Что такое findtheslide.com?

FindTheSlide.com - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация, доклад на тему Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики

Презентация на тему Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики, из раздела: Математика. Эта презентация содержит 27 слайда(ов). Информативные слайды и изображения помогут Вам заинтересовать аудиторию. Скачать конспект-презентацию на данную тему можно внизу страницы, поделившись ссылкой с помощью социальных кнопок. Также можно добавить наш сайт презентаций в закладки! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них. Все права принадлежат авторам презентаций.

§5. Некоторые теоретико-числовые приложения  комбинаторики Определение 1. Натуральное  число Примеры. Числа 2, 3, 5, 7, 11 простые, числа 4, 6, 18, Теорема 2. Простых чисел существует бесконечно много. Доказательство. Допустим, существует лишь конечное так как при делении на любое из этих чисел Р дает в Теорема3. (основная теорема арифметики). Для любого натурального числа а ≠ 1 имеет Пример.   10 = 2 ∙ 5 = 21 ∙ 30 Определение 4. Пусть а,b N. Число с называется общим делителем а и Теорема 5. Пусть и Число b является делителем а в том и только в Следствие 6.Пусть для натурального числа а имеет место равенство Тогда  число Теорема 7. Пусть и Тогда число является общим делителем чисел а и Определение 8. Число  c  называется наибольшим  общим делителем чисел Теорема 9. Пусть а и b натуральные числа, Тогда НОД (а,b)= где Следствие 10. Любой общий делитель чисел а и b является также делителем Пример. Пусть b =3. Тогда кратным ему будут числа 3,6, 9, 12, Определение 12. Если число а делится на число b и с, то Теорема 13. Пусть,Тогда число является общим кратным чисел b и с тогда Доказательство. Пусть а – общее кратное b и с. Так как Определение 14. Самое маленькое из всех общих кратных натуральных чисел b и Теорема 15. Пусть Число является НОК (b, с) в  том Следствие 16. Любое общее кратное чисел b и с делится на НОК(b, Доказательство. Рассмотрим три случая:1)       х = у, тогда max (x, y) = Теорема 18. Для любых натуральных чисел b и с НОД (b, с) НОД(b,c)*НОК(b,c) =   =  = Определение 19. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД (а, Определение 20. Функцией Эйлера φ (n) называется количество чисел меньших, либо равных Теорема 21. Пусть n = Примеры. 1)      n=56=2371,      (56) = 56(1-

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

§5. Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики

Определение 1.
Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два разных делителя: 1 и само себя.
Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух различных делителей.


Слайд 2
Текст слайда:

Примеры. Числа 2, 3, 5, 7, 11 простые, числа 4, 6, 18, 100 составные. Отметим, что число 1 не является ни простым, ни составным.
Существует стандартная система обозначений простых чисел: Р1 – первое по величине простое число (ясно, что Р1 = 2),
Р2 – следующее простое число,
(Р2 = 3), (Р3 = 5), (Р4 = 7), (Р5 = 11), (Р6 = 13), (Р7 = 17), (Р8 = 19) и т.д.
Вообще Рn – n-ое простое число.
К сожалению, не существует аналитической формулы f (n), которая позволила бы вычислять любое простое число Pn.


Слайд 3
Текст слайда:

Теорема 2. Простых чисел существует бесконечно много.
Доказательство. Допустим, существует лишь конечное число простых чисел. Перечислим их:
P1, Р2, …, РN.
Значит, любое другое натуральное число содержит в качестве делителя по крайней мере одно из
Рi (i = 1, 2, …, N).
Рассмотрим число
Р = Р1 Р2 … РN + 1.
Очевидно, что это число не делится ни на одно из чисел


Слайд 4
Текст слайда:

так как при делении на любое из этих чисел Р дает в остатке 1.
Значит, допущение о конечности множества простых чисел неверно. Простых чисел существует бесконечно много.
Замечание. По дошедшим до нас историческим источникам это доказательство принадлежит Евклиду и является первым примером в математике доказательства «методом от противного».
Простые числа являются «кирпичиками» из которых строятся все остальные натуральные и целые числа, отличные от 0, -1, 1.


Слайд 5
Текст слайда:

Теорема3. (основная теорема арифметики). Для любого натурального числа а ≠ 1 имеет место равенство
а =
для некоторых неотрицательных целых
α1, α2, …, αк и натурального k.
Правая часть равенства называется разложением числа а в произведение простых чисел. Такое разложение при фиксированной нумерации множества простых чисел единственно.



Слайд 6
Текст слайда:

Пример.
10 = 2 ∙ 5 = 21 ∙ 30 ∙ 51 , 81 = 34 = 20 ∙ 34 ,
200 = 2 ∙ 100 = 8 ∙ 25 = 23 ∙ 52 = 23 ∙ 30 ∙ 52.


Слайд 7
Текст слайда:

Определение 4. Пусть а,b N. Число с называется общим делителем а и b , если оба они делятся на с без остатка.
Примеры. Пусть а = 24, b = 36.
Тогда общими делителями a и b будут числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Число 8 не будет общим делителем чисел 24 и 36.
Пусть а = 10, b = 30.
Общие делители – 1, 2, 5.
Пусть а = 16, b = 35.
Общий делитель, равный 1, единственный.


Слайд 8
Текст слайда:

Теорема 5. Пусть 

и 

Число b является делителем а в том и только в том случае, когда βi ≤ αi для любого i = 1,…, n.




Слайд 9
Текст слайда:

Следствие 6.
Пусть для натурального числа а имеет место равенство

Тогда число делителей а вычисляется по формуле (α1 + 1) ∙ (α2 + 1) ∙ … ∙ (αn + 1).


Слайд 10
Текст слайда:

Теорема 7. Пусть

и

Тогда число

является общим делителем чисел а и b в том и только в том случае, когда
γ1 ≤ min (α1, β1), γ2 ≤ min (α2, β2), …, γn ≤ min (αn, βn).


Слайд 11
Текст слайда:

Определение 8.
Число c называется наибольшим общим делителем чисел а и b
(обозначение: с = НОД (а, b)),
если с является самым большим из всех общих делителей чисел а и b.
Примеры. Пусть а = 24, b = 30.
Тогда НОД (24, 30) = 6.
Если а = 10, b = 33, то НОД (10, 33) = 1;
НОД (а, а) = а.
Пусть а = 12, b = 48.
Тогда НОД (12, 48) = 12.


Слайд 12
Текст слайда:

Теорема 9. Пусть а и b натуральные числа,



Тогда НОД (а,b)=


где γi = min (αi,βi), i = 1,2,3, …, n.


Слайд 13
Текст слайда:

Следствие 10.
Любой общий делитель чисел а и b является также делителем НОД (а, b).
Определение 11.
Число а называется кратным числу b (а,b N), если а делится на b или, что тоже самое, b есть делитель а.
Тот факт, что а делится на b, будет обозначать как b .


Слайд 14
Текст слайда:

Пример. