Презентация на тему Непрерывная случайная величина (НСВ)

распределения) F(x).
2. С помощью дифференциальной функции рас-пределения (или

Определение. Функцией распределения СВ Х называется такая функция F(x), которая для лю-

бого числа х определяет вероятность того, что СВ Х примет значения Х < x:

F(x) = P(Х < x).

F(a) = P(Х < a)
Свойства функции распределения F(x)
x
1. 0

2. P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a).

3. Следствие из 2-го свойства:

P(X = x0) = 0, отсюда,

P(X = a) = P(X = b) = 0.

Поэтому,

P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X

4. F(x) – неубывающая функция, т.е.

при x2 > x1 F(x2) ≥ F(x1)

      5. Если СВ Х задана на всей числовой прямой, то

lim F(x) = 0,

x -∞

lim F(x) =1.

x ∞

     6. F(x) – непрерывно дифференцируемая функция.

Пример 1. Функция распределения СВ Х:

0 при х ≤ 2,
F(x) = a(x – 2)2 при 2 < x ≤ 4,

1 при x ≥ 4.

≤ 3).
Решение. По определению непрерывной функции:
lim F(x) =

x 2-0

lim F(x) =

x 2+0

F(2) = 0

lim F(x)

x 4-0

= lim F(x) =

x 4+0

F(4) = 1

F(4) = a(4 – 2)2= 1, отсюда a =

P(2 ≤ X ≤ 3) = F(3) – F(2) =

= (3 – 2)2 - *0 = .

ступенчатая (кусочно- постоянная) линия. При каждом
новом значении СВ

функции F(x) равна 1.

НСВ Х принимает значения из элемен-тарного отрезка x,

Тогда
P(x ≤ X ≤ x +∆x)= F(x +∆x) – F(x)

Поделим на ∆x:

отношения вероятности попадания НСВ Х в элементарный промежуток
x, x

∆x 0 называется плотностью распределения

вероятностей НСВ Х и обозначается f(x):

f(x) =

∆x 0

∆x 0

=F′(x)

Отсюда следует, что F′(x) = f(x) .

P(x ≤ X ≤ x +∆x) есть площадь криволинейной

f(x), отрезком x, x +∆x , вертикальными прямы-ми, проходящими через концы этого отрезка, и осью Ох.

Свойства плотности распределения f(x)

1. f(x) ≥ 0, т.к. F(x) – неубывающая,

x
 
-∞

то F′(x) ≥ 0.

2. F(x) =∫f(x)dx.

3. P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dx.

b

a

4. ∫ f(x)dx = 1.

∞

-∞

σ(X).
Математическое ожидание:
M(X) = ∫ xf(x)dx.
b

a
Дисперсия:
D(X) = ∫ x2f(x)dx –

b
 
a

Среднее квадратическое отклонение:

σ(X) =

Х:
f(x) =
0

a(4x – x ) при 0 < х ≤ 2,

0 при х > 2.

Определить: 1) коэффициент а;

2) функцию распределения СВ Х;

3) матем. ожидание и дисперсию;

4) вероятность попадания СВ Х в

интервал ( 0; 1).

Решение.

1) По свойству плотности распределения:

Найдем:

3

1.
Отсюда 4а = 1 или

а =

= 0,25.

2) Функция распределения:

F(x) =

При х ≤ 0 F(x) =

.

.

= 0 +
;
при х > 2

=

=

= 0,25·(2·22 – 24:4) = 0,25·4 = 1.

Тогда интегральная функция распределения:

при х ≤ 0,
при

1 при х > 2.

3) Найдем М(Х) и D(X):

М(Х) =

=

= 0 +

+ 0 =

=

.

4) Вероятность попадания СВ Х в интервал (0;1):

попадания при каждом выстреле равна 0,7. Определить интегральную функцию

распределения дискретной СВ Х – числа попаданий и построить ее график.

Дано:

n = 3,

p = 0,7,

q = 0,3

F(x) = ?

P(X = 0) = P3,0

= C ·

0,7

0

·0,3

3

= 0,027;

P(X = 1) = P3,1=

C ·

0,7

1

·0,3

2

= 0,189;

P(X = 2) = P3,2=

= 1.
Найдем интегральную функцию распределения

При x ≤ 0 F(x) = P(X< x) = 0;

при 0< x ≤ 1 F(x) = P(X< x)

= P(X = 0) = 0,027;

при 1< x ≤ 2 F(x) = P(X< x)

=P(X= 0) +P(X= 1)=

= 0,027 + 0,189 = 0,216;

при 2< x ≤ 3 F(x) = P(X< x)

=P(X= 0)+P(X= 1) +

+ P(X= 2) =

0,216+ 0,441 = 0,657;

0)+P(X=1)+P(X= 2) + P(X=3)=
= 0,657 + 0,343 = 1.
Таким

F(x)=

0 при x ≤ 0;

0,027 при 0< x ≤ 1;

0,216 при 1< x ≤ 2;

0,657 при 2< x ≤ 3;

1 при x > 3.

Построим график интегральной функции распределения F(x). Графиком является разрывная ступенчатая (кусочно-постоянная) линия.