Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Обратная связь

Презентация на тему Динамическое программирование. Экономические ресурсы распределения ресурсов

Содержание

2. Динамическое программирование (ДП) --особый
3. Экономическая задача распределения ресурсов Пусть есть
4. В общем случае это не линейная функция.
5. Так как функция
6. Например: Бег на 800
7. Принцип оптимальности Беллмана Принцип оптимальности Беллмана
8. Беллман предложил рассматривать величину
9. Определение: оптимальность в малом понимается
10. При этом мы задаём
11. Функциональное уравнение Беллмана.Назовём состоянием системы вектор координат:
12. Рассмотрим процесс управления системой
13. Введём
14. Это функциональное уравнение Беллмана.
15. Для использования уравнения Беллмана начинают с конца: 1. Um
16. 2.
17. Итак, идя от конца к началу, мы
18. Теперь необходимо получить, идя от начала к
19. Задача распределения ресурсов. Это едва ли
20. Рассмотрим классическую задачу распределения
21. Нас интересует суммарный доход:
22. После i-го шага в первой отрасли остаются
23. Исследуя функции траты,
24. Распределение средств – движение внутрь треугольника. Рассмотрим частные случаи задач о распределении ресурсов.
25. Распределение по неоднородным этапам. Выше мы
26. Распределение ресурсов между тремя и более отраслями.
27. Распределение ресурсов с резервированием. В такой
28. Решение такой задачи сводится к
29. Задача линейного программирования с одной
30. Таким образом приходим к классической задаче. Трата || оси Х.
31. Задача с резервированием
32. В этом случае задача сводится к более
33. Эти функции
34. Распределение ресурсов «с вложением доходов в производство».
35. Так как оставшиеся средства и
36. Выигрыш на i-ом шаге зависит
38. Таким образом процедура оптимизации возможна
39. Рассмотрим задачу распределения ресурсов с
40. Введём функцию
41. Уравнение Беллмана для го
42. Учёт предыстории процесса. Мы считаем, что
43. Введём расширенное состояние:
44. Задача с мультипликативным критерием. До сих
45. Но можно при вводе
46. Операции не связанные со временем Во многих
47. Рассмотрим технику расчетов метода динамического
48. Если потребуется ввести новые производственные
49. 1-ый этап. Описание системы.
50. Управление
51. 2-й этап. Определение функций
52. а при неизменном
53. 3-й этап. Определение функции изменения
54. 4-й этап. Запись основного
55. 5-й этап. Определение оптимальных
56. Можно предположить, что производственные мощности
57. Далее, очевидно,
58. При =3 и
59. Отберем все минимальные (условно-оптимальные) значения
60. 6-й этап. Определение условно-оптимальных затрат,
61. Предположим, что производственные мощности во
62. При =2 и
63. При =4 и
65. Второй квартал(предпоследний процесс), где и
66. При =0 и
67. При =3 и
68. Отберем оптимальные затраты и соответствующие производственные мощности в таблицу 3.
69. Для первого квартала:
70. При =2 и
71. 7-ой этап. Определение безусловно-оптимальных затрат
72. Скачать презентацию
73. Похожие презентации

Динамическое программирование (ДП) --особый метод, он специально приспособлен для оптимизации динамических задач, в которых операция состоит из элементов, сильно влияющих друг на друга. ДП связано с именем Ричарда Беллмана, который

Главная
Информатика
Динамическое программирование. Экономические ресурсы распределения ресурсов

Динамическое программирование (ДП) --особый метод, он специально приспособлен для

Экономическая задача распределения ресурсов Пусть есть начальный капитал

Так как функция - нелинейная, то получаем задачу

Например: Бег на 800 метров. Каждый бегун имеет запас

Принцип оптимальности Беллмана Принцип оптимальности Беллмана ставит вопрос о том, что

Беллман предложил рассматривать величину выигрыша от i-го шага и

Определение: оптимальность в малом понимается через оптимальность в большом.

