Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Лекция 5. Производная и дифференциал

Содержание

Эпиграф Какой знак имеет производная от настроения по расстоянию до кресла зубного врача?П.В.Грес
Лекция 5.  Производная  и дифференциал5-1 Определение производной5-2 Нахождение производных5-3 Производные элементарных функций5-4 Дифференциал функции Эпиграф Какой знак имеет производная от настроения по расстоянию до кресла зубного врача?П.В.Грес 5-1.  ПроизводнаяОпределениеГеометрический смыслМеханический смысл Определение производнойПроизводной функции y = f (x) называется предел отношения приращения функции Лагранж Жозеф ЛуиЛагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик, член Дифференцируемая функцияНахождение производной называется дифференцированием этой функции.Если функция в точке x имеет Четыре обозначения для производной		Лагранжа (читается «игрек штрих»)		Лейбница (читается «дэ игрек по дэ Геометрический смысл производнойДля функции y = f (x) ее производная y' = Механический смысл производнойДля функции y = f (x), меняющейся со временем x, Лейбниц Готфрид ВильгельмЛейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) – немецкий философ, математик, физик, изобретатель, Ньютон ИсаакНьютон Исаак (1643-1727) – английский физик и математик, член Лондонского королевского Непрерывность и дифференцируемостьТеорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке xDf, то в 5-2.  Нахождение производныхСхема нахождения производнойПравила дифференцированияПроизводная сложной и обратной функцийПроизводная неявной функции Нахождение производной по определению1. 	Для фиксированного значения x аргумента функции находится исходное Производная постояннойФункция: 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение Производная x2Функция: 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение Производная суммыПроизводная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных: 				Доказательство.  Производная произведенияПроизводная произведения двух дифференцируемых функций находится по формуле:				Доказательство.  Производная частногоПроизводная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:Доказательство. Самостоятельно. Производная сложной функцииЕсли y есть дифференцируемая функция от u, а u есть Производная обратной функцииПроизводная обратной функции равна обратной величине производной данной функции:Здесь y Производная неявной функцииЕсли F (x, y) = 0, не разрешенное относительно y, Производные высших порядковФункция f '(x) есть производная первого порядка функции f (x).Ее 5-3.  Производные элементарных функцийПроизводные логарифмической функции Производная показательной функции Производная степенной Производная логарифмической функции Функция: Производная:Доказательство.1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим Производная логарифмической функции 3. Вычисляем приращение функции:4. Находим предел отношения: Производная логарифмической функцииФункция:Производная:Доказательство: самостоятельно Производная показательной функцииФункция:Производная:Доказательство.Обратная функция:Находим, как производную обратной функции: Производная показательной функцииФункция:Производная:Доказательство. Самостоятельно. Производная степенной функцииФункция:Производная:Доказательство.Логарифмируем обе части равенстваДифференцируем: Производные тригонометрических функцийФункция:Производная:Доказательство. Производные тригонометрических функцийФункция:Производная:Функция:Производная:Доказательство. Самостоятельно. Таблица производных	Функция		Производная		И так далее… 5-4.  ДифференциалОпределениеГеометрический смыслСвойства Приращение функцииПусть функция y = f (x) определена на промежутке X и ДифференциалДифференциал функции (differential) есть главная (линейная) часть приращения функции, равная произведению производной Пример нахождения дифференциалаНайти дифференциал для функции:Решение.Находим производную:А затем дифференциал: Геометрический смыслГеометрически дифференциал есть приращение функции до касательной.xx0yx+ x y=f (x)f (x)f Свойства1. Дифференциал постоянной: 2. Дифференциал суммы:3. Дифференциал произведения:4. Дифференциал частного:Свойства дифференциала связаны со свойствами производной. Дифференциал историиДвижение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.Постижение законов Дифференциал историиНо как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что
Слайды презентации

Слайд 2 Эпиграф
Какой знак имеет производная от настроения по

Эпиграф Какой знак имеет производная от настроения по расстоянию до кресла зубного врача?П.В.Грес

расстоянию до кресла зубного врача?

П.В.Грес


Слайд 3 5-1. Производная
Определение
Геометрический смысл
Механический смысл

5-1. ПроизводнаяОпределениеГеометрический смыслМеханический смысл

Слайд 4 Определение производной
Производной функции y = f (x) называется

Определение производнойПроизводной функции y = f (x) называется предел отношения приращения

предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении

последнего к нулю:

x

x

0

y

x+ x

y=f (x)

f (x)

f (x+ x)

 y

 x


Слайд 5 Лагранж Жозеф Луи
Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский

Лагранж Жозеф ЛуиЛагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик,

математик и механик, член Берлинской и Парижской Академии наук.

Самостоятельной изучал математику, в 23 года стал академиком. Сделал массу открытий. Парижская АН пять раз присуждала ему премии. В математике и механике его именем названы несколько методов, формул и теорем. Термин «производная» введен Лагранжем на рубеже 18-19 веков. Производная – произведенная, полученная по определенным правилам из данной функции.

Слайд 6 Дифференцируемая функция
Нахождение производной называется дифференцированием этой функции.

