Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Выпуклость и вогнутость функции

Содержание

Вариант 1Самостоятельная работа x³ y = e y = ln (x² +1)Построить график функцииВариант 2
Выпуклость и вогнутость функцииПрезентация к уроку по учебнику «Алгебра и начала анализа, Вариант 1Самостоятельная работа y = ln (x² +1) Дана функция у = f (x)На интервале (а, b)функция у = f Дана функция у = f (x) Чем отличается поведение линий?Одна из них В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия:  выпуклости Выпуклость и вогнутость функцииГеометрический смысл второй производной Выпуклая   вверх (выпуклая кривая)Кривая называется выпуклой вверх в точке х Выпуклая   вниз (вогнутая кривая)Кривая называется выпуклой вниз в точке х Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая)у 0   a Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая)у 0   a Как найти интервалы выпуклости и вогнутости? м1м2м3α1  α2α3График функции у = f (х) – вогнутая криваяВеличина углов м1м2м3α1  α2α3График функции у = f (х) – вогнутая криваяВ точках α1  График функции у = f (х) – выпуклая криваяtgα = Если вторая производная функции  у = f (х) на данном интервале Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба Правило нахождения интервалов  выпуклости и вогнутости графика функции:Найти:Вторую производнуюТочки, в которых Исследование функции с помощью второй производной Интервалы выпуклости:(-3, 0) График функции у = f (х) – вогнутая кривая   График Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегибаВариант 1у = х³ - Проверка Вариант 1у = х³ - 12х + 4х – любое числоf'(х) Проверка Вариант 2у = ¼ х4 – 3/2 х²х – любое числоf'(х) Спасибо за работу Успехов!
Слайды презентации

Слайд 2 Вариант 1
Самостоятельная работа

Вариант 1Самостоятельная работа     x³ y = e


y = e


y = ln (x² +1)

Построить график функции

Вариант 2


Слайд 3

x³	y = e



y = e

Слайд 4 y = ln (x² +1)

y = ln (x² +1)

Слайд 5 Дана функция у = f (x)
На интервале (а,

Дана функция у = f (x)На интервале (а, b)функция у =

b)
функция у = f (x) непрерывна и
дифференцируема,
причем

f '(x) >0

Постройте эскиз графика
функции у = f (x) интервале (а, b)

а b

у


Слайд 6 Дана функция у = f (x)
Чем отличается

Дана функция у = f (x) Чем отличается поведение линий?Одна из

поведение линий?

Одна из них – отрезок
прямой

Другая проходит над


отрезком

Третья – под отрезком

А четвертая – частично
над отрезком, частично
под ним

а b

у


Слайд 7 В математике для обозначения такого поведения существуют

В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия: выпуклости и 	 		вогнутости				графика функции

специальные понятия:
выпуклости и
вогнутости
графика функции


Слайд 8 Выпуклость и вогнутость функции
Геометрический смысл
второй производной

Выпуклость и вогнутость функцииГеометрический смысл второй производной

Слайд 9 Выпуклая вверх (выпуклая кривая)
Кривая называется выпуклой вверх

Выпуклая  вверх (выпуклая кривая)Кривая называется выпуклой вверх в точке х


в точке х = а,
если в некоторой окрестности

этой точки она расположена
под
своей касательной

у

а х


Слайд 10 Выпуклая вниз (вогнутая кривая)
Кривая называется выпуклой вниз

Выпуклая  вниз (вогнутая кривая)Кривая называется выпуклой вниз в точке х


в точке х = а,
если в некоторой окрестности

этой точки она расположена
над
своей касательной

у

а х


Слайд 11 Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая)
у
0

Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая)у 0  a 					   b  х

a b

х

Слайд 12 Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая)
у
0

Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая)у 0  a 					 b  х

a b х


Слайд 13 Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

Слайд 14 м1
м2
м3
α1
α2
α3
График функции у = f (х)

м1м2м3α1 α2α3График функции у = f (х) – вогнутая криваяВеличина углов

– вогнутая кривая
Величина углов α1, α2, α3…
растет,

увеличиваются

и тангенсы этих углов

В точках М1, М2, М3… проведены касательные

α1 < α2 < α3 < …


Слайд 15 м1
м2
м3
α1
α2
α3
График функции у = f (х)

м1м2м3α1 α2α3График функции у = f (х) – вогнутая криваяВ точках

– вогнутая кривая
В точках М1, М2, М3… проведены касательные
α1

< α2 < α3 < …

тангенсы углов α1, α2, α3… увеличиваются

tgα = f′(х) ,
следовательно, возрастает функция f′(х)

Если функция возрастает, то ее производная положительна

Производная функции f′(х) – это производная производной
(f ′(х))′ = f ′′(х) и f ′′(х) >0

Вывод:
Если график функции – вогнутая кривая, то вторая производная этой функции – положительна.


Слайд 16 α1
График функции у = f (х)

α1 График функции у = f (х) – выпуклая криваяtgα =

– выпуклая кривая
tgα = f′(х) , следовательно, убывает функция

f′(х)

В точках М1, М2, … проведены касательные

производная функции y = f ′(х)
(f ′(х))′ = f ′′(х) - отрицательна, т.е.
f ′′(х) < 0

м1

м2

α1

α2

α1 > α2 > α3 > …

тангенсы углов α1, α2, α3… убывают

Вывод:
Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.


Слайд 17 Если вторая производная функции
у = f

Если вторая производная функции у = f (х) на данном интервале

(х)
на данном интервале положительна, то кривая вогнута


а если отрицательна – выпукла в этом промежутке

Слайд 18 Точки, в которых выпуклость
меняется на вогнутость или

Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба

наоборот,
называются точками перегиба


Слайд 19 Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции:
Найти:
Вторую

Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции:Найти:Вторую производнуюТочки, в которых

производную
Точки, в которых она равна нулю или не существует
Интервалы,

на которые область определения разбивается этими точками
Знаки второй производной в каждом интервале
Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла,
если f '‘(х) > 0 – вогнута.



Слайд 20 Исследование функции с помощью второй

Исследование функции с помощью второй производной Интервалы выпуклости:(-3, 0)

производной

Интервалы выпуклости:
(-3, 0) и (2, 5)
Интервалы вогнутости:
(-∞,

-3), (0, 2) и (5, +∞)

-3 0 2 5 f

х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – точки перегиба

+ - + - + f‘‘


Слайд 21 График функции
у = f (х) –

График функции у = f (х) – вогнутая кривая  График

вогнутая кривая

График функции
у = f

(х) –
выпуклая кривая

«+»

«-»


Слайд 22 Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба
Вариант

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегибаВариант 1у = х³

1

у = х³ - 12х + 4
Вариант 2

у =

¼ х4 – 3/2 х²

Слайд 23 Проверка Вариант 1
у = х³ - 12х + 4
х

Проверка Вариант 1у = х³ - 12х + 4х – любое

– любое число
f'(х) = 3х² - 12
f''(х) = 6х

= 0
х = 0

Интервалы выпуклости:
(-∞, 0)
Интервалы вогнутости:
(0, +∞)

- + f ‘‘

0 f

х = 0 – точка перегиба


Слайд 24 Проверка Вариант 2
у = ¼ х4 – 3/2 х²
х

Проверка Вариант 2у = ¼ х4 – 3/2 х²х – любое

– любое число
f'(х) = х³ - 3х
f''(х) = 3х²

- 3 =
3(х – 1)(х + 1)
х = 1
х = -1

Интервалы выпуклости:
(-1, 1)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -1) и (1, +∞)

+ - + f‘‘
-1 1 f

х = 1 и х = -1 – точки перегиба


  • Имя файла: vypuklost-i-vognutost-funktsii.pptx
  • Количество просмотров: 90
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Реки
Следующая - Массивы