Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Решение уравнений

Содержание

Методы решения уравнений прямые; итерационныеПрямые методы: Позволяют найти решение непосредственно с помощью формул. Обеспечивают точное (без погрешностей метода) решение.Итерационные методы:Процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма.Полученное решение всегда является приближенным.Пример.решение
4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙВыбор метода и алгоритма решения уравнений зависит от их типа.4.1. Предварительные сведенияКлассификация уравненийтривиальноДревняя задача. Методы решения уравнений прямые; итерационныеПрямые методы: Позволяют найти решение непосредственно с помощью Решить уравнениеfx()0 , ( 1 )с неизвестным x Локализация корнейПервые два этапа удобно проводить графически. нелинейные уравненияалгебраические уравненияВ математике хорошо изучено. Оно имеет n корней, включая кратные итерационные методы решенияРешение нелинейных уравнений, как правило, проводитсяитерационными методами. MathCADитерацииитерационный методТретий этап:Проводится Если в ходе итераций получаются все более точные значения корня, то говорят, метод половинного деления (бисекция)Рассмотрим некоторое уравнение1 шаг. Находим некоторый отрезок [ xo, метод Ньютона – Рафсона(метод касательной)Задается некоторое начальное приближение xo и находится соответствующее решение уравнений в MathCADАлгебраические уравнения. Если задан полином n степени, то для Уравнения любого типа. Решение одного уравнения любого типа дается стандартной функцией root(), 4.3. Решение систем линейных уравненийЧасто встречается на практике: системы из десятков и геометрическая интерпретацияВ случае системы 2-х уравнений – простая геометрическая трактовка.прямая прямая решение Метод исключения ГауссаПрямой метод. Широко используется на практике для решения линейных систем. Итерационный метод Гаусса - ЗейделяПокажем на примере:Итерационная формула Гаусса-ЗейделязадаемКонецитерациям, еслипреобразуем решение систем линейных уравнений в MathCADЕсли система уравнений записана в матричной форме 4.4. Решение систем нелинейных уравненийВ общем случае прямых методов нет. Только итерационные Решение системы нелинейных уравнений в MCПроводится с помощью специального вычислительного блока, который Задача №4. Решить систему уравнений Решение:Геометрическая интерпретация. Два корня.2. Решение в MathCAD R=3корниDemo MathCAD(системы уравнений)
Слайды презентации

Слайд 2 Методы решения уравнений
прямые;
итерационные
Прямые методы:

Позволяют найти

Методы решения уравнений прямые; итерационныеПрямые методы: Позволяют найти решение непосредственно с

решение непосредственно с помощью формул.

Обеспечивают точное
(без погрешностей

метода) решение.

Итерационные методы:

Процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма.

Полученное решение всегда является приближенным.

Пример.

решение

Слайд 3 Решить уравнение
f
x
(
)
0

,

(

Решить уравнениеfx()0 , ( 1 )с неизвестным x -

1 )
с неизвестным x - значит найти такие значения

x, которые удовлетворяют
этому уравнению. Эти значения называются корнями уравнения.


Корни могут быть действительными или комплексными.

Решение можно проверить подстановкой.

Функция f(x) предполагается непрерывной или дифференцируемой.

Решение задачи (1) обычно выполняется в несколько этапов:

4.2. Решение одного уравнения

Слайд 4 Локализация корней
Первые два этапа удобно проводить графически.

Локализация корнейПервые два этапа удобно проводить графически.

Например, рассмотрим

уравнение

Корней много: 3+?

Видим, что есть 5 вещественных корней.
Приблизительные значения:
x1= -10
x2= - 9
x3= - 5
x4= - 0.5
x5= 0

Эти значения – начальные приближения
для итерационных методов.

?

увеличиваем –
видим еще 2 корня

график

Слайд 5 нелинейные уравнения
алгебраические уравнения
В математике хорошо изучено.
Оно имеет

нелинейные уравненияалгебраические уравненияВ математике хорошо изучено. Оно имеет n корней, включая

n корней, включая кратные и комплексные.
Например:
трансцендентные уравнения
Это уравнения, в

которых неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций.

Нет общей теории.
Обычно заранее неизвестно, есть ли решение и сколько корней.

Например:

Слайд 6 итерационные методы решения
Решение нелинейных уравнений, как правило, проводится
итерационными

итерационные методы решенияРешение нелинейных уравнений, как правило, проводитсяитерационными методами. MathCADитерацииитерационный методТретий

методами.
MathCAD
итерации
итерационный метод
Третий этап:
Проводится численно. Обычно задается некоторое

грубое начальное приближение корня, которое шаг за шагом уточняется соответствующим итерационным методом.

Каждый такой шаг называется итерацией.

Слайд 7 Если в ходе итераций получаются все более точные

Если в ходе итераций получаются все более точные значения корня, то

значения корня,
то говорят, что метод сходится.