При этом мы задаём состояние, с которого начинается

Функциональное уравнение Беллмана.Назовём состоянием системы вектор координат: В некоторых задачах состояние –

Рассмотрим процесс управления системой за m шагов. Функция

Для использования уравнения Беллмана начинают с конца: 1. Um

Итак, идя от конца к началу, мы получаем последовательно:Придя в начальное состояние

Теперь необходимо получить, идя от начала к концу по цепочке, безусловно оптимальное

Задача распределения ресурсов. Это едва ли не самая распространённая операция. Под

Рассмотрим классическую задачу распределения ресурсов. Имеется начальное

Нас интересует суммарный доход: Суммарный выигрыш

После i-го шага в первой отрасли остаются средства

Исследуя функции траты, получим количество средств после i-го

Распределение средств – движение внутрь треугольника. Рассмотрим частные случаи задач о распределении ресурсов.

Распределение по неоднородным этапам. Выше мы считали, что все функции одинаковы

Распределение ресурсов между тремя и более отраслями. В этом случае на

Распределение ресурсов с резервированием. В такой модели если средства распределяются между

Решение такой задачи сводится к классической, задав функции дохода и

Задача линейного программирования с одной переменной. Пусть вид функции

Таким образом приходим к классической задаче. Трата || оси Х.

Задача с резервированием в одной отрасли при параллельных

В этом случае задача сводится к более простой.Рассмотрим более частный случай: все

Распределение ресурсов «с вложением доходов в производство». В классической задаче считается,

Так как оставшиеся средства и доход объединяются, то можно ввести

Выигрыш на i-ом шаге зависит от того, как мы подсчитываем

Таким образом процедура оптимизации возможна в одном направлении от начала

Рассмотрим задачу распределения ресурсов с вложением доходов в производство и

Уравнение Беллмана для го шага будет выглядеть так:

Учёт предыстории процесса. Мы считаем, что функции как выигрыша, так и

Задача с мультипликативным критерием. До сих пор мы считали, что суммарный

Но можно при вводе уравнения Беллмана учесть, что:

Операции не связанные со временем Во многих задачах распределение ресурсов не связано

Рассмотрим технику расчетов метода динамического программирования на примере. Задача:

Если потребуется ввести новые производственные мощности, то затраты на это

1-ый этап. Описание системы. Обозначим производственные мощности, имеющиеся

2-й этап. Определение функций эффекта для i-го шага.

а при неизменном (сохранении уровня мощности):

3-й этап. Определение функции изменения состояния системы(производственных мощностей) на i-ом

4-й этап. Запись основного рекуррентного соотношения динамического программирования.

5-й этап. Определение оптимальных затрат на последнем четвертом шаге:

Можно предположить, что производственные мощности в третьем квартале отсутствуют или

Отберем все минимальные (условно-оптимальные) значения затрат в четвертом квартале и

6-й этап. Определение условно-оптимальных затрат, а также соответствующих им управлений

Предположим, что производственные мощности во втором квартале могут иметь уровень

Динамическое программирование. Экономические ресурсы распределения ресурсов

Второй квартал(предпоследний процесс), где и

Отберем оптимальные затраты и соответствующие производственные мощности в таблицу 3.

7-ой этап. Определение безусловно-оптимальных затрат управлений. Для затрат в

Таким образом. Оптимальное распределение производственных мощностей на строящемся объекте соответствует

Слайды презентации

Слайд 2 Динамическое программирование (ДП) --особый метод,

он специально приспособлен для оптимизации динамических задач, в которых

операция состоит из элементов, сильно влияющих друг на друга.
ДП связано с именем Ричарда Беллмана, который сформулировал принцип Беллмана. Он позволяет существенно сократить перебор решений в многоэтапных нелинейных задачах.

Слайд 3 Экономическая задача распределения ресурсов
Пусть есть начальный

капитал .
Его

можно потратить на несколько предприятий

- количество средств вкладываемых в i-ом
году, в j-ое предприятие.
В результате получается эффект:

Слайд 4 В общем случае это

не линейная функция.

Слайд 5 Так как функция -

Так как функция - нелинейная, то получаем задачу нелинейного

нелинейная, то получаем задачу нелинейного программирования. Решать её сложно,

кроме того, часто - дискретные значения.
Вопрос: нельзя ли решить задачу последовательно, т. е. найти оптимальное вложение для первого года, второго и т. д. т. е. провести последовательную оптимизацию.
В большинстве задач так нельзя, т. к. то, что мы решили оказывает влияние на последующие шаги.

Слайд 6 Например:
Бег на 800 метров.

Например: Бег на 800 метров. Каждый бегун имеет запас энергии,

Каждый бегун имеет запас энергии, который он тратит на

каждые 100 метров. ti – время на i – й 100 метров.
Σti(хi) → min;
Σхi ≤ х0.
Оказывается, на первых 100 метров бегун будет обеспечивать минимальное время.

