Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Функции

Содержание

ПланОпределение функцииОбласть определения функцииМножество значенийСпособы задания функцииГрафик функции, определение и теоремыЧетность, нечетность функции7. Монотонные функции
ФункцииАвтор Календарева Н.Е.© 2011 г. ПланОпределение функцииОбласть определения функцииМножество значенийСпособы задания функцииГрафик функции, определение и теоремыЧетность, нечетность функции7. Монотонные функции Определение функцииПусть дано числовое множество Х и его элемент х є X, Пусть дано некоторое множество Y и у – его элемент. Если каждому Если закон обозначен буквой f, то пишут y = f(x). При этом Множество значенийАргумент x є X, элемент y принадлежит Y и должен определяться Множество Е может совпадать с У, а может и не совпадать. Например,пусть Что значит, каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное число y?Рассмотрим графикфункции у = х3.у=х3 Обозначения и примерыx є X, где X = D(f) = Def(f).y є 2. Разность х – [x] называют дробной частью числа х и обозначают Способы задания функцийТабличныйАналитический, т.е. при помощи формулы При помощи нескольких формулГрафический способСловесное задание функции При помощи нескольких формулФункция Дирихле:   у = 1,  если Словесное задание функцииПримеры1. f(n) равно n-му десятичному знаку в разложении Графический способ задания функцииОпределение графика функции.Графиком функции y = f(x), где x Примеры и теоремаГрафиком у = х2 является парабола, а графиком функции у II. Обратно. Пусть множество G точек на плоскости таково, что каждая вертикальная Пусть х є А. Сопоставим ему элемент у следующим образом: проведем вертикальную Окружность Равенство функцийПусть функция f(х) определена на множестве Х1, а функция g(х) – Сумма, разность, произве- дение и частное двух функцийСуммой функций f (x) и Симметричное множествоОпределение. Числовое множество М называется симметричным относительно начала координат, если для Четная функцияОпределение. Функция f(x) называется четной, если 1) ее область определения симметрична Нечетная функцияОпределение. Функция f(x) называется нечетной, если 1) ее область определения симметрична Бывают функции с несимметричной относительно нуля областью определения.Например. Определите, является ли функция Как определять четность/ нечетностьЕсли у функции область определения симметрична относительно нуля, то Если f(− x) = f(x), то четная.Если  f(− x) = − ПримерыОпределите, являются ли следующие функции четными или нечетными.5) у = х2 + График четной функцииТак как для четной функции выполнено равенство f(− x) = Примеры четных функций у = х2 – 1. График нечетной функцииПоскольку для нечетной функции справедливо равенство f(− x) = − Точка А1 будет симметрична точке А(х0; у0) относительно начала координат, если она Примеры нечетных функций y = х3 ТеоремаВсякая функция f(x) с областью опреде-ления, симметричной относительно начала координат, может быть g(x) = ½ (f(x) + f(− x)) ;    	h(x) Некоторые теоремы о четности (нечетности)		Т.1. Сумма (разность) двух четных функций есть функция Монотонные функции Строго монотонные функцииНазовем словом промежуток любой интервал, отрезок, полуинтервал, бесконечный Определение. Функция f(x) называется убывающей (строго убывающей) на промежутке < a; b>, Геометрически строго возрастающая функция изображается графиком, поднимающимся вверх вправо, а строго убывающая Примеры монотонных функцийВозрастающие Неубывающие и невозрастающие функцииОпределение. Функция f(x) называется неубывающей на промежутке < a; Определение. Функция f(x) называется невозрастающей на промежутке < a; b>, если для Кусочно-монотонные функцииОдна и та же функция на различных промежутках может вести себя Определение. Функция f(x) на множестве Х называется кусочно-монотонной, если Х есть объединение Докажем, что у = х2 возрастает на [0; +∞).Пусть х1 < х2 Домашнее заданиеВыучите наизусть 1) Определение функции.2) Теорему о графике.3) Определение четной, нечетной
Слайды презентации

