Что такое findtheslide.com?

FindTheSlide.com - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация, доклад на тему Элементы векторной алгебры

Презентация на тему Элементы векторной алгебры, из раздела: Математика. Эта презентация содержит 90 слайда(ов). Информативные слайды и изображения помогут Вам заинтересовать аудиторию. Скачать конспект-презентацию на данную тему можно внизу страницы, поделившись ссылкой с помощью социальных кнопок. Также можно добавить наш сайт презентаций в закладки! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них. Все права принадлежат авторам презентаций.

Слайды и текст этой презентации Открыть в PDF

Слайд 1
Текст слайда:

Элементы векторной алгебры.

Лекции5-7


Слайд 2
Вектором  называется   направленный отрезок.Обозначают векторы символамиили
Текст слайда:


Вектором называется направленный
отрезок.

Обозначают векторы символами
или , где А- начало, а B-конец
направленного отрезка .




А

В





Слайд 3
Нулевым вектором (обозначается   )называется  вектор, начало
Текст слайда:

Нулевым вектором (обозначается )
называется вектор, начало и конец
которого совпадают.
Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной, или
модулем или абсолютной величиной.
Векторы называются коллинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых





Слайд 4
Векторы называютсякомпланарными, если они параллельны одной плоскости.  Векторы называются
Текст слайда:

Векторы называются
компланарными, если они параллельны
одной плоскости.
Векторы называются равными,
если они сонаправлены и имеют
равные длины.
Два вектора, имеющие равные длины,
коллинеарные и противоположно
направленные, наз. противоположными.




Слайд 5
Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом.
Текст слайда:

Вектор, длина которого равна 1,
называется единичным вектором или
ортом.
Ортом вектора называется
сонаправленный ему вектор и
обозначается




Слайд 6
Линейные операции над векторами
Текст слайда:

Линейные операции над векторами


Слайд 7
Линейными  операциями  называют  операции  сложения  и
Текст слайда:


Линейными операциями называют
операции сложения и вычитания
векторов и умножения вектора на
число.


Слайд 8
Сложение  векторовПравило треугольника.
Текст слайда:

Сложение векторов

Правило треугольника.


Слайд 9
Правило параллелограмма
Текст слайда:

Правило параллелограмма


Слайд 10
Сумма нескольких векторов
Текст слайда:

Сумма нескольких векторов


Слайд 11
Вычитание векторов  Разностью векторов    и
Текст слайда:

Вычитание векторов

Разностью векторов и называется вектор
такой, что









Слайд 12
Свойства
Текст слайда:

Свойства






Слайд 14
Умножение вектора на число Произведением вектора      на
Текст слайда:

Умножение вектора на число

Произведением вектора на
действительное число называется
вектор (обозначают ),
определяемый следующими условиями:
1. ,

2. при и при
.












Слайд 15
Умножение вектора на число
Текст слайда:

Умножение вектора на число


Слайд 16
Свойства
Текст слайда:

Свойства







Слайд 18
Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора коллинеарны тогда
Текст слайда:

Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

Если орт вектора , то

и тогда








Слайд 19
Пример	В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные
Текст слайда:

Пример

В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные части точками M и N.
Пусть , выразить вектор

через и .

Решение

А

В

С


Слайд 20
Угол между двумя векторами
Текст слайда:

Угол между двумя векторами


Слайд 21
Углом между векторами называетсянаименьший угол
Текст слайда:

Углом между векторами называется
наименьший угол , на который
надо повернуть один из векторов до его
совпадения со вторым.
Под углом между вектором и осью понимают угол между этим вектором и единичным вектором, расположенным на оси








Слайд 22
Проекция вектора на ось
Текст слайда:

Проекция вектора на ось


Слайд 23
A AB)
Текст слайда:

A


A

B







)


Слайд 24
Линейная зависимость векторов
Текст слайда:

Линейная зависимость векторов



Слайд 25
Векторы
Текст слайда:

Векторы наз-ся линейно

зависимыми, если существуют числа

,не все равные 0, для

которых имеет место равенство





Слайд 26
Векторы
Текст слайда:

Векторы называются

линейно независимыми, если равенство



выполняется только при






Слайд 27
Если векторы линейно зависимы, то один из них
Текст слайда:


Если векторы линейно зависимы, то один из них можно выразить через другие, представив его в виде линейной комбинации этих векторов.


