Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Пределы функций

Содержание

Введение
Математический анализСоставитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования Введение Назначение курса Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования. Цели преподавания дисциплины Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому Задачи преподавания На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить приемам Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, Литература Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий Контроль Виды контроля: В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных Аттестации Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения итоговой аттестации и условия Пределы и непрерывность1. Определение предела функции.2. Односторонние пределы.3. Бесконечно малые и бесконечно Лекция 1 Пределы функций Определение функции Если каждому элементу х∈Х поставлен в Обратная функция Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) Определение окрестности Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал α < Определение предельной точкиδ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку а, Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, Определение предела Число А называется пределом функции f(x) в точке а Другое определение предела Говорят, что число А является пределом функции f(x) Утверждение Геометрическая иллюстрацияаАа-δа+δА+εА-εY=f(x)хуо а Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.аАА+εА-εа-δа+δхуУ=f(x)0о а На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.аху0Y=f(x) Односторонние пределы Односторонние пределы Любой интервал (α, а), правым концом которого является точка Односторонние пределы Символически запись Односторонние пределы Односторонние пределы Теорема о существовании предела Функция у = f(х) имеет Бесконечно малые и бесконечно большие Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если Функция f(х) называется бесконечно большой при Лемма. Если f(х)→∞ при х→а, Лекция 2 Свойства бесконечно малых. Теорема 1. Теорема 2. Произведение конечного числа Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x→a функции на функцию, Следствие. Целая положительная степень Если Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x) = A + α(x), Теоремы о пределах Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и Пример Найти Пример Найти Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и Пример Найти Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на Пример Еще один пример. Вычислить Положим . Признаки существования предела «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут? Теорема (о промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности О Первый замечательный предел Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к Первый замечательный предел Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти Второй замечательный предел Второй замечательный предел: Примеры Вычислим = Примеры Найти Сравнение бесконечно малых Две бесконечно малые при х→а Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются Бесконечно малая при х→а функция α(х) называется функцией более высокого Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам. Теорема. Если при бесконечно
Слайды презентации

Слайд 2 Введение


Введение

Слайд 3 Назначение курса
Математический анализ является фундаментальной дисциплиной,

Назначение курса Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования.

составляющей основу математического образования. Курс предназначен для ознакомления студентов

с основными понятиями математического анализа и их применением к решению задач. В курсе излагаются традиционные классические методы математического анализа

Слайд 4 Цели преподавания дисциплины
Развитие интеллекта и способностей

Цели преподавания дисциплины Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому

к логическому и алгоритмическому мышлению;
Обучение основным математическим

методам, необходимым для анализа и моделирования технических и других задач.

Слайд 5 Задачи преподавания
На примерах продемонстрировать студентам

Задачи преподавания На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить

сущность математических методов, научить приемам исследования и решения математически

формализованных простейших задач, привить навыки самостоятельной работы с математической литературой.

Слайд 6 Литература
Основная литература:
Л. Д.

Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т.

Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2.- М.: высшая

школа, 1981
Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1987.
Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2. - М.: Наука, 1984.

Слайд 7 Литература
Дополнительная литература:
Кудрявцев В. А.,

Литература Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс

Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики.-М.: Наука, 1978.

Учебно-методические разработки:
Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001.
Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.

Слайд 8 Контроль
Виды контроля: В процессе обучения студенты

Контроль Виды контроля: В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных

должны выполнить 2 контрольных работы, 3 ИДЗ и сдать

теорию. Кроме того, студенты должны пройти промежуточную аттестацию. Итоговая аттестация предусмотрена в виде экзамена (компьютерное тестирование).

Слайд 9 Аттестации
Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения

Аттестации Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения итоговой аттестации и условия

итоговой аттестации и условия получения на ней положительной оценки.

Для получения положительной оценки на экзамене студент должен выполнить все контрольные работы, выполнить и защитить все ИДЗ, проявлять активность на занятиях и регулярно выполнять все домашние задания.

Слайд 10 Пределы и непрерывность
1. Определение предела функции.
2. Односторонние пределы.
3.

Пределы и непрерывность1. Определение предела функции.2. Односторонние пределы.3. Бесконечно малые и

Бесконечно малые и бесконечно большие.
4. Теоремы о пределах.
5. Некоторые

признаки существования предела.
6. Замечательные пределы.
7. Непрерывность.
8. Свойства непрерывных функций.

