Презентация на тему Подготовка к ЕГЭ по математике 2013. Решение задач типа С2 координатно-векторным методом

уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости

(то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

линейного угла.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять

на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

угла.
Пусть плоскости и заданы

уравнениями:



Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:




В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка М так, что AM=8 . На ребре взята точка K так, что . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

в систему уравнений:
Отсюда:
С= -1/13, В= -1/12, А= -5/(12х13).
Подставим найденные

коэффициенты в уравнение плоскости:

между плоскостями, и найдем угол:

между плоскостями АD1 Е и D1FC, где точки Е

и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение.
Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D1(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).
Решая систему


составляем уравнение плоскости (АD1E): x+2y-z=0.
2) плоскость CFD1:


отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.
, ,


откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре

АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=2:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

Решение. Введем прямоугольную систему координат. Тогда В(1;0;0), Е(0;0;2), D1 (0;1;5). Решаем систему

Составляем уравнение плоскости (ВЕD1):
-х+1,5у-0,5z+1=0, вектор нормали плоскости
(ВЕD1)

Вектор нормали плоскости (ABC)

Найдем искомый угол как угол между нормалями плоскостей

Ответ:

М-середина ребра АВ, точка К – середина ребра DD1.

Найти угол между плоскостями АКВ1 и КМС.

РЕШЕНИЕ. Введем прямоугольную систему координат,
поместив начало координат в точку А. Составим уравнение плоскости АКВ1. Точка А (0;0;0) принадлежит этой плоскости, то d=0.
Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и В1 (1;0;1)
в уравнение плоскости, получим b+c/2=0, a+c=0.
Таким образом имеем 2х+у - 2z=0.
Составим уравнение плоскости КМС.
Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и М (0,5;0;0),
С(1;1;0) в уравнение плоскости, получим систему:

Уравнение плоскости (КМС) принимает вид

и угол между плоскостями АВК1 и КМС находим из

2х – у +4z=1. Итак,

параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AB = 8 , AD

= 6 , CC1 =6 . Найдите угол меду плоскостями CD1 B1 и AD1B1 .
Задача (С2 ЕГЭ 2010). Все ребра пирамиды SABCD с вершиной S равны между собой. Найдите угол между плоскостями SBM и SCD , где точка M - середина ребра CD . Ответ:

Задача. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.
Ответ: 600.
Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между плоскостями ACB1 и BA1C1.
Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна , а боковое ребро равно 10. Найти угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.