Слайд 7 Принцип оптимальности Беллмана
Принцип оптимальности Беллмана ставит

вопрос о том, что такое оптимальность отдельного элемента системы

с точки зрения оптимальности всей системы. Принимая решение на отдельном этапе, мы должны выбирать управление на этом этапе с прицелом на будущее, т. к. нас интересует результат в целом за все шаги.

Слайд 8
Беллман предложил рассматривать величину

выигрыша от i-го шага и до конца, если i-ый

шаг начинается с некоторого состояния S. Такую величину называют условным оптимальным выигрышем .
Тогда, принимая решение на i-ом шаге, мы должны выбрать Xi так, чтобы условный оптимальный выигрыш был максимальным от i-го шага и до конца.

Слайд 9 Определение: оптимальность в малом понимается через

Определение: оптимальность в малом понимается через оптимальность в большом. Любой

оптимальность в большом.
Любой процесс имеет где-то окончание,

т. е. имеет горизонт планирования. Тогда последний этап «не имеет будущего». Вот именно его можно оптимизировать только из условий данного этапа. После этого приступают к оптимизации – го этапа.
Выбирают такое , чтобы при применении этого его внести в управление последнего шага.

Слайд 10
При этом мы задаём состояние,

с которого начинается

- ый шаг.
Поэтому функцию называют условным оптимальным выигрышем.
Таким образом, процесс оптимизации разворачивается от конца к началу, и начальное состояние становится известно. Принцип Беллмана нашёл применение в методе программно-целевого планирования (любое действие планируется некоторым проектом).

Слайд 11 Функциональное уравнение Беллмана.
Назовём состоянием системы вектор координат:

В

некоторых задачах состояние – одна величина. Тогда работу системы

можно представить как движение в фазовом пространстве – пространстве состояний. Назовём шаговым управлением – управление на i-ом шаге.

Слайд 12 Рассмотрим процесс управления системой за

m
шагов. Функция

называется выигрышем на i-ом шаге. Здесь S-состояние перед i-ым шагом, а U - управление на i-ом шаге.
Величина должна быть известна до начала динамического программирования. Если состояние перед i - ым шагом было S и мы приняли какое-то управление Ui, то система перейдёт в новое состояние

Эта функция должна быть так же известна. Если эти функции не заданы, то их надо сформулировать.

Слайд 13 Введём

Введём - условный оптимальный выигрыш. Это выигрыш

- условный оптимальный выигрыш. Это выигрыш на всех

этапах от i до конца, если i-ый шаг начинается с состояния S.
Рассмотрим m шагов. Начнём с – го шага. Мы системой управляем оптимально, величина оптимального выигрыша

На i-ом шаге - любое управление.

неоптимальный выигрыш, т. к. на i-ом шаге мы применяем управление Ui.

Слайд 14
Это функциональное уравнение Беллмана.

Слайд 15 Для использования уравнения Беллмана начинают с

конца:
1.

Um

Слайд 16

2.

Слайд 17
Итак, идя от конца к началу, мы получаем

Итак, идя от конца к началу, мы получаем последовательно:Придя в начальное

последовательно:

Придя в начальное состояние W1(S), мы можем подставить S

= S0 и W1(S0) = Wmax – это безусловный выигрыш.

Слайд 18 Теперь необходимо получить, идя от начала к концу

Теперь необходимо получить, идя от начала к концу по цепочке, безусловно

по цепочке, безусловно оптимальное уравнение:

Итак, в конце мы получаем:

Слайд 19 Задача распределения ресурсов.
Это едва ли не

самая распространённая операция. Под ресурсом в общем случае понимают

физическую или абстрактную величину, которую система использует для производства полезного продукта.
Например: горючее, деньги, время, объём склада. Как правило – ресурс ограничен, поэтому встаёт задача так распределить ресурс между отдельными элементами системы, чтобы суммарный эффект был максимальным.

Слайд 20 Рассмотрим классическую задачу распределения ресурсов.

Рассмотрим классическую задачу распределения ресурсов. Имеется начальное количество

Имеется начальное количество ресурсов ,

которые необходимо распределить между двумя отраслями. Каждая отрасль работает в течении m лет. Если в первую отрасль в i-ый год вкладываются средства , то доход , если же во вторую вкладываются , тогда доход . Средства тратятся, принося доход, а новых средств не поступает и полученный доход не вкладывается.

