и
инъективное?
в) всюду определенное,
сюръективное,
инъективное и
функциональное?

определенная функция;
б) всюду определенная функция;
в) сюръективное соответствие;
г)

инъективное соответствие.

4. Является ли отображение биективным, если оно сюръективно и инъективно?
а) да; б) нет.