Презентация на тему Основные теоремы о дифференцируемых функциях, правило Лопиталя. (Лекция 11)

f(x) определена на отрезке [a,b], и в некоторой внутренней

точке этого отрезка принимает свое наибольшее или наименьшее значение, тогда, если производная в этой точке f ′(x0) существует, то она непременно = 0.

функция принимает свое наибольшее значение, то есть: ∀ x

∈ [a,b] ( f (x0) ≥ f (x)), иными словами:
f (x) - f (x0) ≤ 0. Пусть производная f ′(x) в точке x0

f ′(x0) = существует.

Требуется показать (!) f ′(x0) = 0.

Поскольку в точке x0 существует,

то стало быть существуют левый и правый преде-лы в этой точке и они равны по третьему крите-рию существования предела в точке, а именно:

слева от x0, тогда x - x0 < 0

и поэтому:


Пусть x ∈ (x0,b), то есть находится справа от x0, тогда x - x0 > 0 и поэтому:

предел:

С другой стороны, переходя к пределу в (2) и

рассматривая правый предел, получаем:


Из (*) заключаем, f ′(x0) ≥ 0 & f ′(x0) ≤ 0 ⇒ f ′(x0)=0.
Что и требовалось доказать.

Определение. Точка кривой называется внутренней точкой, если она не совпадает ни с одним из концов этой прямой.

или наименее удалена от оси ОХ, то касательная в

этой точке, если она существует, параллельна оси ОХ, то есть, горизонтальна.

существовать.

Если x0 не является внутренней точкой, то производная в

ней не обязана быть равной нулю.

Пример

y = x2 на [1,2]

y′ = 2x наибольшее значение в точке 2, наименьшее в точке 1.
y′(1) = 2 ≠ 0.
y′(2) = 4 ≠ 0.

функции y = f(x). Точка x0 называется критической точкой

этой функции, если производная f ′(x0)=0, либо вовсе не существует. Те критические точки в которых производная = 0 называются стационарными.

x2, x3, x4 – стационарные точки

y = f(x) на [a,b]. Может случиться, что наибольшее

или наименьшее значение принимается на концах этого отрезка.

принимается внутри отрезка [a,b] в точке x0.

x0 – критическая точка;
b) f ′(x0) существует ⇒ (по

теореме Ферма)
f ′(x0) = 0 ⇒ x0 – критическая стационарная точка.
Таким образом, внутренние точки, в которых достигается наибольшее или наименьшее значение нужно искать в критических точках.
Постановка задачи:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на [a,b].
Исходя из предыдущих рассуждений, получаем алгоритм.

(b) – значения функции на концах отрезка.
2) Находим все

критические точки данной функции на данном отрезке. Пусть это x1, x2, …, xn (в частности, их может и не быть).
3) Вычисляем f (x1), f (x2), …, f (xn).
4) Рассматриваем все полученные значения
f (a), f (b), f (x1), f (x2), …, f (xn) и выбираем из них наибольшее и наименьшее. Это и есть искомые значения.

ее точке существует касательная.

на отрезке [a,b], и удовлетворяет трем условиям:

1) f(x) непрерывна

на отрезке [a,b].
2) f(x) дифференцируема на (a,b).
3) f(a) = f(b).

Тогда внутри отрезка [a,b] найдется хотя бы одна точка x0, в которой f ′(x0) = 0.

= f(x) имеют одинаковые ординаты, то на этой кривой

найдется хотя бы одна точка, касательная в которой горизонтальна.

т.е.
∀ x ∈ [a,b] ( f(x) = f(a) =

f(b) = μ).
В этом случае роль точки x0 может играть любая точка данного отрезка. Тогда f ′(x0) = 0 как производная константы.

В этом случае внутри [a,b] эта функция принимает значения,

отличные от f(a) = f(b) = μ.
Для определенности будем считать, что в некоторых внутренних точках функция принимает положительные значения (если отрицательные, то рассуждения аналогичны). Но тогда свое наибольшее значение функция принимает в некоторой внутренней точке x0 больше μ.
По условия f ′(x0) существует. Тогда по теореме Ферма f ′(x0) = 0.
Что и требовалось доказать.

на отрезке [a,b], и удовлетворяет двум условиям:

1) f(x) непрерывна

на отрезке [a,b].
2) f(x) дифференцируема на (a,b).

Тогда внутри отрезка [a,b] найдется хотя бы одна точка x0, в которой:
f(b) – f(a) = f ′(x0)(b – a).

= f(x) соединить хордой, то на этой кривой найдется

хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна этой хорде.

рисунке.
То, что касательная и хорда параллельны, означает равенство угловых

коэффициентов.

= f ′(x0).

k2 = tgϕ = BD/AD =

.

Так как k1 = k2, следовательно:

= f ′(x0).

Или
f(b) – f(a) = f ′(x0)(b – a).

f(a) –

(x – a).

Эта функция определена на отрезке [a,b], и удовлетворяет трем условиям теоремы Ролля:
1) ϕ(x) непрерывна на отрезке [a,b] как сумма напрерывных на этом отрезке функций.
2) ϕ(x) дифференцируема на (a,b). Действитель-но, ее производная существует и равна:

ϕ′(x) = f ′(x) – .

= f(a) – f(a) –

(a – a) = 0.

ϕ(b) = f(b) – f(a) – (b – a) = 0.

Тогда по теореме Ролля найдется такая точка
∃ x0 ∈ (a,b), в которой ϕ′(x0) = 0, то есть:

ϕ′(x) = f ′(x) – = 0.
Или
f (b) – f (a) = f ′(x0)(b – a).
Что и требовалось доказать.