Слайд 21 Нас интересует суммарный доход:

Нас интересует суммарный доход: Суммарный выигрыш равен сумме

Суммарный выигрыш равен сумме выигрышей на каждом

шаге. Состоянием системы является количество средств перед i-ым шагом. Так как новых средств не поступает, то ресурсы «тают».
Управление может быть записано как

Слайд 22 После i-го шага в первой отрасли остаются средства

После i-го шага в первой отрасли остаются средства а

а во второй

Эти функции называются функциями траты. Мы можем составить уравнение Беллмана. В этой задаче на i-ом шаге одно управление и одно состояние

Слайд 23
Исследуя функции траты,

получим количество средств после i-го шага:

Задача о

распределении ресурсов допускает геометрическую интерпретацию.

Распределение на первом шаге – указание точки на гипотенузе. После этого средства тратятся

Слайд 24 Распределение средств – движение внутрь треугольника. Рассмотрим частные

случаи задач о распределении ресурсов.

Слайд 25 Распределение по неоднородным этапам.
Выше мы считали,

что все функции одинаковы на всех этапах. Во многих

задачах функции меняются от этапа к этапу:
Покажем, что процедура динамического программирования принципиально не меняется. Запишем уравнение Беллмана:

Слайд 26 Распределение ресурсов между тремя и более отраслями.

В этом случае на каждом шаге будет уже управлений,

но одно из них может быть выражено как:

В этом случае, в правой части уравнения Беллмана будет две и более переменных, по которым ищется максимум, и задача усложняется.

Слайд 27 Распределение ресурсов с резервированием.
В такой модели

если средства распределяются между двумя отраслями, то какое-то количество

средств можно оставить до последующего распределения. В этом случае задача имеет смысл даже для одной отрасли. Начальное количество средств разделяется на первом этапе на и на (резерв), на втором этапе подлежат разделению средства из резерва. Такую задачу можно представить как с одной отраслью реальной, а другой фиктивной (не приносящей доход и не расходующей средства).

Слайд 28 Решение такой задачи сводится к классической,

задав функции дохода и трат.

Подставив

их в уравнение Беллмана, можно решить задачу как классическую. Задача может быть упрощена до следующей:

Слайд 29 Задача линейного программирования с одной переменной.

Пусть вид функции

не убывающий в этом случае недоиспользовать средства не выгодно. В этом случае решение допускают теоремы, обосновывающие, если:
1. неубывающая и выпуклая вверх, оптимальное распределение ресурсов равномерное.
2. возрастающая и выпуклая вниз, оптимальное решение – вложить все средства в один этап, и ничего не зарезервировать.

Слайд 30 Таким образом приходим к классической задаче.

Трата || оси Х.

Слайд 31 Задача с резервированием в

Задача с резервированием в одной отрасли при параллельных функциях

одной отрасли при параллельных функциях траты.

Все функции траты

Слайд 32 В этом случае задача сводится к более простой.

Рассмотрим

В этом случае задача сводится к более простой.Рассмотрим более частный случай:

более частный случай: все функции одинаковые на всех шагах

Слайд 33 Эти функции неубывающие.

(1)

(2)

(2) – равенство, т.к. функция неубывающая и недоиспользование средств невыгодно.
Это имеет теоретическое обоснование:
1. если функция неубывающая и выпуклая вверх, то оптимальным распределением является равномерное распределение.
2 если функция неубывающая и выпуклая вниз, то оптимальным распределением является такое: все распределение в один этап (элемент) и ничего в другие.

Слайд 34 Распределение ресурсов «с вложением доходов в производство».

В классической задаче считается, что полученный доход на i-ом

шаге в производство не вкладывается, т. е. он отчисляется и подсчитывается как эффект.
Во многих задачах полученный эффект можно использовать как ресурс для следующего шага объединяя его с оставшимся ресурсом.
Если ресурс не деньги, то средства можно привести к единому эквиваленту с оставшимися средствами. Такая модель является развитием классической модели.

Слайд 35 Так как оставшиеся средства и доход

объединяются, то можно ввести единую интегральную функцию – функцию

изменения средств.
количество оставшихся средств плюс доход после i-го шага, если вложили
I
II
количество средств перед i-м шагом.