Слайд 28
Текст слайда:





Слайд 29
Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо
Текст слайда:

Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.



Слайд 30
Рассмотрим три вектора на плоскости. Выразим через один из них другие :
Текст слайда:

Рассмотрим три вектора на плоскости. Выразим через один из них другие :













Слайд 31
Для того чтобы два вектора были линейно независимы,
Текст слайда:

Для того чтобы два вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.

Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.


Слайд 32
Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.
Текст слайда:


Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трём.


Слайд 33
Базис на плоскости и в пространстве
Текст слайда:

Базис на плоскости и в пространстве


Слайд 34
Базисом на плоскости называют два любых линейно независимых вектора.Т. Разложение
Текст слайда:

Базисом на плоскости называют два любых линейно независимых вектора.

Т. Разложение любого вектора
на плоскости по базису является единственным




Слайд 35
Базисом в пространстве называют три любых линейно независимых вектора.Т.
Текст слайда:

Базисом в пространстве называют три любых линейно независимых вектора.

Т. Разложение любого вектора
в пространстве по базису
является единственным





Слайд 36
Прямоугольный декартовый базис
Текст слайда:

Прямоугольный декартовый базис


Слайд 37
ZYXО
Текст слайда:

Z

Y

X

О


Слайд 38
Прямоугольной декартовой системой координат называется совокупность точки О и прямоугольного
Текст слайда:


Прямоугольной декартовой системой координат называется совокупность точки О и прямоугольного единичного базиса.
Прямые, проходящие в направлении базисных векторов , называются осями координат.


Слайд 39
OXYZO
Текст слайда:

O

X

Y

Z






O







Слайд 40
OXYZO
Текст слайда:

O

X

Y

Z






O







Слайд 41
Текст слайда:







Слайд 42
Линейные операции над векторами в координатной форме
Текст слайда:

Линейные операции над векторами в координатной форме


Слайд 43
Пустьтогда:1)2)3)4)
Текст слайда:

Пусть

тогда:
1)

2)

3)

4)








Слайд 44
Вычисление координат вектораПусть даны точки
Текст слайда:

Вычисление координат вектора

Пусть даны точки и

А

В


Слайд 45
Тогда координаты вектора равны разности координат его конца и начала:
Текст слайда:


Тогда координаты вектора равны разности координат его конца и начала:


Длину вектора вычисляют по формуле


Слайд 46
Направляющие косинусы
Текст слайда:

Направляющие косинусы


Слайд 47
XYZMO) )
Текст слайда:


X

Y

Z

M

O

) )









Слайд 48
Пусть дан вектор
Текст слайда:

Пусть дан вектор




Слайд 49
Текст слайда:






Слайд 51
Координаты единичного вектора
Текст слайда:

Координаты единичного вектора


Слайд 52
ПримерНайти косинусы углов, которые, вектор    составляет с осями координат,
Текст слайда:

Пример

Найти косинусы углов, которые, вектор составляет с осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).

Решение.


Слайд 53
Деление отрезка в данном отношении
Текст слайда:

Деление отрезка в данном отношении


Слайд 54
Пусть точка М делит отрезок АВ в некотором отношении.
Текст слайда:


Пусть точка М делит отрезок АВ в некотором отношении.


Слайд 55
Тогда
Текст слайда:






Тогда


Слайд 56
Текст слайда:






Слайд 57
Деление отрезка пополам Если      , то
Текст слайда:

Деление отрезка пополам

Если , то , т. е. точка М –середина отрезка, имеем




Слайд 58
Скалярное произведение векторовСкалярным произведением векторовназывается   произведение   их модулей
Текст слайда:

Скалярное произведение векторов


Скалярным произведением векторов
называется произведение их
модулей на косинус угла между
ними.


Слайд 60
Текст слайда:




Слайд 61
Проекция вектора на вектор
Текст слайда:

Проекция вектора на вектор



Слайд 62
Физический смысл скалярного    произведения Работа  постоянной  силы
Текст слайда:

Физический смысл скалярного произведения


Работа постоянной силы на
прямолинейном участке пути равна
скалярному произведению вектора
силы на вектор перемещения.




Слайд 63
Геометрические свойства скалярного произведения  Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное
Текст слайда:

Геометрические свойства скалярного произведения

Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны.



