Что такое findtheslide.com?

FindTheSlide.com - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация, доклад на тему Пределы функций

Презентация на тему Пределы функций, из раздела: Математика. Эта презентация содержит 63 слайда(ов). Информативные слайды и изображения помогут Вам заинтересовать аудиторию. Скачать конспект-презентацию на данную тему можно внизу страницы, поделившись ссылкой с помощью социальных кнопок. Также можно добавить наш сайт презентаций в закладки! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них. Все права принадлежат авторам презентаций.

Математический анализСоставитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования Введение Назначение курса  Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования. Цели преподавания дисциплины  Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому Задачи преподавания  На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить приемам Литература   Основная литература:  Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, Литература  Дополнительная литература:  Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий Контроль  Виды контроля: В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных Аттестации  Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения итоговой аттестации и условия Пределы и непрерывность1. Определение предела функции.2. Односторонние пределы.3. Бесконечно малые и бесконечно Лекция 1 Пределы функций Определение функции     Если каждому элементу х∈Х поставлен в Обратная функция  Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) Определение окрестности Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал α < Определение предельной точкиδ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку а, Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, Определение предела  Число А называется пределом функции f(x) в точке а Другое определение предела  Говорят, что число А является пределом функции f(x) Утверждение Геометрическая иллюстрацияаАа-δа+δА+εА-εY=f(x)хуо а  Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.аАА+εА-εа-δа+δхуУ=f(x)0о а  На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.аху0Y=f(x) Односторонние пределы Односторонние пределы  Любой интервал (α, а), правым концом которого является точка Односторонние пределы  Символически запись Односторонние пределы Односторонние пределы  Теорема о существовании предела 	Функция у = f(х) имеет Бесконечно малые и бесконечно большие Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если Функция f(х) называется бесконечно большой при Лемма. 	Если f(х)→∞ при х→а, Лекция 2 Свойства бесконечно малых.    Теорема 1. Теорема 2.    Произведение конечного 	числа Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x→a функции на функцию, Следствие.  Целая положительная степень Если Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x) = A + α(x), Теоремы о пределах Теорема.  Если функция f(х) = с постоянна в Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) Теорема 2.  Если в точке а существуют пределы функций Следствие.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и Пример  Найти Пример Найти  Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и Пример  Найти  Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на Пример  Еще один пример. Вычислить  Положим      . Признаки существования предела  «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут? Теорема (о промежуточной функции).  Пусть в некоторой окрестности О Первый замечательный предел  Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к Первый замечательный предел  Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти Второй замечательный предел Второй замечательный предел: Примеры   Вычислим = Примеры  Найти Сравнение бесконечно малых  Две бесконечно малые при х→а Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются Бесконечно малая при х→а функция α(х) называется функцией более высокого Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам. Теорема. Если при       бесконечно

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Математический анализСоставитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования
Текст слайда:

Математический анализ

Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования



Слайд 2
Введение
Текст слайда:

Введение




Слайд 3
Текст слайда:

Назначение курса

Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования. Курс предназначен для ознакомления студентов с основными понятиями математического анализа и их применением к решению задач. В курсе излагаются традиционные классические методы математического анализа


Слайд 4
Текст слайда:

Цели преподавания дисциплины

Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению;
Обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования технических и других задач.


Слайд 5
Текст слайда:

Задачи преподавания

На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить приемам исследования и решения математически формализованных простейших задач, привить навыки самостоятельной работы с математической литературой.


Слайд 6
Текст слайда:

Литература

Основная литература:
Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2.- М.: высшая школа, 1981
Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1987.
Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2. - М.: Наука, 1984.


Слайд 7
Текст слайда:

Литература

Дополнительная литература:
Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики.-М.: Наука, 1978.
Учебно-методические разработки:
Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001.
Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.


Слайд 8
Текст слайда:

Контроль

Виды контроля: В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных работы, 3 ИДЗ и сдать теорию. Кроме того, студенты должны пройти промежуточную аттестацию. Итоговая аттестация предусмотрена в виде экзамена (компьютерное тестирование).


Слайд 9
Текст слайда:

Аттестации

Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения итоговой аттестации и условия получения на ней положительной оценки.
Для получения положительной оценки на экзамене студент должен выполнить все контрольные работы, выполнить и защитить все ИДЗ, проявлять активность на занятиях и регулярно выполнять все домашние задания.