Слайд 2 План
Определение функции
Область определения функции
Множество значений
Способы задания функции
График функции,

ПланОпределение функцииОбласть определения функцииМножество значенийСпособы задания функцииГрафик функции, определение и теоремыЧетность, нечетность функции7. Монотонные функции

определение и теоремы
Четность, нечетность функции
7. Монотонные функции


Слайд 3 Определение функции
Пусть дано числовое множество Х и его

Определение функцииПусть дано числовое множество Х и его элемент х є

элемент х є X, который назовем переменной величиной.
Множество

X всех значений, которые мо-
жет принимать данная переменная величина x, называется областью изме-нения данной переменной величины x.
Переменные величины принято обозна-
чать маленькими латинскими буквами, расположенными в конце алфавита.


Слайд 4 Пусть дано некоторое множество Y и у –

Пусть дано некоторое множество Y и у – его элемент. Если

его элемент.
Если каждому значению переменной x из множества

X ставится в соответствие по известному закону (или правилу) некоторое число y, единственное для каждого x, то говорят, что на множестве Х задана функция y = y(x).
К примеру, в качестве правила можем взять возведение в квадрат переменной х.


Слайд 5 Если закон обозначен буквой f, то пишут
y

Если закон обозначен буквой f, то пишут y = f(x). При

= f(x).
При этом переменная х называется аргументом функции

или независимой переменной, множество Х – областью определения (областью задания) функции.

Слайд 6 Множество значений
Аргумент x є X, элемент y принадлежит

Множество значенийАргумент x є X, элемент y принадлежит Y и должен

Y и должен определяться однозначно.
Число у, соответствующее данному

значению х, называется частным значением функции в точке х. Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество, которое называют областью значений или множеством значений функции и обозначают Е(у).


Слайд 7 Множество Е может совпадать с У, а может

Множество Е может совпадать с У, а может и не совпадать.

и не совпадать. Например,
пусть Х = R и Y

= R. Пусть функция есть возведение в квадрат, т. е. y = x2.
Тогда множество значений – все неотрицательные числа
E(y)= [0; +∞).


Слайд 8 Что значит, каждому значению переменной х ставится в

Что значит, каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное число y?Рассмотрим графикфункции у = х3.у=х3

соответствие единственное число y?
Рассмотрим график
функции у = х3.
у=х3


Слайд 9 Обозначения и примеры
x є X, где X =

Обозначения и примерыx є X, где X = D(f) = Def(f).y

D(f) = Def(f).
y є Y, где Y = E(f)

= E(y).
Примеры функций
1. Целой частью числа х (обозначается [x] и читается антье от х) называется наибольшее целое число, не превосходящее х:
f(x)= [x]. Def(f) = R; E(f) = Z.


Слайд 10 2. Разность х – [x] называют дробной частью

2. Разность х – [x] называют дробной частью числа х и

числа х и обозначают f(x)= {x}. Def(f) = R;

E(f) = [0; 1).
3. f(n) = 1 + 2 + 3 + … + n.
4. y = sin x.

5. y = 6.





Слайд 11 Способы задания функций
Табличный
Аналитический, т.е. при помощи формулы
При

Способы задания функцийТабличныйАналитический, т.е. при помощи формулы При помощи нескольких формулГрафический способСловесное задание функции

помощи нескольких формул
Графический способ
Словесное задание функции


Слайд 12 При помощи нескольких формул
Функция Дирихле:
у =

При помощи нескольких формулФункция Дирихле:  у = 1, если х

1, если х – рациональное число,

у = 0, если х – иррациональное число.
х2, если | x |  1;
у =
| x | + 2, если | x | > 1.

Слайд 13 Словесное задание функции
Примеры
1. f(n) равно n-му десятичному знаку

Словесное задание функцииПримеры1. f(n) равно n-му десятичному знаку в разложении

в разложении в бесконечную десятичную

дробь
= 1,4142…; f(1) = 4; f(2) = 1; f(3) = 4;
2. f(x) = [x] (антье от х) – наибольшее целое число, не превосходящее данного действительного числа х.


Слайд 14 Графический способ задания функции
Определение графика функции.
Графиком функции y =

Графический способ задания функцииОпределение графика функции.Графиком функции y = f(x), где

f(x), где x є Def(y), называется множество точек координатной

плоскости ХОУ, абсциссы которых принадлежат области определения, а ординаты равны соответствующим значениям функции:
x є Def(y), y = f(x). Множество точек плоскости ( x; f(x)) = (x; y) есть график.


Слайд 15 Примеры и теорема
Графиком у = х2 является парабола,

Примеры и теоремаГрафиком у = х2 является парабола, а графиком функции

а графиком функции у = kx + b –

прямая.
Основное свойство графика (теорема)
Всякая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке.
Док-во. I. Пусть дан график y = f(x).
Если для какой-то точки х0 найдутся две
различные точки графика, то будем иметь
y1 = f(x0) ≠ y2 = f(x0), что невозможно по
определению функции.


Слайд 16 II. Обратно. Пусть множество G точек на плоскости

II. Обратно. Пусть множество G точек на плоскости таково, что каждая

таково, что каждая вертикальная прямая пересекает его не более

чем в одной точке. Докажем, что множество G является графиком некоторой функции.
Спроектируем множество G на ось абсцисс и обозначим проекцию через А. Назовем А областью определения функции.

Слайд 17 Пусть х є А.
Сопоставим ему элемент у

Пусть х є А. Сопоставим ему элемент у следующим образом: проведем

следующим образом:
проведем вертикальную прямую через точку (х; 0).

Она пересечет множество G в одной точке, ординату которой назовем у. Получили закон x → y. Это число у удовлетворяет определению функции.


Слайд 18 Окружность

Окружность

x2 + y2 = r2 ;
y2 = r2 – x2;

y = ± ;

y1 = + ; y2 = − .
Здесь два графика: верхняя полуокружность у1 и нижняя полуокружность у2.

Слайд 19 Равенство функций
Пусть функция f(х) определена на множестве Х1,

Равенство функцийПусть функция f(х) определена на множестве Х1, а функция g(х)

а функция g(х) – на множестве Х2. Предположим, что

пересечение множеств Х1 и Х2 не пусто, т.е. Х = Х1 ∩ Х2 ≠ Ø.
Определение. Функции f (x) и g(x) называются равными на множестве X, если для всякого x є X равны их значения, т.е.
 x є X ( f(x) = g(x) ).


Слайд 20 Сумма, разность, произве- дение и частное двух функций
Суммой функций

Сумма, разность, произве- дение и частное двух функцийСуммой функций f (x)

f (x) и g(x) на множестве Х называется функция

h(x), которая для каждого x є X принимает значение, равное сумме значений функций f (x) и g(x) , т.е.  x є X ( h(x) = f(x) + g(x) ).
Аналогично определяется разность, произведение и частное двух функций, при этом для частного оговаривается условие, что функция, стоящая в знаменателе, не равна нулю.


Слайд 21 Симметричное множество
Определение. Числовое множество М называется симметричным относительно

Симметричное множествоОпределение. Числовое множество М называется симметричным относительно начала координат, если

начала координат, если для любого действительного числа
а 

М число −а также принадлежит множеству М.
а  М => − а  М.
Примеры. [ −1; 1],
(−∞; 0) U (0; +∞), (−5; −2] U [2; 5).


Слайд 22 Четная функция
Определение. Функция f(x) называется четной, если
1)

Четная функцияОпределение. Функция f(x) называется четной, если 1) ее область определения

ее область определения симметрична относительно нуля, и
2) имеет

место равенство f(− x) = f(x).
Другое опр-ние. Функция f(x), заданная
на множестве Х, называется четной, если для любого числа х є D(f) число − х также принадлежит D(f) и имеет место равенство f(− x) = f(x).


Слайд 23 Нечетная функция
Определение. Функция f(x) называется нечетной, если

Нечетная функцияОпределение. Функция f(x) называется нечетной, если 1) ее область определения

1) ее область определения симметрична относительно нуля, и
2)

имеет место равенство f(− x) = − f(x).
Другое опр-ние. Функция f(x), заданная на множестве Х, называется нечетной, если для любого числа х є D(f) число − х также принадлежит D(f) и имеет место равенство
f(− x) = − f(x).


Слайд 24 Бывают функции с несимметричной относительно нуля областью определения.
Например.

Бывают функции с несимметричной относительно нуля областью определения.Например. Определите, является ли

Определите, является ли функция у =

четной или нечетной.
Решение. О.о. есть [0; +∞) – несимметричное множество. Не является. Или говорят, что четность не определяется.



Слайд 25 Как определять четность/ нечетность
Если у функции область определения симметрична

Как определять четность/ нечетностьЕсли у функции область определения симметрична относительно нуля,

относительно нуля, то проверяем равенства f(− x) = f(x)

или f(− x) = − f(x). Для этого в формулу для у подставим вместо х число −х.
Итак, чтобы определить четность (нечетность) функции, необходимо
проверить на симметричность ее О.О.;
вычислить f(− x).



Слайд 26 Если f(− x) = f(x), то четная.
Если

Если f(− x) = f(x), то четная.Если f(− x) = −

f(− x) = − f(x), то нечетная.
Определите, являются ли

следующие функции четными или нечетными.
1) у = х2 ;
у = │х │;
у = х3;
у = sin2x;




Слайд 27 Примеры
Определите, являются ли следующие функции четными или нечетными.
5)

ПримерыОпределите, являются ли следующие функции четными или нечетными.5) у = х2

у = х2 + 1 ;
6) у

= х3(х – 1);
7) у = х2 – х3 ;
8) у = 2(х2 – х);
9) у = 3х3 + х5;
10) у = х ∙│х │.


Слайд 28 График четной функции
Так как для четной функции выполнено

График четной функцииТак как для четной функции выполнено равенство f(− x)

равенство f(− x) = f(x), то ее график симметричен

относительно оси Оу. Это значит, что та часть графика, которая расположена в правой полуплоскости, отображена зеркально относительно оси Оу в левую полуплоскость.


Слайд 29 Примеры четных функций
у = х2 – 1.

Примеры четных функций у = х2 – 1.

у =


Слайд 30 График нечетной функции
Поскольку для нечетной функции справедливо равенство

График нечетной функцииПоскольку для нечетной функции справедливо равенство f(− x) =

f(− x) = − f(x), то ее график симметричен

относительно начала координат.
Две точки на координатной плоскости называются симметричными относительно начала координат, если начало координат является серединой отрезка, соединяющего эти две точки.


Слайд 31 Точка А1 будет симметрична точке
А(х0; у0) относительно

Точка А1 будет симметрична точке А(х0; у0) относительно начала координат, если

начала координат, если она имеет координаты А1(− х0; −

у0).
Найдите точку, симметричную точке
( -5; 2);
(0; 3);
( -4; 0);
( 1; 1).


Слайд 32 Примеры нечетных функций
y = х3

Примеры нечетных функций y = х3

у = 1/x

Слайд 33 Теорема
Всякая функция f(x) с областью опреде-ления, симметричной относительно

ТеоремаВсякая функция f(x) с областью опреде-ления, симметричной относительно начала координат, может

начала координат, может быть пред-ставлена в виде суммы четной

и нечетной функций.
Док-во. Составим две вспомогательные функции g(x) и h(x).


Слайд 34 g(x) = ½ (f(x) + f(− x)) ;

g(x) = ½ (f(x) + f(− x)) ;  	h(x) =


h(x) = ½ (f(x) − f(−

x)).
Функция g(x) – четная.
Функция h(x) – нечетная.
Сложим g(x) + h(x), получим f(x).
Теорема доказана.