Если итерационный метод

не сходится, то это может быть вызвано
следующими причинами:

отсутствием решения;
выбором неудачного начального приближения;
непригодностью используемого метода к
решению данной задачи.

Сходимость
итерационного метода

сходимость обычно
проверяют условием

Итерационных методов много.
Мы рассмотрим:
метод бисекции (деления пополам);
метод Ньютона-Рафсона.

Слайд 8 метод половинного деления
(бисекция)
Рассмотрим некоторое уравнение

1 шаг. Находим

метод половинного деления (бисекция)Рассмотрим некоторое уравнение1 шаг. Находим некоторый отрезок [

некоторый отрезок [ xo, x1 ], на котором функция

f(x) меняет знак, т.е.


2шаг. Делим отрезок [ xo, x1 ] пополам, находим его середину

Из двух половинок выбираем ту, в которой функция меняет знак,

3 шаг. Повторяем предыдущий шаг для нового отрезка.

Когда остановить итерации?

Если требуется найти корень с точностью , то итерации
продолжаются до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше

достоинства метода

недостатки метода

всегда сходится;
не требует гладкости функции;

медленная сходимость;
не распространяется на системы уравнений;

Слайд 9 метод Ньютона – Рафсона
(метод касательной)
Задается некоторое начальное приближение

метод Ньютона – Рафсона(метод касательной)Задается некоторое начальное приближение xo и находится

xo и находится соответствующее значение f(x0) – точка 0;
Из

точки О проводится касательная к функции и находится следующая точка – x1;
Для точки x1 получаем f(x1) – точку 1. Из нее снова проводим касательную и т.д.

точка 0

точка 1

достоинства метода

недостатки метода

быстрая сходимость;
распространяется на системы уравнений;
можно находить комплексные корни.

требует гладкости функции;
не всегда сходится (требует хорошего начального приближения);

Слайд 10 решение уравнений в MathCAD
Алгебраические уравнения. Если задан полином

решение уравнений в MathCADАлгебраические уравнения. Если задан полином n степени, то

n степени,


то для нахождения его корней (включая комплексные)

можно использовать стандартную функцию , которая возвращает вектор решений данного полинома.

(в обратном порядке)

Используем функцию polyroots

решение – вектор из 3-х корней

Проверка:

ненулевые значения получаются из-за приближенности решения

Demo MathCAD
(одно уравнение)

Слайд 11 Уравнения любого типа. Решение одного уравнения любого типа

Уравнения любого типа. Решение одного уравнения любого типа дается стандартной функцией

дается стандартной функцией root(), которая имеет 2 формы:
задается начальное

приближение x и получаем решение.

задается интервал [ a, b ], на котором ищется решение. При этом должны выполняться условия: 1) b>a;
2) f(a) f(b) <0.
Начальное приближение для x не требуется.

Задача №2. Найти корни трансцендентного уравнения

увеличено

начальное
приближение

решение

?

Demo MathCAD
(одно уравнение)

Слайд 12 4.3. Решение систем линейных уравнений
Часто встречается на практике:

4.3. Решение систем линейных уравненийЧасто встречается на практике: системы из десятков


системы из десятков и сотен уравнений.
Система n уравнений

с n неизвестными:

решения нет

решение единственно

не рассматриваем

Слайд 13 геометрическая интерпретация
В случае системы 2-х уравнений – простая

геометрическая интерпретацияВ случае системы 2-х уравнений – простая геометрическая трактовка.прямая прямая

геометрическая трактовка.
прямая
прямая
решение – точка пересечения прямых
матрица

A
плохо обусловлена

Слайд 14 Метод исключения Гаусса
Прямой метод. Широко используется на практике

Метод исключения ГауссаПрямой метод. Широко используется на практике для решения линейных

для решения линейных систем.

(умножением строк на константу и

вычитанием строк друг из друга матрица приводится к специальному
3-угольному виду – это прямой ход метода Гаусса)

Идею метода покажем на примере системы уравнений 4-ой степени.

Для нее можно записать соответствующую матрицу коэффициентов:

прямой ход

Далее последовательно находим остальные корни .

обратный ход

Слайд 15 Итерационный метод Гаусса - Зейделя
Покажем на примере:
Итерационная формула

Итерационный метод Гаусса - ЗейделяПокажем на примере:Итерационная формула Гаусса-ЗейделязадаемКонецитерациям, еслипреобразуем


Гаусса-Зейделя
задаем
Конец
итерациям, если
преобразуем

Слайд 16 решение систем линейных уравнений
в MathCAD
Если система уравнений

решение систем линейных уравнений в MathCADЕсли система уравнений записана в матричной

записана в матричной форме ,
то можно

использовать стандартную функцию lsolve(A,B), которая возвращает вектор решений.

Задача №3. Решить систему уравнений
Решение:

1. Определяем матрицу A и вектор B

2. Проверяем матрицу A на вырожденность

3. Решаем

4. Проверка

Demo MathCAD
(системы уравнений)

Слайд 17 4.4. Решение систем нелинейных уравнений
В общем случае прямых

4.4. Решение систем нелинейных уравненийВ общем случае прямых методов нет. Только

методов нет. Только итерационные методы. Рассмотрим, например, метод простой

итерации.