Слайд 10
Текст слайда:

Пределы и непрерывность

1. Определение предела функции.
2. Односторонние пределы.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие.
4. Теоремы о пределах.
5. Некоторые признаки существования предела.
6. Замечательные пределы.
7. Непрерывность.
8. Свойства непрерывных функций.


Слайд 11
Лекция 1
Текст слайда:

Лекция 1



Слайд 12
Пределы функций
Текст слайда:

Пределы функций



Слайд 13
Текст слайда:

Определение функции

Если каждому элементу х∈Х поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) ∈ У ,где Х и Y -данные числовые множества, и при этом каждому элементу у∈ У поставлен в соответствие хотя бы один элемент х∈Х, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.


Слайд 14
Текст слайда:

Обратная функция

Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то есть ∀x∈X соответствует один и только один его образ y =f(x) ∈ Y и обратно, для ∀ y ∈ Y найдется единственный прообраз x ∈ X такой, что f(x) = y. Тогда функция ,где y ∈ Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).



Слайд 15
Текст слайда:

Определение окрестности

Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал α < x < β, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.
Под окрестностью О(∞) символа бесконечность понимается внешность любого отрезка [α,β], то есть О (∞) = (-∞,α) ∪ (β,+ ∞).



Слайд 16
Текст слайда:

Определение предельной точки

δ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку а, т.е. О (а, δ) = (а- δ, а)∪(а, а + δ).
Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а.


Слайд 17
Текст слайда:


Точку а мы будем называть предельной точкой множества X,
если в любой δ -окрестности точки а содержится бесконечно много точек x∈X, то есть О (а)∩X ≠ ∅ для ∀ О(а).



Слайд 18
Текст слайда:

Определение предела

Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при x→а), если для любого ε > 0 существует число δ(ε) > 0 такое, что для любого x ∈ X, удовлетворяющего условию
0 < ⎪x – а⎪ <δ, следует неравенство
⎪f (x) – A⎪< ε.


Слайд 19
Текст слайда:

Другое определение предела

Говорят, что число А является пределом функции f(x) при x→а, если для ∀ ε > 0 существует δ-окрестность точки а О (а,δ) = {x| 0< |x-a|<δ},где
δ =δ (ε), такая, что для ∀ x ∈ O (а, δ) выполняется неравенство ⎪f(x) – A⎪ < ε.
При этом пишут:



Слайд 20
Текст слайда:


Утверждение эквивалентно следующему:
⎪f(x) – A⎪ < ε при ⎪x ⎪ > ∆, где ∆ = ∆(ε) зависит от ε и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.
Множество всех точек x, для которых
⎪x⎪ > ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа ∞.




Слайд 21
Геометрическая иллюстрацияаАа-δа+δА+εА-εY=f(x)хуо
Текст слайда:

Геометрическая иллюстрация










а

А

а-δ

а+δ

А+ε

А-ε

Y=f(x)

х

у

о


Слайд 22
а  Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.аАА+εА-εа-δа+δхуУ=f(x)0о
Текст слайда:

а

Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.


а

А

А+ε

А-ε

а-δ

а+δ

х

у

У=f(x)

0

о


Слайд 23
а  На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.аху0Y=f(x)
Текст слайда:

а

На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.

а

х

у

0

Y=f(x)


Слайд 24
Односторонние пределы
Текст слайда:

Односторонние пределы



Слайд 25
Текст слайда:

Односторонние пределы

Любой интервал (α, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.
Аналогично любой интервал
(a, β), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.




Слайд 26
Текст слайда:

Односторонние пределы

Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а;
запись
означает, что х стремится к а слева, то есть при х < а.


Слайд 27
Текст слайда:

Односторонние пределы



будем называть

левосторонним пределом
функции (при слева),

- это

правосторонний предел функции.





Слайд 28
Текст слайда:

Односторонние пределы

Теорема о существовании предела
Функция у = f(х) имеет
в том и только том случае, когда существуют и равны друг другу ее левосторонний и правосторонний пределы при .
Tогда = =
=








Слайд 29
Бесконечно малые и бесконечно большие
Текст слайда:

Бесконечно малые и бесконечно большие



Слайд 30
Текст слайда:


Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если

Ясно, что тогда ⎪α(x)⎪ ∠ ε для всех x ∈ O(а, δ) и ∀ ε > 0.
Например, функция является бесконечно малой при x→0.




Слайд 31
Текст слайда:


Функция f(х) называется бесконечно большой при если .
Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, δ), что для всех
x ∈ O (а, δ) > M.
Например, бесконечно большая при x→0 .






Слайд 32
Текст слайда:


Лемма.
Если f(х)→∞ при х→а,
→0 при х→а.

Если α (x) → 0 при x→ a, то → ∞ при x → a и α (x) ≠ 0.




Слайд 33
Лекция 2
Текст слайда:

Лекция 2



Слайд 34
Текст слайда:


Свойства бесконечно малых.
Теорема 1.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x → а функций есть функция бесконечно малая при x → а.


Слайд 35
Текст слайда:


Теорема 2.
Произведение конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая при x → a функция.


Слайд 36
Текст слайда:


Теорема 3.
Произведение бесконечно малой при x→a функции на функцию, ограниченную при
x → a, есть бесконечно малая при x → a.



Слайд 37
Текст слайда:


Следствие.
Целая положительная степень бесконечно малой при x → a функции α(x) есть бесконечно малая при x → a.


Слайд 38
Текст слайда:



Если , то в силу
определения предела функции
получаем: ⎪f(x)-A⎪<ε при
x∈ O(а,δ), что означает, что f(x) – A является бесконечно малой при
x→ a.




Слайд 39
Текст слайда:


Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x) = A + α(x), где
α(x) → 0 при x → a.
Таким образом, имеем:
<=> f(x) = А+ α(x),
где α(x)→ 0 при x → a.


Слайд 40
Теоремы о пределах
Текст слайда:

Теоремы о пределах



Слайд 41
Текст слайда:


Теорема.
Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то

Теорема.
Если f(х) имеет предел при х→а, то этот предел единствен.





Слайд 42
Текст слайда:


Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)| ≤ М при всех х ∈Х.
Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной


Слайд 43
Текст слайда:


Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности точки х = а.
Теорема. Пусть существует
и пусть М < f(x) < N в
некоторой окрестности точки x = a. Тогда М ≤ А ≤ N.
Положительная функция не может иметь отрицательного предела.



Слайд 44
Текст слайда:


Теорема 1.
Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём
.





Слайд 45
Текст слайда:


Теорема 2.
Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)⋅g(х), причем


Слайд 46
Следствие.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Текст слайда:


Следствие.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.


Слайд 47
Текст слайда:


Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом , то
существует и предел частного , причем

.
.




Слайд 48
Текст слайда:

Пример

Найти .



По теореме о пределе частного





Слайд 49
Текст слайда:

Пример

Найти
Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и знаменателе множитель , на который и разделим далее числитель и знаменатель:





Слайд 50
Пример  Найти  Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на
Текст слайда:

Пример

Найти
Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на






Слайд 51
Пример  Еще один пример. Вычислить  Положим      .
Текст слайда:

Пример

Еще один пример. Вычислить
Положим .





Слайд 52
Признаки существования предела  «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут?
Текст слайда:

Признаки существования предела

«Теорема о двух милиционерах»
















куда они меня тащут?










Слайд 53
Текст слайда:


Теорема (о промежуточной функции).
Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при x → a, то есть
и

Тогда функция f(x) имеет тот же предел:








Слайд 54
Текст слайда:

Первый замечательный предел

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть

.
Этот предел называют первым замечательным пределом.




Слайд 55
Текст слайда:

Первый замечательный предел







Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти не успевает изменить свое направление, т.е. искривиться.

x

x

y


А

В


Слайд 56
Текст слайда:

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел:

или или





Слайд 57
Примеры   Вычислим =
Текст слайда:

Примеры

Вычислим



=





Слайд 58
Текст слайда:

Примеры

Найти Полагая , получим:



=







Слайд 59
Текст слайда:


Сравнение бесконечно малых
Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются бесконечно малыми одинакового
порядка, если k, где k ≠0 и конечно.
При этом пишут: α(х) =О(β(х))



Слайд 60
Текст слайда:


Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются эквивалентными при х→а, если
.

Это записывают так:α (x) ≈ β(x) при x→a.




Слайд 61
Текст слайда:


Бесконечно малая при х→а функция α(х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией β(х) при х→а, если
.

В этом случае пишут α(х) = о (β(х)) при x→a.


Слайд 62
Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.
Текст слайда:


Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.





Слайд 63
Текст слайда:


Теорема. Если при бесконечно малые , то


Пример.