Слайд 11 Лекция 1

Лекция 1

Слайд 12 Пределы функций

Пределы функций

Слайд 13 Определение функции
Если каждому

Определение функции Если каждому элементу х∈Х поставлен в соответствие

элементу х∈Х поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) ∈

У ,где Х и Y -данные числовые множества, и при этом каждому элементу у∈ У поставлен в соответствие хотя бы один элемент х∈Х, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

Слайд 14 Обратная функция
Пусть между элементами множеств X

Обратная функция Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x)

и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то

есть ∀x∈X соответствует один и только один его образ y =f(x) ∈ Y и обратно, для ∀ y ∈ Y найдется единственный прообраз x ∈ X такой, что f(x) = y. Тогда функция ,где y ∈ Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).


Слайд 15 Определение окрестности
Окрестностью О (а) точки а называется

Определение окрестности Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал α

любой интервал α < x < β, окружающий эту

точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.
Под окрестностью О(∞) символа бесконечность понимается внешность любого отрезка [α,β], то есть О (∞) = (-∞,α) ∪ (β,+ ∞).


Слайд 16 Определение предельной точки
δ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ),

Определение предельной точкиδ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку

не содержащий точку а, т.е. О (а, δ) =

(а- δ, а)∪(а, а + δ).
Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а.

Слайд 17
Точку а мы будем называть предельной

Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если

точкой множества X,
если в любой δ -окрестности

точки а содержится бесконечно много точек x∈X, то есть О (а)∩X ≠ ∅ для ∀ О(а).


Слайд 18 Определение предела
Число А называется пределом функции

Определение предела Число А называется пределом функции f(x) в точке а

f(x) в точке а (или при x→а), если для

любого ε > 0 существует число δ(ε) > 0 такое, что для любого x ∈ X, удовлетворяющего условию
0 < ⎪x – а⎪ <δ, следует неравенство
⎪f (x) – A⎪< ε.

Слайд 19 Другое определение предела
Говорят, что число А

Другое определение предела Говорят, что число А является пределом функции f(x)

является пределом функции f(x) при x→а, если для ∀

ε > 0 существует δ-окрестность точки а О (а,δ) = {x| 0< |x-a|<δ},где
δ =δ (ε), такая, что для ∀ x ∈ O (а, δ) выполняется неравенство ⎪f(x) – A⎪ < ε.
При этом пишут:


Слайд 20
Утверждение

Утверждение эквивалентно следующему:

эквивалентно следующему:
⎪f(x) – A⎪ < ε при ⎪x ⎪ > ∆, где ∆ = ∆(ε) зависит от ε и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.
Множество всех точек x, для которых
⎪x⎪ > ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа ∞.



Слайд 21 Геометрическая иллюстрация









а
А
а-δ
а+δ
А+ε
А-ε
Y=f(x)
х
у
о

Геометрическая иллюстрацияаАа-δа+δА+εА-εY=f(x)хуо

Слайд 22 а
Приведем еще один рисунок, поясняющий определение

а Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.аАА+εА-εа-δа+δхуУ=f(x)0о

предела.

а
А
А+ε
А-ε
а-δ
а+δ
х
у
У=f(x)
0
о

Слайд 23 а
На этом рисунке изображена функция, которая

а На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.аху0Y=f(x)

в точке а не имеет предела.
а
х
у
0
Y=f(x)

Слайд 24 Односторонние пределы

Односторонние пределы

Слайд 25 Односторонние пределы
Любой интервал (α, а), правым

Односторонние пределы Любой интервал (α, а), правым концом которого является точка

концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки

а.
Аналогично любой интервал
(a, β), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.



Слайд 26 Односторонние пределы
Символически запись

Односторонние пределы Символически запись означает, что х

означает, что х стремится

к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а;
запись
означает, что х стремится к а слева, то есть при х < а.

Слайд 27 Односторонние пределы

Односторонние пределы


будем называть

левосторонним пределом
функции (при слева),

- это

правосторонний предел функции.




Слайд 28 Односторонние пределы
Теорема о существовании предела
Функция

Односторонние пределы Теорема о существовании предела Функция у = f(х) имеет

у = f(х) имеет

в том и только том случае, когда существуют и равны друг другу ее левосторонний и правосторонний пределы при .
Tогда = =
=







Слайд 29 Бесконечно малые и бесконечно большие

Бесконечно малые и бесконечно большие

Слайд 30
Функция α(x) называется бесконечно малой при

Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если

х→а, если



Ясно, что тогда ⎪α(x)⎪ ∠ ε для всех x ∈ O(а, δ) и ∀ ε > 0.
Например, функция является бесконечно малой при x→0.