Слайд 64
Свойства скалярного  произведения (продолжение) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины
Текст слайда:

Свойства скалярного произведения (продолжение)

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины


Слайд 65
Свойства скалярного произведения
Текст слайда:

Свойства скалярного произведения











Слайд 66
Скалярные произведения базисных векторов
Текст слайда:

Скалярные произведения базисных векторов



Слайд 67
Скалярное произведение в  координатной форме.Если то
Текст слайда:

Скалярное произведение в координатной форме.

Если


то




Слайд 68
ПримерДан вектор, причем,,уголмежду векторамииравенНайти модуль вектораРешениеТак какито
Текст слайда:

Пример

Дан вектор

, причем

,

,


угол

между векторами

и

равен

Найти модуль вектора

Решение

Так как

и

то


Слайд 69
Пример Найти величину угла при вершине А треугольника с вершинами
Текст слайда:

Пример

Найти величину угла при вершине А треугольника с вершинами




Слайд 70
Решение Изобразим треугольник ABCАВС
Текст слайда:

Решение

Изобразим треугольник ABC



А

В

С







Слайд 71
Векторное  произведение векторов
Текст слайда:

Векторное произведение векторов


Слайд 72
Понятие «правой» тройки векторов	Тройку векторов
Текст слайда:

Понятие «правой» тройки векторов

Тройку векторов называют правой, если
направление вектора таково, что, смотря из его конца
вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора
к вектору будет виден против движения часовой
стрелки.


Слайд 73
Векторным произведением векторана вектор  наз. вектор
Текст слайда:

Векторным произведением вектора
на вектор наз. вектор ,
удовлетворяющий следующим условиям:

1)

2)

3)векторы образуют правую тройку










Слайд 74
Обозначение векторного произведения векторов
Текст слайда:

Обозначение векторного произведения векторов



Слайд 75
Физический смысл векторного произведенияЕсли     – сила, приложенная к
Текст слайда:

Физический смысл векторного произведения


Если – сила, приложенная к точке М,
то момент этой силы относительно точки
О равен векторному произведению
векторов и .




O

M


Слайд 76
Векторные произведения координатных векторов
Текст слайда:

Векторные произведения координатных векторов


Слайд 77
Векторное произведение в  координатной форме
Текст слайда:

Векторное произведение в координатной форме



Слайд 78
Площадь параллелограмма  С помощью векторного произведения можно вычислить площадь параллелограмма, построенного
Текст слайда:

Площадь параллелограмма

С помощью векторного произведения можно вычислить площадь параллелограмма, построенного на и как на сторонах:





Слайд 79
Площадь треугольника
Текст слайда:

Площадь треугольника


Слайд 80
Геометрические свойства векторного произведения Если поменять местами сомножители, то тройка векторов станет левой и тогда
Текст слайда:

Геометрические свойства векторного произведения








Если поменять местами сомножители, то тройка векторов станет левой и тогда


Слайд 81
Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.
Текст слайда:


Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.


Слайд 82
Алгебраические свойства векторного  произведенияВекторное произведение удовлетворяет
Текст слайда:

Алгебраические свойства векторного произведения

Векторное произведение удовлетворяет


Слайд 83
ПримерНайтиеслиРешение
Текст слайда:

Пример

Найти

если

Решение


Слайд 84
Пример   Найти площадь треугольника
Текст слайда:

Пример

Найти площадь треугольника , если известны координаты его вершин:



:




Слайд 85
Смешанное произведение  Смешанным  произведением трёх векторов  называется  произведение   вида :
Текст слайда:

Смешанное произведение


Смешанным произведением трёх

векторов называется произведение

вида :



Слайд 86
Смешанное произведение вычисляют по формуле
Текст слайда:

Смешанное произведение вычисляют по формуле



Слайд 87
Известно, что три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.
Текст слайда:


Известно, что три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.




Слайд 88
Условие компланарности трёх векторовЕсликомпланарны, то Элементами определителя являются координатывекторов
Текст слайда:

Условие компланарности трёх векторов

Если

компланарны, то

Элементами определителя являются координаты
векторов


Слайд 89
Объём параллелепипеда  Если параллелепипед построен на трех векторах как
Текст слайда:

Объём параллелепипеда

Если параллелепипед построен на трех векторах как на сторонах , то его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов:



Слайд 90
Объём тетраэдра  Тетраэдр, т.е. пирамида , составляет одну шестую часть параллелепипеда и поэтому
Текст слайда:

Объём тетраэдра

Тетраэдр, т.е. пирамида , составляет одну шестую часть параллелепипеда и поэтому