Если функция

Дифференцируемая функцияНахождение производной называется дифференцированием этой функции.Если функция в точке x

в точке x имеет конечную производную, то функцию называют

дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Слайд 7 Четыре обозначения для производной

Лагранжа (читается «игрек штрих»)

Лейбница (читается

Четыре обозначения для производной		Лагранжа (читается «игрек штрих»)		Лейбница (читается «дэ игрек по

«дэ игрек по дэ икс»)

Ньютона (читается «игрек с точкой»)

Коши

(читается «дэ игрек»)


Слайд 8 Геометрический смысл производной
Для функции y = f (x)

Геометрический смысл производнойДля функции y = f (x) ее производная y'

ее производная y' = f '(x) в точке x0

есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке x0.

x

x

0

y

x+ x

y=f (x)

f (x)

f (x+ x)

 y

 x

M

M1



При x0 точка M1 переходит в точку M и секущая MM1 становится касательной к кривой f(x) в точке M.


Слайд 9 Механический смысл производной
Для функции y = f (x),

Механический смысл производнойДля функции y = f (x), меняющейся со временем

меняющейся со временем x, производная y' = f '(x)

есть скорость изменения y в момент x0.

Пройденный путь s зависит от времени t: s = s(t).

Скорость:


Ускорение:



Слайд 10 Лейбниц Готфрид Вильгельм
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) – немецкий

Лейбниц Готфрид ВильгельмЛейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) – немецкий философ, математик, физик,

философ, математик, физик, изобретатель, юрист, историк, экономист, дипломат, языковед,

член Лондонского королевского общества и Парижской Академии наук, основатель Берлинской Академии наук.
В 18 лет защитил магистерскую диссертацию по философии, в 20 лет стал доктором права.
Является одним из создателей математического анализа, алгебры определителей, дифференциального и интегрального исчислений.

Слайд 11 Ньютон Исаак
Ньютон Исаак (1643-1727) – английский физик и

Ньютон ИсаакНьютон Исаак (1643-1727) – английский физик и математик, член Лондонского

математик, член Лондонского королевского общества (с 1672) и его

президент (с 1703).
Им начато построение математического анализа на основе учения о пределе, подготовлены основы для дифференциального и интегрального исчисления. В физике обосновал справедливость закона всемирного тяготения, законы движения, теорию света и др.

Слайд 12 Непрерывность и дифференцируемость
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой

Непрерывность и дифференцируемостьТеорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке xDf, то

точке xDf, то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство.

Если существует производная, тогда





Это означает, что функция в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно.



Слайд 13 5-2. Нахождение производных
Схема нахождения производной
Правила дифференцирования
Производная сложной и

5-2. Нахождение производныхСхема нахождения производнойПравила дифференцированияПроизводная сложной и обратной функцийПроизводная неявной функции

обратной функций
Производная неявной функции


Слайд 14 Нахождение производной по определению
1. Для фиксированного значения x

Нахождение производной по определению1. 	Для фиксированного значения x аргумента функции находится

аргумента функции находится исходное значение функции y = f

(x).
2. Аргументу x дается приращение x и находится новое значение функции f (x + x).
3. Вычисляется приращение функции y = f (x + x) – f (x).
4. Находится предел отношения:

Слайд 15 Производная постоянной
Функция:
1. Для фиксированного значения x аргумента

Производная постояннойФункция: 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное

функции находим исходное значение функции y = f (x)

= C.
2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции f (x + x)= C.
3. Вычисляем приращение функции:
y = f (x + x) – f (x) = C – C = 0.
4. Находим предел отношения:


Слайд 16 Производная x2
Функция:
1. Для фиксированного значения x аргумента

Производная x2Функция: 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное

функции находим исходное значение функции y = f (x)

= x2.
2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции f (x + x)= (x + x)2.
3. Вычисляем приращение функции:
y = f (x + x) – f (x) = x2 + 2xx + x2 – x2.
4. Находим предел отношения:


Слайд 17 Производная суммы
Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме

Производная суммыПроизводная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных: 				Доказательство. 

производных:


Доказательство.


Слайд 18 Производная произведения
Производная произведения двух дифференцируемых функций находится по

Производная произведенияПроизводная произведения двух дифференцируемых функций находится по формуле:				Доказательство. 

формуле:


Доказательство.



Слайд 19 Производная частного
Производная частного двух дифференцируемых функций находится по

Производная частногоПроизводная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:Доказательство. Самостоятельно.

формуле:




Доказательство. Самостоятельно.


Слайд 20 Производная сложной функции
Если y есть дифференцируемая функция от

Производная сложной функцииЕсли y есть дифференцируемая функция от u, а u

u, а u есть дифференцируемая функция от x, то

производная сложной функции существует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции:



Доказательство.



Слайд 21 Производная обратной функции
Производная обратной функции равна обратной величине

Производная обратной функцииПроизводная обратной функции равна обратной величине производной данной функции:Здесь

производной данной функции:


Здесь y = f (x) и x

= g (y) – две взаимно-обратные дифференцируемые функции, y'x  0.

