Слайд 2
Функция. Предел функции
Функцией называется соответствие при котором каждому
значению x из некоторого множества D (DR) сопоставляется по
некоторому правилу единственное число y, зависящее от x
y= f(x)
x – аргумент функции (независимая переменная)
y – значение функции f (зависимая переменная)
D – область определения функции D (f) – все значения x
Все значения y – область значений функции f , E (f)
Слайд 3
Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами
(x; y), где x пробегает всю область определения функции
f
Способы задания функции
Аналитический (рекуррентный) – формула
Графический – график функции
Табличный – таблица зависимости x и y
Слайд 4
Рассмотрим интервал с центром в точке x0 и
радиусом r
Окрестностью точки x0 радиуса r называется интервал с
центром в точке x0 радиуса r, (x0)
Если рассматривается окрестность без самой точки x0, то она называется проколотой (x0)
Слайд 5
Предел функции
Число A называется пределом функции f(x) в
точке x0, если для любого числа , существует окрестность
, такая, что выполняется неравенствоf(x)-A, для любого x из окрестности (x0)
f(x)-A
Af(x)A+
Слайд 7
Теоремы о пределах
Теорема о единственности предела: если предел
функции существует, то он единственный (число A)
Теорема о пределе
суммы: если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их суммы равный сумме пределов функций f(x) и g(x)
Слайд 8
Теорема о пределе произведения: если существуют пределы функций
f(x) и g(x), то существует предел их произведения равный
произведению пределов функций f(x) и g(x)
Теорема о пределе частного: если существуют пределы функций f(x) и g(x) и предел функции g(x) не равен нулю, то существует предел их частного равный частному пределов функций f(x) и g(x)
Слайд 9
Следствия из теорем
Следствие 1: постоянный множитель можно вынести
за знак предела
Следствие 2: если n натуральное число, то
Слайд 10
Следствие 3: предел многочлена
равен значению многочлена в
точке x0 при
Следствие 4: предел дробно –рациональной функции
равен значению этой функции в точке x0 при
если x принадлежит области определения функции
Слайд 12
Производная функции и дифференциал
Производная функции – это предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращения аргумента
стремится к нулю
Слайд 13
Свойства производной
Теорема: производная суммы, произведения, частного вычисляются по
следующим формулам:
Слайд 14
Производная сложной функции:
Пример:
Слайд 17
Дифференциал функции
Нахождение производной называется дифференцированием
Дифференциал – это произведение
производной функции на приращение аргумента функции y = f(x)
dy
= f'(x)x
Рассмотрим функцию y = x, тогда y'= 1 dx = x
dy = f'(x)dx (отношение дифференциалов)
Слайд 18
Свойства дифференциала
Дифференциал функции – это главная часть её
приращения
Дифференциал функции – это линейная функция приращения аргумента или
касательная к графику функции геометрически dy = f'(x)dx - уравнение касательной в системе координат (dx; dy)
Слайд 19
Вычисление дифференциала функции
Пример.
Слайд 20
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Для функции y=f(x) и
точки x0 можно приближенно вычислить значение функции в точке
x близкой к x0, если знать приращение функции y на [x0; x], то точное значение функции f(x) = y0+ y, где y0 значение функции в точке x0
Приближенные формулы основаны на замене приращения функции y её дифференциалом dy
y = f(x) - y0
f(x) - y0 f '(x0) x
f(x) y0+ dy y0 + f '(x0)(x – x0)
Слайд 21
Для y = xn
(x0+ x)n x0n +
nx0n-1x
Пример:
Слайд 22
Первообразная функции и интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Свойства неопределенного
интеграла
Таблица первообразных
Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям
Определенный
интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Применение определенного интеграла: вычисление площади фигуры, длины дуги, объема тела
Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными
