Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Содержание

Функция n переменныхПеременная u называется функцией n переменных (аргументов) x,y,z,…,t, если каждой системе значений x,y,z,…,t, из области их изменений (области определения), соответствует определенное значение u.Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функция n переменныхПеременная u называется функцией n переменных (аргументов) x,y,z,…,t, если каждой Функция двух переменныхФункцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений Частные производные первого порядкаЧастной производной от функции z =f(x,y) по независимой переменной Полный дифференциалПолный дифференциал функции z =f(x,y) вычисляется по формуле Полный дифференциал функции Частные производные высших порядковЧастными производными второго порядка от функции z =f(x,y) называются Дифференциалы высших порядковДифференциалом второго порядка от функции z=f(x,y) называется дифференциал от ее Дифференцирование сложных функцийПусть z=f(x,y), где х=φ(t), у=ψ(t) и функции f(x,y), φ(t), ψ(t) Дифференцирование неявных функцийПроизводные неявной функции двух переменных z=f(x,y), заданной с помощью уравнения Экстремум функции Функции z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0;y0) если значение Пусть M0(x0;y0) - стационарная точка функции z=f(x,y). ОбозначимИ составим дискриминант Δ=AC-B2. Тогда:Если Неопределённый интеграл Первообразная функцияФункция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b), если Неопределённый интегралМножество всех первообразных функции F(x)+С для f(x) называется неопределённым интегралом от Свойства неопределённого интеграла1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная 3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:4. Неопределенный интеграл от алгебраической Таблица неопределённых интегралов Основные методы интегрированияМетод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»): Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой)Метод интегрирования подстановкой заключается во введении Интегрирование по частямФормула интегрирования по частямФормула дает возможность свести вычисление интеграла Интегрирование рациональных дробейРациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) Найдем интегралы от простейших дробей Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой части равенства легко находится Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дробиПеред интегрированием рациональной дроби 3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:4) Вычислить неопределенные коэффициенты А1, Интегрирование простейших иррациональных функцийИнтегралы видагде R – рациональная функция; m1,n1,m2,n2,…- целые числа.С 3. Интеграл вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного 4.Интегралы видаС помощью подстановки х-α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному п.25. Интеграл 6. Интегралы от дифференциальных биномов где m, n, p – рациональные числа.Как Интегрирование тригонометрических функцийИнтегралы видагде R – рациональная функция.Под знаком интеграла находится рациональная Определенный интеграл Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральных сумм Если f(x)>0 на отрезке [a;b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь Свойства определенного интеграла Правила вычисления определенных интеграловФормула Ньютона-Лейбница:где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F(x)‘= 3. Замена переменнойгде х=φ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной φ‘ Несобственные интегралыНесобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами;2) интегралы от неограниченных При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения.1. Если функции Вычисление площади плоской фигурыПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x) [f(x)≥0], прямыми x=a Вычисление длины дуги плоской кривойЕсли кривая у=f(x) на отрезке [a;b] – гладкая Вычисление объема тела1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если Вычисление площади поверхности вращенияЕсли дуга гладкой кривая у=f(x) (a≤х≤b) вращается вокруг оси Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятияДифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные Уравнение первого порядкаФункциональное уравнение F(x,y,y) = 0 или y= f(x,y), связывающее между Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядкаОбщим решением дифференциального уравнения первого порядка называется Уравнение, разрешенное относительно производнойЕсли уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то оно Постановка задачи КошиЗадача отыскания решения дифференциального уравнения Уравнение с разделяющимися переменными  Дифференциальное уравнение  называется уравнением с разделенными Однородные уравнения  Дифференциальное уравнение первого  порядка называется однородным, если его Линейные уравнения 1-го порядка   Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, Уравнение Бернулли  Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид Дифференциальные уравнения  2-го порядка  Уравнение 2-го порядка имеет вид Задача Коши для уравнения 2-го порядка  Если уравнение 2-го порядка разрешить Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка  Если в уравнении Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка Линейные однородные уравнения  Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение Свойства решений линейного однородного уравнения  Теорема 1. Если у(х) является решением Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если Линейно зависимые и линейно независимые функции  Две  функции Если таких чисел подобрать нельзя, то функции Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка  Если Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами  Уравнение
Слайды презентации

Слайд 2 Функция n переменных
Переменная u называется функцией n переменных

Функция n переменныхПеременная u называется функцией n переменных (аргументов) x,y,z,…,t, если

(аргументов) x,y,z,…,t, если каждой системе значений x,y,z,…,t, из области

их изменений (области определения), соответствует определенное значение u.
Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения.
Для функции двух переменных z=f(x,y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных u=f(x,y,z) –некоторую совокупность точек пространства.