Слайд 31
Функция f(х) называется бесконечно большой при

Функция f(х) называется бесконечно большой при если

если

.
Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, δ), что для всех
x ∈ O (а, δ) > M.
Например, бесконечно большая при x→0 .





Слайд 32
Лемма.
Если f(х)→∞ при х→а,

Лемма. Если f(х)→∞ при х→а, →0 при

→0 при х→а.

Если α (x) → 0 при x→ a, то → ∞ при x → a и α (x) ≠ 0.



Слайд 33 Лекция 2

Лекция 2

Слайд 34
Свойства бесконечно малых.

Свойства бесконечно малых. Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного

Теорема 1.
Алгебраическая сумма конечного числа

бесконечно малых при x → а функций есть функция бесконечно малая при x → а.

Слайд 35
Теорема 2.

Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при

Произведение конечного числа бесконечно малых при x →

a функций есть бесконечно малая при x → a функция.

Слайд 36
Теорема 3.
Произведение бесконечно малой при

Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x→a функции на функцию,

x→a функции на функцию, ограниченную при
x → a,

есть бесконечно малая при x → a.


Слайд 37
Следствие.

Следствие. Целая положительная степень

Целая положительная степень

бесконечно малой при x → a функции α(x) есть бесконечно малая при x → a.

Слайд 38

Если

Если , то в силу определения предела функцииполучаем: ⎪f(x)-A⎪

, то

в силу
определения предела функции
получаем: ⎪f(x)-A⎪<ε при
x∈ O(а,δ), что означает, что f(x) – A является бесконечно малой при
x→ a.



Слайд 39
Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x)

Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x) = A + α(x),

= A + α(x), где
α(x) →

0 при x → a.
Таким образом, имеем:
<=> f(x) = А+ α(x),
где α(x)→ 0 при x → a.

Слайд 40 Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Слайд 41
Теорема.
Если функция f(х) =

Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности

с постоянна в некоторой окрестности точки а, то



Теорема.
Если f(х) имеет предел при х→а, то этот предел единствен.




Слайд 42
Функция f(х) называется ограниченной на данном

Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует

множестве Х, если существует такое положительное число М, что

|f(х)| ≤ М при всех х ∈Х.
Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной

Слайд 43
Лемма. Если функция f(х) имеет предел

Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то

А при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности

точки х = а.
Теорема. Пусть существует
и пусть М < f(x) < N в
некоторой окрестности точки x = a. Тогда М ≤ А ≤ N.
Положительная функция не может иметь отрицательного предела.


Слайд 44
Теорема 1.
Если в точке а

Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x)

существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой

точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём
.




Слайд 45
Теорема 2.
Если в точке

Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f

а существуют пределы функций f (x) и g (x),

то существует и предел произведения f(x)⋅g(х), причем

Слайд 46
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

за знак предела.

Слайд 47
Теорема 3. Если в точке а существуют пределы

Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и

функций f(х) и g (x) и при этом

, то
существует и предел частного , причем

.
.



Слайд 48 Пример
Найти

Пример Найти

.



По теореме о пределе частного




Слайд 49 Пример
Найти
Преобразуем данную функцию так, чтобы

Пример Найти Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и

выделить в числителе и знаменателе множитель

, на который и разделим далее числитель и знаменатель:




Слайд 50 Пример
Найти
Преобразуем данную функцию, умножив

Пример Найти Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на

числитель и знаменатель на




Слайд 51 Пример
Еще один пример. Вычислить
Положим

Пример Еще один пример. Вычислить Положим .

.



Слайд 52 Признаки существования предела
«Теорема о двух милиционерах»















Признаки существования предела «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут?

куда они меня тащут?








Слайд 53
Теорема (о промежуточной функции).

Теорема (о промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности О

Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция

f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при x → a, то есть
и

Тогда функция f(x) имеет тот же предел:







Слайд 54 Первый замечательный предел
Теорема. Предел отношения синуса

Первый замечательный предел Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к

бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах,

равен единице, то есть

.
Этот предел называют первым замечательным пределом.



Слайд 55 Первый замечательный предел






Это объясняется тем, что

Первый замечательный предел Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти

бесконечно малая дуга почти не успевает изменить свое направление,

т.е. искривиться.

x

x

y


А

В

Слайд 56 Второй замечательный предел
Второй замечательный предел:

Второй замечательный предел Второй замечательный предел:

или или




Слайд 57 Примеры
Вычислим



=



Примеры Вычислим =

Слайд 58 Примеры
Найти

Примеры Найти Полагая

Полагая

, получим:



=






Слайд 59
Сравнение бесконечно малых
Две

Сравнение бесконечно малых Две бесконечно малые при х→а функции

бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х)

называются бесконечно малыми одинакового
порядка, если k, где k ≠0 и конечно.
При этом пишут: α(х) =О(β(х))


Слайд 60
Две бесконечно малые при х→а функции

Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются

α(х) и β(х) называются эквивалентными при х→а, если

.

