Презентация на тему по математике Исследование функций с помощью производной (10 класс)

достаточные условия убывания и возрастания функций.
Правило отыскания интервалов монотонности.
Определение

экстремума. Теорема Ферма.
Правило отыскания экстремума.
Пример исследования функции с помощью производной.
Источники получения информации.

переменной x, если каждому допустимому значению x соответствует определенное

значение y.

Символически функциональная зависимость между переменной y (функцией) и переменной x (аргументом) записывается с помощью равенства y=f(x), где f означает совокупность действий, которые надо произвести над x, чтобы получить y.

называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она

может иметь действительное значение.

Способы задания функции:
аналитический (формула)
табличный
графический

Определение 3:
Множество значений функции называется множество всех действительных значений функции, которые она может принимать.

y=|x|

называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента

x при x0 (если этот предел существует):

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке, x – точка этого промежутка и число x таково, что x+x тоже принадлежит этому промежутку.

производной):
Производной гладкой функции в точке x называется угловой коэффициент

касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x.

Уравнение касательной:
y=y0+k(x-x0),
где y0=f(x0), k – угловой коэффициент касательной.

x, на которых функция возрастает (промежутки возрастания) или убывает

(промежутки убывания) .

f(x) возрастает при
x[m1;m2] [m3;b]

f(x) убывает при
x[a;m1] [m2; m3]

функций
Если функция возрастает на промежутке, то ее производная во

всех точках этого промежутка больше или равна нулю.

f – возрастает  f (x)  0

Если функция убывает на промежутке, то ее производная во всех точках этого промежутка меньше или равна нулю.

f – убывает  f (x)  0

функции f(x).
Найти критические точки функции y=f(x), т.е. точки, в

которых f (x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак производной f (x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения f(x).
Сделать выводы о промежутках возрастания и убывания функции.

точкой максимума функции y=f(x), если существует такая окрестность точки

x0, что для всех xx0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)

Определение 8:
Точка x0 называется точкой минимума функции y=f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех xx0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(x0).

экстремума.
Точки экстремума функции f(x):

m1 и m3 – точки минимума
m2

– точка максимума

Теорема Ферма:
Если гладкая функция имеет экстремум во внутренней точке промежутка, то в этой точке ее производная обращается в нуль.

6. Определение экстремума. Теорема Ферма

f(x).
Найти критические точки функции y=f(x), т.е. точки, в которых

f (x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак производной f (x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения f(x). При этом критическая точка x=x0 есть точка экстремума, если производная функции меняет свой знак при переходе через x=x0.
Вычислить значения функции в точках максимума и минимума.

f(x) = x3 – 3x2 с помощью производной:
найдем

производную: f (x) = 3x2 – 6x
найдем корни уравнения 3x2 – 6x = 0: 3x(x–2)=0  x1=0 и x2=2
производная имеет положительные значения слева от точки x=0 и справа от точки x=2 и отрицательные значения между этими точками:

x1=0 – точка максимума, x2=2 – точка минимума
f(0) = 03 – 302=0; f(2) = 23 – 322= –4

для студ. учреждений сред. проф. образования / М. И.

Башмаков. – 9-ое изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.

Богомолов Н. В. Математика: учеб. для ссузов / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. – 7-ое изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2010. – 395, [5] с. : ил.