Слайд 3 Функция двух переменных
Функцией двух переменных называется закон, по

Функция двух переменныхФункцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре

которому каждой паре значений независимых переменных x,y  (аргументов) из области определения соответствует

значение зависимой переменной z (функции).
Данную функцию обозначают следующим образом: z = z(x,y)  либо z= f(x,y) , или же другой стандартной буквой: u=f(x,y) , u = u (x,y)


Слайд 4 Частные производные первого порядка
Частной производной от функции z

Частные производные первого порядкаЧастной производной от функции z =f(x,y) по независимой

=f(x,y) по независимой переменной х называется конечный предел


вычисленный

при постоянной у
Частной производной по у называется конечный предел


вычисленный при постоянной х
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.



Слайд 5 Полный дифференциал
Полный дифференциал функции z =f(x,y) вычисляется по

Полный дифференциалПолный дифференциал функции z =f(x,y) вычисляется по формуле Полный дифференциал

формуле



Полный дифференциал функции трех аргументов u =f(x,y,z) вычисляется

по формуле


Слайд 6 Частные производные высших порядков
Частными производными второго порядка от

Частные производные высших порядковЧастными производными второго порядка от функции z =f(x,y)

функции z =f(x,y) называются частные производные от ее частных

производных первого порядка





Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков


.







Слайд 7 Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом второго порядка от функции z=f(x,y)

Дифференциалы высших порядковДифференциалом второго порядка от функции z=f(x,y) называется дифференциал от

называется дифференциал от ее пологого


Дифференциалы высших порядков вычисляются по

формуле


Имеет место символическая формула




Слайд 8 Дифференцирование сложных функций
Пусть z=f(x,y), где х=φ(t), у=ψ(t) и

Дифференцирование сложных функцийПусть z=f(x,y), где х=φ(t), у=ψ(t) и функции f(x,y), φ(t),

функции f(x,y), φ(t), ψ(t) дифференцируемы. Тогда производная сложной функции

z=f[φ(t),ψ(t)] вычисляется по формуле

Слайд 9 Дифференцирование неявных функций
Производные неявной функции двух переменных z=f(x,y),

Дифференцирование неявных функцийПроизводные неявной функции двух переменных z=f(x,y), заданной с помощью

заданной с помощью уравнения F(x,y,z)=0, могут быть вычислены по

формулам

Слайд 10 Экстремум функции
Функции z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в

Экстремум функции Функции z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0;y0) если

точке M0(x0;y0) если значение функции в этой точке больше

(меньше), чем ее значение в любой другой точке M(x;y) некоторой окрестности точки M0.
Если дифференцируемая функция z=f(x,y) достигает экстремума в точке M0(x0;y0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.


(необходимые условия экстремума).



Слайд 11 Пусть M0(x0;y0) - стационарная точка функции z=f(x,y). Обозначим


И

Пусть M0(x0;y0) - стационарная точка функции z=f(x,y). ОбозначимИ составим дискриминант Δ=AC-B2.

составим дискриминант Δ=AC-B2. Тогда:
Если Δ>0, то функция имеет в

точке М0 экстремум, а именно максимум при А<0 (или С<0) и минимум А>0 (или С>0);
Если Δ<0, то в точке М0 экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);
Если Δ=0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).


Слайд 12 Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл

Слайд 13 Первообразная функция
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)

Первообразная функцияФункция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b),

на интервале X=(a,b), если в каждой точке этого интервала

f(x) является производной для F(x), т.е.

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).