Слайд 36 Выигрыш на i-ом шаге зависит от

того, как мы подсчитываем доход (эффект) от управления всеми

ресурсами. Поставим задачу: максимальный доход в конце го шага. Тогда на всех шагах доход = 0,
На ом шаге выигрыш

Подставив эти выражения в уравнение Беллмана, мы программируем задачу от начала к концу, если имеется начальное количество средств
Здесь функция траты:

Слайд 37
Частный

случай: когда и неубывающие

В этом случае чем больше значение доход + средства получается в конце i-го шага, тем лучшим условием это будет для проведения
шага. Поэтому можно не заботиться о следующих шагах, достаточно обеспечить максимум на каждом шаге.

Слайд 38 Таким образом процедура оптимизации возможна в

одном направлении от начала к концу, т. е. задача

динамического программирования вырождается в задачу последовательной оптимизации.

Слайд 39 Рассмотрим задачу распределения ресурсов с вложением

доходов в производство и отчислением. Это наиболее общий случай.

Разделим функции дохода и функции траты:

и максимальный суммарный отчисленный доход + оставшиеся средства после - го шага.

Слайд 40 Введём функцию отчисления

доход. Тогда выигрыш

на каждом шаге:

Слайд 41 Уравнение Беллмана для го шага

будет выглядеть так:

для

надо учесть
Если то мы получаем классическую задачу.

Слайд 42 Учёт предыстории процесса.
Мы считаем, что функции

как выигрыша, так и траты зависят от состояния перед

i-ым шагом, т. е. не зависят от более ранних состояний. Такие процессы называются процессами без памяти. Но иногда при рассмотрении процессов, связанных с «живыми» организациями требуется помнить всю историю происходящего. Такая задача более сложна.

Слайд 43 Введём расширенное состояние:

состояние за

шагов до i-го.
Тогда
Но задача сложна вычислительном аспекте.
Пусть имеет координат и предыстория распространяется на шагов, тогда результат
. Вот почему подобные задачи можно решать если .

Слайд 44 Задача с мультипликативным критерием.
До сих пор

мы считали, что суммарный выигрыш равен сумме выигрыш на

i-ом шаге. Но есть задачи, где общий критерий равен произведению критериальных величин на каждом шаге. В этом случае так же можно применить уравнение Беллмана.
но вместо этого можно взять
функцию
Оптимальные решения будут одинаковы ввиду многоэтапности функций.

Слайд 45 Но можно при вводе уравнения

Но можно при вводе уравнения Беллмана учесть, что: Пример:

Беллмана учесть, что:

Пример: устройство состоит из узлов.

Имеется некоторое устройство , которое может использоваться для повышения надёжности каждого узла. Необходимо так распределить ресурс, чтобы суммарная надёжность была максимальной. надёжность каждого узла.

Слайд 46 Операции не связанные со временем
Во многих

Операции не связанные со временем Во многих задачах распределение ресурсов не

задачах распределение ресурсов не связано с временными шагами. Ресурс

обычно распределяется по объектам. Например, если расписать распределение ресурсов между n объектами и на каждый объект задана функция выигрыша, то такая задача эквивалентна рассмотренной нами задаче о распределении ресурсов с резервированием в одной отрасли по n шагам.

Слайд 47 Рассмотрим технику расчетов метода динамического программирования

Рассмотрим технику расчетов метода динамического программирования на примере. Задача: Распределение

на примере.
Задача: Распределение объема строительно–монтажных работ на

объекте по кварталам планового года составляет: 2 млн. руб. на первый квартал, 5 млн. руб. на второй квартал, 3 млн. руб. на третий и 1 млн. руб. на четвертый. Подрядная организация планирует, какие производственные мощности должны быть на объекте. Работа ведется в две смены, но при необходимости может быть организована и третья смена. Если понадобится уменьшить производственные мощности на объекте, то затраты по их переброске на другие объекты составят 70 тыс. руб. на каждый млн. руб. выполняемого объема работ.

Слайд 48 Если потребуется ввести новые производственные мощности,

то затраты на это составят 100 тыс. руб. по

каждому млн. руб. выполняемого объема работ. Если на объекте будут находиться неиспользованные мощности, то на каждый млн. руб. объема потери будут составлять 80 тыс. руб. При нехватке мощностей и организации дополнительной третьей смены будет дополнительно расходоваться 110 тыс. руб. Перед началом планового периода на объекте имеется столько производственных мощностей, сколько нужно для выполнения работ объемом 2 млн. руб.
Найти оптимальное распределение производственных мощностей по кварталам планового года.

Слайд 49 1-ый этап. Описание системы.

1-ый этап. Описание системы. Обозначим производственные мощности, имеющиеся в

Обозначим производственные мощности, имеющиеся в начале i-го квартала (i=1,2,3,4).

За единицу примем производственные мощности для выполнения объема работ в один млн. руб. Обозначим через требуемое количество производственных мощностей для выполнения заданного в i-ом квартале объема работ
( ). Состояние системы
таким образом, определяется величиной

Слайд 50 Управление

Управление состоит, во-первых, в переброске производственных

состоит,
во-первых, в переброске производственных мощностей с

рассматриваемого объекта на какие-либо другие или, наоборот, с каких-либо объектов на рассматриваемый объект,
во-вторых, в организации дополнительной третьей смены при нехватке производственных мощностей.
Затраты при оптимальном управлении должны быть минимальными. Естественным временным шагом процесса управления является квартал планового года.

Слайд 51 2-й этап. Определение функций эффекта

2-й этап. Определение функций эффекта для i-го шага. В

для i-го шага.
В зависимости от применяемого управления,

т.е. изменения производственных мощностей
на объекте, либо дополнительного использования имеющихся мощностей за счет организации третьей смены затраты определяются различным образом.
При изменении (переброске мощностей) функцию затрат по условиям задачи можно записать следующим образом:

Слайд 52

а при неизменном

(сохранении уровня мощности):

общая функция затрат

имеет вид:

Слайд 53 3-й этап. Определение функции изменения состояния

системы(производственных мощностей) на i-ом шаге.
В конце i-го

шага производственные мощности должны быть равны мощностям в начале (i+1)-го шага, запишем:

Слайд 54 4-й этап. Запись основного рекуррентного

4-й этап. Запись основного рекуррентного соотношения динамического программирования. Оно

соотношения динамического программирования.
Оно имеет вид:

Здесь и - затраты соответственно на i-ом и (i+1)-м шагах.

Слайд 55 5-й этап. Определение оптимальных затрат

на последнем четвертом шаге:

В этой формуле:

а при неизменном (сохранении уровня мощности):

где и - производственные мощности в 3-м и
4-м кварталах.

Слайд 56 Можно предположить, что производственные мощности в

третьем квартале отсутствуют или составляют 1,2,3,4,5, единиц.
Рассчитаем

условные минимальные затраты для каждого предположения, изменяя величину мощности в четвертом квартале (т.е. осуществляя различные управления).
При =0 и =0, = 0+110(1-0) =110 тыс. руб.
=1, =100(1-0)+0=100 тыс.руб.
=2, =100(2-0)+80(2-1)=280 тыс. руб.

Слайд 57 Далее, очевидно,

Далее, очевидно, что будет расти, поэтому нет

что будет расти, поэтому нет смысла продолжать

расчеты. Наименьшие затраты составляют 100 тыс. руб.
При =1 и =0, =70 (1-00+110(1-0)=180
=1, =0+0=0,
=2, =100(2-1)+80(2-1)=180 и т.д.
При =2 и =0, =70(2-0)+110(1-0)=250
=1, =70(2-1)+0=70
=2, =0+80(2-1)=80 и т.д.

Слайд 58 При =3 и

=0,

=70(3-0)+110(1-0)=320
=1 =70(3-1)+0=140
=2, =70(3-2)+80(2-1)=150
=3, =0+80(3-1)=160 и т.д.
При =4 и =0, =70(4-0)+110(1-0)=390
=1, =70(4-1)+0=210
=2, =70(4-2)+80(2-1) 220 и т.д.
При =5 и =0, =70(5-0)+110(1-0)=450
=1, =70(5-1)+0=280
=2, =70(5-2)+80(2-1)=290 и т.д.

Слайд 59 Отберем все минимальные (условно-оптимальные) значения затрат

в четвертом квартале и соответствующие им величины производственных мощностей

(управления) в таблицу 1.

Слайд 60 6-й этап. Определение условно-оптимальных затрат, а

также соответствующих им управлений на третьем, втором и первом

этапах процесса.
Для третьего квартала(предпоследний шаг процесса) рекуррентное соотношение имеет вид:

где

и

Слайд 61 Предположим, что производственные мощности во втором

квартале могут иметь уровень от 0 до 5 единиц.