Слайд 35 Некоторые теоремы о четности (нечетности)
Т.1. Сумма (разность) двух четных

Некоторые теоремы о четности (нечетности)		Т.1. Сумма (разность) двух четных функций есть

функций есть функция четная.
Т2. Произведение (частное) двух четных функций

также является четной функцией.
Т3. Сумма (разность) двух нечетных функций является также нечетной функцией.
Т4. Произведение (частное) двух нечетных функций есть функция четная.



Слайд 36 Монотонные функции Строго монотонные функции
Назовем словом промежуток любой интервал,

Монотонные функции Строго монотонные функцииНазовем словом промежуток любой интервал, отрезок, полуинтервал,

отрезок, полуинтервал, бесконечный полуинтервал и обозначим его < a;

b>. Пусть на промежутке < a; b> задана функция y = f(x).
Определение. Функция f(x) называется возрастающей (строго возрастающей) на промежутке < a; b>, если для любых значений x1, ,x2 из этого промежутка при
x1 < x2 выполняется неравенство
f(x1) < f(x2).


Слайд 37 Определение. Функция f(x) называется убывающей (строго убывающей) на

Определение. Функция f(x) называется убывающей (строго убывающей) на промежутке < a;

промежутке < a; b>, если для любых значений x1,

,x2 из этого промежутка при x1 < x2 выполняется неравенство
f(x1) > f(x2).


Слайд 38 Геометрически строго возрастающая функция изображается графиком, поднимающимся вверх

Геометрически строго возрастающая функция изображается графиком, поднимающимся вверх вправо, а строго

вправо, а строго убывающая – графиком, опускающимся вниз вправо.


Строго возрастающие и убывающие функции называются монотонными.


Слайд 39 Примеры монотонных функций
Возрастающие

Примеры монотонных функцийВозрастающие     Убывающие  y =

Убывающие
y =

x2 на [0; +∞); y = x2 на (−∞; 0];
y = x3; y = − на [0; +∞);
y = на [0; +∞); y = 1 / x .


Слайд 40 Неубывающие и невозрастающие функции
Определение. Функция f(x) называется неубывающей на

Неубывающие и невозрастающие функцииОпределение. Функция f(x) называется неубывающей на промежутке <

промежутке < a; b>, если для любых значений x1,

,x2 из этого промежутка при x1 < x2 выполняется неравенство f(x1) ≤ f(x2).


Слайд 41 Определение. Функция f(x) называется невозрастающей на промежутке

Определение. Функция f(x) называется невозрастающей на промежутке < a; b>, если

a; b>, если для любых значений x1, ,x2 из

этого промежутка при x1 < x2 выполняется неравенство f(x1) ≥ f(x2).
Функции невозрастающие и неубывающие также называются монотонными.


Слайд 42 Кусочно-монотонные функции
Одна и та же функция на различных

Кусочно-монотонные функцииОдна и та же функция на различных промежутках может вести

промежутках может вести себя по-разному. Так, функция у =

х2 строго убывает на (−∞; 0] и строго возрастает на [0; +∞).
Подобные функции называются кусочно-монотонными.


Слайд 43 Определение. Функция f(x) на множестве Х называется кусочно-монотонной,

Определение. Функция f(x) на множестве Х называется кусочно-монотонной, если Х есть

если Х есть объединение конечного числа промежутков, на каждом

из которых f(x) монотонна.


Слайд 44 Докажем, что у = х2 возрастает на [0;

Докажем, что у = х2 возрастает на [0; +∞).Пусть х1 <

+∞).
Пусть х1 < х2 и оба числа неотрицательны.
f(x2)

– f(x1) = x22 – x12 = (x2 – x1) (x2 + x1).
Так как х1 < х2 , то (x2 – x1) > 0.
Так как х1 ≥ 0 и х2 ≥ 0 , то сумма x2 + x1 ≥ 0.
Сл-но, произведение тоже ≥ 0.
Таким образом, доказали, что у = х2 возрастает на [0; +∞).


  • Имя файла: funktsii.pptx
  • Количество просмотров: 68
  • Количество скачиваний: 0