Слайд 14 Неопределённый интеграл
Множество всех первообразных функции F(x)+С для f(x)

Неопределённый интегралМножество всех первообразных функции F(x)+С для f(x) называется неопределённым интегралом

называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом

. Таким образом, по определению

где C - произвольная постоянная;
f(x) - подынтегральная функция;
f(x) dx - подынтегральное выражение;
x - переменная интегрирования;
- знак неопределенного интеграла.

Слайд 15 Свойства неопределённого интеграла
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен

Свойства неопределённого интеграла1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а

подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:


2.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:




Слайд 16 3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:


4.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:4. Неопределенный интеграл от

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывной функций

равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:


5. Если , то и где u=φ(x)- произвольная функция, имеющая непрерывную производную


Слайд 17 Таблица неопределённых интегралов

Таблица неопределённых интегралов

Слайд 18 Основные методы интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл

Основные методы интегрированияМетод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований

путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения

свойств неопределенного интеграла приво­дится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Метод непосредственного интегрирования


Слайд 19 При сведении данного интеграла к табличному часто используются

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):


Слайд 20 Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой)
Метод интегрирования

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой)Метод интегрирования подстановкой заключается во

подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом

заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.
Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку х = φ(t), где φ(t) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда dx=φ'(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой


Слайд 21 Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям


Формула дает возможность

Интегрирование по частямФормула интегрирования по частямФормула дает возможность свести вычисление интеграла

свести вычисление интеграла к вычислению интеграла

, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.


Слайд 22 Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x),

Интегрирование рациональных дробейРациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и

где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется

правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:









где А, В, p, q, a - действительные числа.


Слайд 23 Найдем интегралы от простейших дробей

Найдем интегралы от простейших дробей

Слайд 24 Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой

Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой части равенства легко

части равенства легко находится с помощью подстановки х2+px+q=t, а

второй преобразуем так:



Полагая х+р/2=t, dx=dt и обозначая q-p2/4=a2, получим


Слайд 25 Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дробиПеред интегрированием рациональной

дроби
Перед интегрированием рациональной дроби P(x)/Q(x) надо сделать следующие алгебраические

преобразования и вычисления:
Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде


где М(х)-многочлен, а P1(x)/Q(x) – правильная рациональная дробь;
2) Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:


где р2/4-q<0, т.е. трехчлен х2+рх+q имеет комплексные сопряженные корни;

Слайд 26 3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:





4)

3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:4) Вычислить неопределенные коэффициенты

Вычислить неопределенные коэффициенты А1, А2, …, Аm, …, В1,

В2, …, Вm, …, С1, С2, …, Сm, …, для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Слайд 27 Интегрирование простейших иррациональных функций
Интегралы вида


где R – рациональная

Интегрирование простейших иррациональных функцийИнтегралы видагде R – рациональная функция; m1,n1,m2,n2,…- целые

функция; m1,n1,m2,n2,…- целые числа.
С помощью подстановки ах+b=ts, где s-

наименьшее общее кратное чисел n1,n2,…, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.
2. Интеграл вида


Такие интегралы путем выделения квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам 15 или 16

Слайд 28 3. Интеграл вида


Для нахождения этого интеграла выделим

3. Интеграл вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную

в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня,

и разложим интеграл на сумму интегралов:

Слайд 29 4.Интегралы вида


С помощью подстановки х-α=1/t этот интеграл приводится

4.Интегралы видаС помощью подстановки х-α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному п.25.

к рассмотренному п.2
5. Интеграл вида


где Рn(х) – многочлен

n-й степени. Интеграл такого вида находится с помощью тождества



где Qn-1(x) – многочлен (n-1)-й степени с неопределенными коэффициентами, λ- число.
Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена Qn-1(x) и число λ.


Слайд 30 6. Интегралы от дифференциальных биномов



где m, n,

6. Интегралы от дифференциальных биномов где m, n, p – рациональные

p – рациональные числа.
Как доказал П.Л. Чебышев, интегралы от

дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:
р – целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рационнальной функции с помощью подстановки х=ts, где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n.
(m+1)/n – целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки a+bxn=ts;
(m+1)/n+р – целое число, в этом случае к той же цели ведет подстановка ax-n+b=ts , где s – знаменатель дроби р.



