Слайд 2
Содержание
Определение 3
Стандартная модель 4
Матричная модель 6
Арифметические действия 7
Геометрическая модель 9
Модуль и аргумент 11
Множество комплексных
чисел
с арифметическими действиями 13
Сопряжённые числа 14
Показательная форма 18
Формула Муавра 19
Извлечение корней из комплексного
числа 20
№ стр.
Слайд 3
Определение
Комплексные числа представляются в виде выражения:
z = x
+ iy,
где x, y – вещественные числа;
x – действительная
часть числа z (Rez);
y – мнимая часть числа z (Imz);
i – мнимое число (величина, для которой выполняется равенство i2=-1).
Слайд 4
Стандартная модель
Комплексное число z можно определить как упорядоченную
пару вещественных чисел;
запись z = x + iy следует
понимать как удобный способ записи такой пары.
Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:
Слайд 5
Стандартная модель
Вещественные числа являются в этой модели подмножеством
множества комплексных чисел и представлены парами вида (x, 0),
причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел:
Ноль представляется парой 0 = (0, 0);
Единица - -1 = (-1, 0).
Слайд 6
Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как:
подкольцо кольца вещественных матриц 2×2
вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет
соответствовать
мнимой единице —
Слайд 7
Арифметические действия
Сравнение
x + iy = a + ib
равны тогда и только тогда, когда
x = a, y
= b;
Сложение
(x + iy) + (a + ib) = (x + a) + (y + b)i;
Вычитание
(x + iy) – (a + ib) = (x - a) + (y - b)i;
Слайд 8
Арифметические действия
Умножение
(x + iy) ∙ (a + ib)
= xa + xib + aiy + bi2y
= (xa
- yb) + (ya + xb)i;
Деление
В частности
Слайд 9
Геометрическая модель
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать
в тригонометрической форме:
z = |z| ∙ (cosφ + i
· sinφ),
где |z| - модуль комплексного числа;
φ – аргумент комплексного числа.
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.
Слайд 10
Геометрическая модель
Модуль можно представить диагональю |z|, проложенной к
точке z прямоугольника obza (рис. 1).
рис. 1
Геометрическое представление комплексного
числа
Слайд 11
Модуль и аргумент
По теореме Пифагора легко вывести формулу
для нахождения модуля комплексного числа:
Угол φ между положительной полуосью
действительной оси Rez и радиус-вектором |z|, проведённым из начала координат к соответствующей точки, является аргументом комплексного числа z.
Аргумент не определён для единственного числа: z = 0.
Слайд 12
Модуль и аргумент
Из этого определения следует, что:
Если a = 0, то z является мнимым
числом;
Если b = 0, то z является действительным числом.
Слайд 13
Множество комплексных чисел с арифметическими действиями
Множество всех комплексных
чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом C.
Для
любых z, z1, z2 є C имеют место следующие свойства модуля:
|z| ≥ 0;
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|;
|z1 ∙ z2|= |z1| ∙ |z2|;
Слайд 14
Сопряжённые числа
Если комплексное число z = x +
iy, то
является сопряжённым к z.
На комплексной плоскости сопряжённые числа
получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси (рис. 2). Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
Слайд 15
Сопряжённые числа
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную
операцию:
Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть действительное число:
;
.
Другие соотношения:
;
.
Слайд 16
Сопряжённые числа
Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при
комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю выражению используется для
устранения комплексности знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.
Слайд 17
Сопряжённые числа
Рис. 2
Геометрическое представление сопряжённых чисел
где r –
модуль числа z, второе обозначение |z|
Слайд 18
Показательная форма
Применяя к тригонометрической форме комплексного числа z =
|z| ∙ (cosφ + i · sinφ)
формулу Эйлера, получим
показательную форму:
z = |z|eiφ,
где eiφ - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
Слайд 19
Формула Муавра
Формула Муавра помогает возводить в целую степень
ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме.
где r — модуль;
φ — аргумент
комплексного числа.
В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формула справедлива при любом целом n, необязательно положительном.
Слайд 20
Извлечение корней из комплексных чисел
Аналогичная формула применима также
и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
где
n > 1 и k = 0, 1, …, n – 1.
Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (рис. 3).