Рассчитаем затраты при этих предположениях. Значения будем брать из таблицы1.
При =0 и =0, =0+110(3-0)+100=430
=1, =100(1-0)+110(3-1)+0=320
=2, =100(2-0)+110(3-2)+70=380 и т.д.
При =1 и =0, =70(1-0)+110(3-0)+100=500
=1, =0+110(3-1)+0=220
=2, =100(2-1)+110(3-2)+70=280 и т. д.

Слайд 62 При =2 и

=0,

=70(2-0)+110(3-0)+100= 670
=1, =70(2-1)+110(3-1)+0=290
=2, =0+110(3-2)+70=180
=3, =100(3-2)+0+140=240 и т.д.
При =3 и =0, =70(3-0)+110(3-0)+100=640
=1, =70(3-1)+110(3-1)+0=360
=2, =70(3-2)+110(3-2)+70=250
=3, =0+0+140=140
=4, =100(4-3)+80(4-3)+210=390 и т.д.
Далее, учитывая, что начинать с =0 нет смысла, продолжим расчеты.

Слайд 63 При =4 и

=2,

=70(4-2)+110(3-2)+70=320
=3, =70(4-3)+0+140=210
=4, =0+80(4-3)+210=290 и т.д.
При =5 и =2, =70(5-2)+110(3-2)+70=390
=3, =70(5-3)+0+140=280
=4, =70(5-4)+80(4-3)+210=380 и т.д.
Отберем все минимальные(условно-оптимальные) значения затрат в третьем квартале и соответствующие им величины производственных мощностей в 3-м и 4-м кварталах в таблицу2.

Слайд 64

Слайд 65 Второй квартал(предпоследний процесс),

где

и

Слайд 66 При =0 и

=0,

=0+110(5-0)+320=870
=1, =100(1-0)+110(5-1)+220=760
=2, =100(2-0)+110(5-2)+180=710
=3, =100(3-0)+110(5-3)+140=660
=4, =100(4-0)+110(5-4)+70=720 и т.д.
При =1 и =2, =100(2-1)+110(5-2)+180=610
=3, =100(3-1)+110(5-3)+140=560
=4, =100(4-1)+110(5-4)+210=620 и т.д.
При =2 и =2, =0+110(5-2)+180=510
=3, =100(3-2)+110(5-3)+140=460
=4, =100(4-2)+110(5-4)+210=520 и т.д.

Слайд 67 При =3 и

=2,

=70(3-2)+110(5-2)+180=610
=3, =0+110(5-3)+140=360
=4, =100(4-3)+110(5-4)+210=420 и т.д.
При =4 и =2, =70(4-2)+110(5-2)+180=650
=3, =70(4-3)+110(5-3)+140=430
=4, =0+110(5-4)+210=320
=5, =100(5-4)+0+280=380
При =5 и =3, =70(5-3)+110(5-3)+140=500
=4, =70(5-4)+110(5-4)+210=390
=5, =0+0+280=280

Слайд 68 Отберем оптимальные затраты и соответствующие

производственные мощности в таблицу 3.

Слайд 69 Для первого квартала:

где

и

Поскольку

задано по условиям задачи, найдем условно-оптимальные задачи только при
=2.

Слайд 70 При =2 и

=0, =70(2-0)+110(2-0)+660=1020

=1, =70(2-1)+110(2-1)+560=740
=2, =0+0+460=460
=3, =100(3-2)+80(3-2)+360=540 и т.д.
Таким образом, условно-оптимальные затраты на первом этапе процесса составляют 460 тыс. руб. при управлении =2.

Слайд 71 7-ой этап. Определение безусловно-оптимальных затрат управлений.

7-ой этап. Определение безусловно-оптимальных затрат управлений. Для затрат в первом

Для затрат в первом квартале оптимальным является управление

=2. Поскольку = затраты в первом квартале равны 0. во втором квартале оптимальным управлением является
=3, затраты составляют 320 тыс. руб. В третьем квартале оптимальным также является управление =3, а затраты соответственно составляют 0. Наконец, в четвертом квартале оптимально управление =1, при котором затраты составляют 140 тыс. руб. Общая сумма затрат составит 460 тыс. руб.