Слайд 31 Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида


где R – рациональная функция.
Под

Интегрирование тригонометрических функцийИнтегралы видагде R – рациональная функция.Под знаком интеграла находится

знаком интеграла находится рациональная функция от синуса и косинуса.

В данном случае применима универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t, которая сводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента t (таблица п.1).
Существуют и другие подстановки, представленные в следующей таблице:

Слайд 34 Определенный интеграл

Определенный интеграл

Слайд 35 Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральных

называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего

частичного отрезка Δхi стремится к нуль.




Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Теорема Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл существует


Слайд 36 Если f(x)>0 на отрезке [a;b], то определенный интеграл

Если f(x)>0 на отрезке [a;b], то определенный интеграл геометрически представляет собой

геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной

линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0

Слайд 37 Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Слайд 39 Правила вычисления определенных интегралов
Формула Ньютона-Лейбница:



где F(x) – первообразная

Правила вычисления определенных интеграловФормула Ньютона-Лейбница:где F(x) – первообразная для f(x), т.е.

для f(x), т.е. F(x)‘= f(x).
2. Интегрирование по частям:



где u=u(x),

v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a;b].

Слайд 40 3. Замена переменной



где х=φ(t) – функция, непрерывная вместе

3. Замена переменнойгде х=φ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной

со своей производной φ‘ (t) на отрезке α≤t≤β, a=

φ(a), b= φ(β), f[φ(t)] – функция непрерывна на [α; β]
4. Если f(x) – нечетная функция, т.е. f(-x)=-f(x), то



Если f(x) –четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то

.






Слайд 41 Несобственные интегралы
Несобственными интегралами называются:
1) интегралы с бесконечными

Несобственные интегралыНесобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами;2) интегралы от

пределами;
2) интегралы от неограниченных функций.
Несобственный интеграл от функции f(x)

в пределах от а до +бесконечности определяется равенством



Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности, - расходящимися



Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a;b] и непрерывна при а≤х<с и c<х≤b, то по определению полагают

.




Слайд 42 При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из

При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения.1. Если

признаков сравнения.
1. Если функции f(x) и φ(x) определены для

всех х≥а и интегрируемы на отрезке [a;А], где А≥а, и если 0≤f(x)≤φ(x) для
всех х≥а, то из сходимости интеграла вытекает
сходимость интеграла , причем
2.1 Если при х→+∞ функция f(x)≤0 является бесконечно малой
порядка р>0 по сравнению с 1/х, то интеграл
сходится при р>1 и расходится при р≤1.
2.2 Если функция f(x)≥0 определена и непрерывна в промежутке а ≤ х1/(b-x) при х→b-0, то интеграл сходится при р<1 и
расходится при р ≥1.
.


Слайд 43 Вычисление площади плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой

Вычисление площади плоской фигурыПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x) [f(x)≥0], прямыми

у=f(x) [f(x)≥0], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b]

оси ОХ вычисляется по формуле



Площадь фигуры, ограниченной кривой у=f1(x) и у=f2(x) [f1(x)≤f2(x)] и прямыми x=a и x=b находится по формуле


Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a;b] оси ОХ вычисляется по формуле


где t1 и t2 определяются из уравнения а=х(t1), b=х(t2) [y(t)≥0 при t1≤t≤t2]
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α<β), находятся по формуле


.




Слайд 44 Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая у=f(x) на

Вычисление длины дуги плоской кривойЕсли кривая у=f(x) на отрезке [a;b] –

отрезке [a;b] – гладкая (т.е. производная у’=f’(x) непрерывна), то

длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле


При параметрическом задании кривой х=х(t), у=у(t) [х(t) и у(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая, монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле


Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, то длина дуги равна


.




Слайд 45 Вычисление объема тела
1. Вычисление объема тела по известным

Вычисление объема тела1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскость, перпендикулярной

оси ОХ, может быть выражена как функция от х, т.е. в виде S=S(х) (a≤x≤b), объем части тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями x=a и x=b, находится по формуле



2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле



Если фигура, ограниченная кривыми у1=f1(x) и у2=f2(x) [0≤f1(x)≤f2(x)] и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тема вращения равен

.