Проблемы
1) Если начальные приближения сильно отличаются от решения,
то может не сходиться;
2) Особенно для больших систем;
3) Если сходимости нет, то можно изменить форму итерационных уравнений.

Система n нелинейных уравнений с n неизвестными

Преобразуем к
форме типа

задаем начальное
приближение

1-ая итерация

2-ая итерация

Слайд 18 Решение системы нелинейных уравнений в MC
Проводится с помощью

Решение системы нелинейных уравнений в MCПроводится с помощью специального вычислительного блока,

специального вычислительного блока, который имеет
следующую структуру:
При записи

уравнений и
ограничений –
булевы операторы!
  • Имя файла: reshenie-uravneniy.pptx
  • Количество просмотров: 104
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Сергей Михалков
Следующая - Внутриличностные конфликты

Похожие презентации

Презентация по математике на тему Среднее арифметическое Презентация по математике на тему Среднее арифметическое 98
Решение задач с использованием формулы полной вероятности и формулы Бейеса Решение задач с использованием формулы полной вероятности и формулы Бейеса 230
Сравнение чисел. Графы Сравнение чисел. Графы 105
Презентация по математике на тему Задачи типа Переправа Презентация по математике на тему Задачи типа Переправа 155
Экологическое воспитание через урок математики Экологическое воспитание через урок математики 84
Уменьшаемое. Вычитаемое. Значение разности Уменьшаемое. Вычитаемое. Значение разности 103
Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов 100
технологическая карта урока.4класс Тема Деление на 10,100,100 с остатком.УМК Школа России М.И. Моро план-конспект урока по математике (4 класс) технологическая карта урока.4класс Тема Деление на 10,100,100 с остатком.УМК Школа России М.И. Моро план-конспект урока по математике (4 класс) 131
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРАКТИВНОЙ ДОСКИ НА УРОКЕ МАТЕМАТИКИ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРАКТИВНОЙ ДОСКИ НА УРОКЕ МАТЕМАТИКИ 111
Урок математики 2 класс УМК Перспектива план-конспект урока (математика, 2 класс) по теме Урок математики 2 класс УМК Перспектива план-конспект урока (математика, 2 класс) по теме 92
Путешествие в страну Математики методическая разработка по математике (младшая группа) Путешествие в страну Математики методическая разработка по математике (младшая группа) 144
palochki palochki 56
Письменное умножение многозначных чисел презентация к уроку по математике (4 класс) Письменное умножение многозначных чисел презентация к уроку по математике (4 класс) 94
Дидактическая игра Воздушные шары на тему Состав чисел в пределах 10 Дидактическая игра Воздушные шары на тему Состав чисел в пределах 10 105
Умножение и деление десятичных дробей на натуральное число Умножение и деление десятичных дробей на натуральное число 85
Презентация по математике Отношение и пропорции Презентация по математике Отношение и пропорции 84
ustnyy schet po matematike 1 ustnyy schet po matematike 1 96
Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения 103
Презентация к уроку по математике по теме Решение текстовых задач(1 класс) Презентация к уроку по математике по теме Решение текстовых задач(1 класс) 95
Килограмм Килограмм 86
Презентация 4-Проделки вируса или интеллект сильнее всех презентация по математике Презентация 4-Проделки вируса или интеллект сильнее всех презентация по математике 94
Арифметические диктанты 3 класс Арифметические диктанты 3 класс 91
Презентация по математике Площадь презентация к уроку по математике (3 класс) Презентация по математике Площадь презентация к уроку по математике (3 класс) 79
Производная степенной функции Производная степенной функции 93
Интерактивная игра-тренажёр Считаем с Лунтиком(раскраска) Интерактивная игра-тренажёр Считаем с Лунтиком(раскраска) 118
Урок математики в 3 классе по теме: Запись трехзначных чисел УМК Школа России план-конспект урока по математике (3 класс) Урок математики в 3 классе по теме: Запись трехзначных чисел УМК Школа России план-конспект урока по математике (3 класс) 125
Презентация по математике на тему Части суток и времена года 1 класс Презентация по математике на тему Части суток и времена года 1 класс 92
Учебно-методический комплект (конспект урока+презентация) для 3 класса. Перспектива Тема: Деление суммы на число. Закрепление. учебно-методический материал по математике (3 класс) Учебно-методический комплект (конспект урока+презентация) для 3 класса. Перспектива Тема: Деление суммы на число. Закрепление. учебно-методический материал по математике (3 класс) 121
Обучение детей матиматике с использованием художественных произведений: Величина-1. презентация к занятию по математике (младшая группа) Обучение детей матиматике с использованием художественных произведений: Величина-1. презентация к занятию по математике (младшая группа) 109
chast no1 chast no1 134