Доказательство.



Слайд 22 Производная неявной функции
Если F (x, y) = 0,

Производная неявной функцииЕсли F (x, y) = 0, не разрешенное относительно

не разрешенное относительно y, определяет y как однозначную функцию

x, то y называют неявной функцией (implicit function) от x.
Чтобы найти производную y' этой неявной функции, нужно уравнение продифференцировать по x, считая y как функцию от x. Из полученного уравнения выразить y'.

Пример.

Ответ.


Слайд 23 Производные высших порядков
Функция f '(x) есть производная первого

Производные высших порядковФункция f '(x) есть производная первого порядка функции f

порядка функции f (x).
Ее производная есть производная второго порядка:


( f '(x))' = f '' (x)

Производная n –го порядка обозначается f (n)(x) и находится как производная от функции f (n-1)(x).


Слайд 24 5-3. Производные элементарных функций
Производные логарифмической функции
Производная показательной

5-3. Производные элементарных функцийПроизводные логарифмической функции Производная показательной функции Производная степенной

функции
Производная степенной функции
Производные тригонометрических функций
Таблица производных


Слайд 25 Производная логарифмической функции
Функция:

Производная:

Доказательство.
1. Для фиксированного значения

Производная логарифмической функции Функция: Производная:Доказательство.1. Для фиксированного значения x аргумента функции

x аргумента функции находим исходное значение функции:

2. Аргументу

x даем приращение x и находим новое значение функции:



Слайд 26 Производная логарифмической функции
3. Вычисляем приращение функции:




4. Находим

Производная логарифмической функции 3. Вычисляем приращение функции:4. Находим предел отношения:

предел отношения:


Слайд 27 Производная логарифмической функции
Функция:

Производная:

Доказательство: самостоятельно

Производная логарифмической функцииФункция:Производная:Доказательство: самостоятельно

Слайд 28 Производная показательной функции
Функция:

Производная:

Доказательство.
Обратная функция:
Находим, как производную обратной функции:

Производная показательной функцииФункция:Производная:Доказательство.Обратная функция:Находим, как производную обратной функции:

Слайд 29 Производная показательной функции
Функция:

Производная:

Доказательство. Самостоятельно.

Производная показательной функцииФункция:Производная:Доказательство. Самостоятельно.

Слайд 30 Производная степенной функции
Функция:

Производная:

Доказательство.
Логарифмируем обе части равенства
Дифференцируем:

Производная степенной функцииФункция:Производная:Доказательство.Логарифмируем обе части равенстваДифференцируем:

Слайд 31 Производные тригонометрических функций
Функция:

Производная:

Доказательство.

Производные тригонометрических функцийФункция:Производная:Доказательство.

Слайд 32 Производные тригонометрических функций
Функция:

Производная:

Функция:

Производная:

Доказательство. Самостоятельно.

Производные тригонометрических функцийФункция:Производная:Функция:Производная:Доказательство. Самостоятельно.

Слайд 33 Таблица производных
Функция Производная









И так далее…

Таблица производных	Функция		Производная		И так далее…

Слайд 34 5-4. Дифференциал
Определение
Геометрический смысл
Свойства

5-4. ДифференциалОпределениеГеометрический смыслСвойства

Слайд 35 Приращение функции
Пусть функция y = f (x) определена

Приращение функцииПусть функция y = f (x) определена на промежутке X

на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки

x X. Тогда существует конечная производная:



На основании теоремы о связи предела и б.м. можно записать:

Слайд 36 Дифференциал
Дифференциал функции (differential) есть главная (линейная) часть приращения

ДифференциалДифференциал функции (differential) есть главная (линейная) часть приращения функции, равная произведению

функции, равная произведению производной на приращение аргумента:


Или
Дифференциал
Если x

– независимая переменная, то x = dx

Слайд 37 Пример нахождения дифференциала
Найти дифференциал для функции:


Решение.
Находим производную:


А затем

Пример нахождения дифференциалаНайти дифференциал для функции:Решение.Находим производную:А затем дифференциал:

дифференциал:


Слайд 38 Геометрический смысл
Геометрически дифференциал есть приращение функции до касательной.
x
x
0
y
x+

Геометрический смыслГеометрически дифференциал есть приращение функции до касательной.xx0yx+ x y=f (x)f

x
y=f (x)
f (x)
f (x+ x)
 y
 x
dy


Слайд 39 Свойства
1. Дифференциал постоянной:

2. Дифференциал суммы:

3. Дифференциал произведения:

4.

Свойства1. Дифференциал постоянной: 2. Дифференциал суммы:3. Дифференциал произведения:4. Дифференциал частного:Свойства дифференциала связаны со свойствами производной.

Дифференциал частного:


Свойства дифференциала связаны со свойствами производной.


Слайд 40 Дифференциал истории
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских

Дифференциал историиДвижение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.Постижение

произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории.

Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине.

Л. Н. Толстой
«Война и мир»

Обещанное продолжение …


  • Имя файла: lektsiya-5-proizvodnaya-i-differentsial.pptx
  • Количество просмотров: 105
  • Количество скачиваний: 0