Слайд 46 Вычисление площади поверхности вращения
Если дуга гладкой кривая у=f(x)

Вычисление площади поверхности вращенияЕсли дуга гладкой кривая у=f(x) (a≤х≤b) вращается вокруг

(a≤х≤b) вращается вокруг оси ОХ, то площадь поверхности вращения

вычисляется по формуле



Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t) (t1≤t≤t2), то




.




Слайд 47 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Слайд 48 Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные,

Основные понятияДифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и

их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Если

независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.


Слайд 49 Уравнение первого порядка
Функциональное уравнение F(x,y,y) = 0 или

Уравнение первого порядкаФункциональное уравнение F(x,y,y) = 0 или y= f(x,y), связывающее

y= f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию

y(x) и ее производную y(x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y=(x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y=(x), обращает его в тождество относительно x.


Слайд 50 Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка
Общим решением дифференциального

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядкаОбщим решением дифференциального уравнения первого порядка

уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,C),

которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x,y,C)=0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Слайд 51 Уравнение, разрешенное относительно производной
Если уравнение 1-го порядка разрешить

Уравнение, разрешенное относительно производнойЕсли уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то

относительно производной, то оно может быть представлено в виде

Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.


Слайд 52 Постановка задачи Коши
Задача отыскания решения дифференциального уравнения

Постановка задачи КошиЗадача отыскания решения дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего начальному условию
при ,называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка.
Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через данную точку .


Слайд 53 Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение

Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

называется уравнением с разделенными переменными.
Дифференциальное уравнение 1-го

порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:

Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций , а затем интегрируют.

Слайд 54 Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первого

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого  порядка называется однородным, если его

порядка называется однородным, если его можно привести к виду

y=
или к виду
где и – однородные функции одного порядка .

Слайд 55 Линейные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение

Линейные уравнения 1-го порядка  Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным,

первого порядка называется линейным, если оно содержит у

и у‘ в первой степени, т.е. имеет вид
.
Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

Слайд 56 Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го

Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид

порядка, имеющее вид

,
где и
Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

Слайд 57 Дифференциальные уравнения 2-го порядка
Уравнение 2-го порядка

Дифференциальные уравнения 2-го порядка Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим

имеет вид


Или

Общим решением уравнения второго

порядка называется такая функция , которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Слайд 58 Задача Коши для уравнения 2-го порядка
Если

Задача Коши для уравнения 2-го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить

уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для

такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения ,
удовлетворяющее начальным условиям:
и
Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.



Слайд 59 Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении

Если в уравнении

функция
и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку , то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям
и .

Слайд 60 Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
Простейшее уравнение

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка

2-го порядка

решают двукратным интегрированием.
Уравнение , не содержащее явно у, решают с помощью подстановки
,
Уравнение , не содержащее х, решают заменой
, .


Слайд 61 Линейные однородные уравнения
Линейным однородным дифференциальным уравнением

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

второго порядка называется уравнение


Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами .

Слайд 62 Свойства решений линейного однородного уравнения

Теорема 1.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением

Если у(х) является решением уравнения , то и Су(х),

где С-константа, также является решением этого уравнения.


Слайд 63 Свойства решений линейного однородного уравнения
Теорема 2. Если

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если   и

и

-решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения.
Следствие. Если и -решения уравнения, то функция

-также решение этого уравнения.


Слайд 64 Линейно зависимые и линейно независимые функции
Две

Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции   и

функции и

называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и ,не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.


Слайд 65 Если таких чисел подобрать нельзя, то

Если таких чисел подобрать нельзя, то функции   и

функции и

называются линейно независимыми на указанном промежутке.
Функции и будут линейно
зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Слайд 66 Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если

2-го порядка
Если

и -линейно независимые частные решения ЛОУ 2-го порядка, то их линейная комбинация

где и -произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

  • Имя файла: differentsialnoe-ischislenie-funktsiy-neskolkih-peremennyh.pptx
  • Количество просмотров: 102
  • Количество скачиваний: 0