Это записывают так:α (x) ≈ β(x) при x→a.



Слайд 61
Бесконечно малая при х→а функция α(х)

Бесконечно малая при х→а функция α(х) называется функцией более высокого

называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией

β(х) при х→а, если
.

В этом случае пишут α(х) = о (β(х)) при x→a.

Слайд 62
Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение

Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.

к первому и второму замечательным пределам.



  • Имя файла: predely-funktsiy.pptx
  • Количество просмотров: 181
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая вода
Следующая - Рентгеновское излучение

Похожие презентации

Симметрия в архитектуре Симметрия в архитектуре 85
Презентация по математике на тему Применение сложных процентов в экономических расчетах Презентация по математике на тему Применение сложных процентов в экономических расчетах 168
Программно-аппаратный комплекс Программно-аппаратный комплекс 75
Презентация по математике на тему О контроле веса на языке математики Презентация по математике на тему О контроле веса на языке математики 89
Число и цифра 9 Число и цифра 9 68
Игра Морской бой история города Игра Морской бой история города 95
Написание цифр презентация к уроку по математике (1 класс) Написание цифр презентация к уроку по математике (1 класс) 93
Путешествие на поезде Путешествие на поезде 80
Число и цифра презентация к занятию по математике (средняя группа) Число и цифра презентация к занятию по математике (средняя группа) 82
Урок математики Решение задач план-конспект урока по математике (4 класс) по теме Урок математики Решение задач план-конспект урока по математике (4 класс) по теме 101
Комбинаторные задачи в начальных классах презентация к уроку по математике (2 класс) по теме Комбинаторные задачи в начальных классах презентация к уроку по математике (2 класс) по теме 112
Числа в пословицах, поговорках, загадках Числа в пословицах, поговорках, загадках 94
Презентация к занятию кружка Юные математики Презентация к занятию кружка Юные математики 125
Конспект урока по математике: Решение задач в два действия план-конспект урока по математике (2 класс) по теме Конспект урока по математике: Решение задач в два действия план-конспект урока по математике (2 класс) по теме 80
Урок математики в 1 классе Перестановка слагаемых по программе Школа России методическая разработка по математике (1 класс) Урок математики в 1 классе Перестановка слагаемых по программе Школа России методическая разработка по математике (1 класс) 99
Презентация нахождение неизвестного слагаемого Презентация нахождение неизвестного слагаемого 162
Разработка урока Взаимное расположение прямых в пространстве Разработка урока Взаимное расположение прямых в пространстве 129
Число и цифра 2 Число и цифра 2 110
Числа от 10 до 20 Числа от 10 до 20 153
Веселый счет Веселый счет 103
Графика в координатах Графика в координатах 124
ФилвордЕдиницы измерения времени тренажёр по математике (3 класс) ФилвордЕдиницы измерения времени тренажёр по математике (3 класс) 95
КВН В мире математики КВН В мире математики 83
Решение отдельных видов уравнений n-й степени ( n>2) Решение отдельных видов уравнений n-й степени ( n>2) 81
Презентация к уроку математики по теме Свойство углов треугольника (5 класс) Презентация к уроку математики по теме Свойство углов треугольника (5 класс) 103
Презентация к уроку математики в 1 классе Начальная школа 21 века Что такое умножение презентация к уроку по математике (1 класс) Презентация к уроку математики в 1 классе Начальная школа 21 века Что такое умножение презентация к уроку по математике (1 класс) 105
Открытый урок-деловая игра по математике (4 класс) план-конспект урока по математике (4 класс) Открытый урок-деловая игра по математике (4 класс) план-конспект урока по математике (4 класс) 36
Педагогическое мероприятие по закреплению ФЭМП Арифметический ринг с использованием ИКТ презентация урока для интерактивной доски по математике (подготовительная группа) Педагогическое мероприятие по закреплению ФЭМП Арифметический ринг с использованием ИКТ презентация урока для интерактивной доски по математике (подготовительная группа) 101
Презентация к уроку математики Приметр многоугольника. презентация к уроку по математике (1 класс) по теме Презентация к уроку математики Приметр многоугольника. презентация к уроку по математике (1 класс) по теме 102
Математика в стихах Математика в стихах 97