Презентация на тему Двойные интегралы

тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью,

образующая которой параллельна оси Oz (рис). Область D, вырезаемая цилиндрическим брусом на плоскости Oxy, называется основанием
цилиндра, а цилиндрическая поверхность – его боковой поверхностью.

суммой
где Δσi –площадь элементарной ячейки .

Таким образом, переходя к пределу при условии, что
max diamΔσi→0, мы получим точный объём цилиндра:

предел интегральных сумм при условии, что max diam Δσi→0,

не зависящий ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi, то он называется двойным интегралом по области D от функции z=f(x,y) и обозначается

=

В этой формуле f(x,y) называют подынтегральной функцией, D – областью интегрирования, а dσ – элементом площади.

=

.

этой области принадлежат как внутренние, так и граничные точки

области, то есть если граница области причисляется к самой области.

кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно

меняющую своё положение от точки к точке. Очевидно, кривая будет гладкой, если её уравнение на плоскости Oxy может быть записано в виде y=f(x) (a≤x≤b), где функция f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную на данном интервале (a,b).

кривую, которую можно разбить на гладкие кривые точками. Например,

кусочно – гладкой кривой является ломаная. Сформулируем без доказательства теорему.

с кусочно – гладкой границей Г ограничена и замкнута,

а функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл

как предел соответствующих интегральных сумм, существует и не зависит ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi(.
В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.

двойной интеграл не зависит от способа разбиения области на

элементарные ячейки, то в декартовых координатах область разбивают на ячейки прямыми, параллельными координатным осям.
Тогда элемент площади dσ в
декартовых координатах полагают равным
dσ=dxdy.

=

область ограничена сверху и снизу кривыми, изображенными на рисунке,

а с боков – отрезками прямых. Прямая, параллельная оси, пересекает нижнюю и верхнюю границы области не более, чем в 2-х точках. Такую область называют правильной в направлении оси Оу.

простой и правильной в направлении оси Ох , интеграл

вида



Здесь сначала вычисляют внутренний интеграл, а затем внешний.

по области, простой и правильной в направлении оси Ох,

сводится к двукратному интегралу по такой области:

оХ