Презентация на тему Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения

множестве целых чисел, вошли в историю математики как диофантовы.
Диофантовы

уравнения названы по имени последнего древнегреческого математика античности Диофанта Александрийского (III в.)

года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая

которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э.
До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением

и необходимым пояснением. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.

Суть метода: сначала первоначальное уравнение путём группировки слагаемых и

вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число.
Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения, затем решается система и выводится ответ.

на множители.

Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:

Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида: 
Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что
Получим две системы:


При решении данных систем получим: 1) 2)
Ответ:

:19х+89у=1989
1. 19х+89у=1989
19х-1900=89-89у

19(х-100)=89(1-у)

2. (19;89) взаимно-простые, то равенство 19(х-100)=89(1-у) возможно в 3 случаях
3.
а) х-100=89 b) х-100=-89 c) х-100=0
1-у=19 1-у=-19 1-у=0

a) х = нет b) х=11 c) х=100
решений у=20 у=1
ОТВЕТ: (11;20), (100;1)

последующим выделением целой части
Решить уравнение в целых числах:

х2-ху+5х-9=0.
х2+5х-9 9
y= = x+5- x , y Є Z.

9 Є Z, если х= ±1, ±3, ±9.
x
3 ) Следовательно:
а) х=-1, у=13 г) х=3, у=5
б) х=1, у=-3, д) х=-9, у=-3
в) х=-3, у=5 е) х=9, у=13

Ответ(-1;13);(1;-3);(-3;5);(3;5);(-9;-3);(9;13).

x

х3+у3-3ху=2
1)Если х, у нечетны => х3-нечетное число

у3-нечетное число
3ху-нечетное число
=> Получаем: нечет+нечет-нечет ≠ чет
2)Если х-четное, у-нечетное => х3-четное число
у3-нечетное число
3ху-четное число
=> Получаем: чет+нечет-чет ≠ чет
(аналогично, если х-нечетное, у-четное)
3)Если х-четное, у-четное, тогда пусть х=2m, y=2n
8m3+8n3-12mn=2
4(2m3+2n3-3mn)=2/:2
2(2m3+2n3-3mn)=1/:2
2m3+2n3-3mn= 0,5
=> невозможно ни при каких целых m и n
ОТВЕТ: решений нет

решений в целых числах: х!+у!=10z+9 (x! = 1 ⋅

2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (x − 1) ⋅ x )
Решение:
Так как правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или x , или y меньше 2, т.е.=1
Пусть х!=1 =>y!=10z+8
Правая часть последнего равенства не делится на 5 => y≤4 , но ни одно из целых чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения.
=>данное уравнение не имеет решений в целых числах.

2(х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7
(х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7/2
РЕШЕНИЕ:
1.Заметим что:
1) х4-2х2+3=х4-2х2+1+2=(х2-1)2+2≥2

2)

2. => Значит левая часть ≥ 7.
3. => уравнение равносильно системе :






Откуда х =±1,у =

ОТВЕТ: уравнение не имеет решений в целых числах.

- 3

-

+

в виде суммы неотрицательных слагаемых
Решить в целых числах уравнение:

Решение:
Представим левую часть уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых.


Составим систему уравнений





Т.к. х и у не принадлежат Z => уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: нет решений

х3-100=225у
РЕШЕНИЕ:
Очевидно, что х3 должен быть кратен 5
Пусть х=

5z, z Є Z, тогда 125z3-100=225y => 5z3-4=9y
Очевидно,что левая часть уравнения должна быть
кратна 9,т.е
a) z=3t b) z=3t+1 c) z=3t-1,x=5z =>
5(3t)3-4=9y 5(3t+1)3-4=9y 5(3t-1)3-4=9y
135t3-4=9y 5(27t3+27t2+9t+1)-4=9 5(27t3-27t2+9t-1)-4=9y
135t3+135t2+45t+1=9y 135t3-135t2+45t-9=9y
с)кратно 9
а) Не кратно 9 б)не кратно 9 => х=15t-5,
y=15t3-15t2+5t-1
ОТВЕТ: (15t-5; 15t3-15t2+5t-1), t Є Z

х-у=q. =>,
Подставим в исходное уравнение:

7р= 28p=3(p2+3q)
Т.к. 28p=3(p2+3q), то p–неотрицательное и p кратно 3, т.е p=3k, k Є Z
Пусть p=3k, тогда получим 28*3k=3((3k)2 +3q2); 28k=3(3k2 +q2).
Отсюда следует, что k кратно 3 => k=3m, m Є Z;
Пусть k=3m, получим 28*3m=3(3(3m)2 + q2;
28m=27m2+q2 ;
m(28-27m)=q2;
так как q2≥0, то m=0, или m=1 (решаем неравенство m(28-27m) ≥0 c
помощью метода интервалов)
7. а) При m=0, k=0 (т.к. k=3m), p=0 (т.к. p=3k), q=0(т.к. 28p=3(p2+3q)),
=> х=0, у=0 (т.к. )
b)При m=1, k=3, p=9, q2=1(т.к. m(28-27m)=q2) =>
1)При q= 1, получаем х=5; у=4; b) при q= -1, получаем х=4; у=5;
ОТВЕТ:(5:4);(4:5);(0:0)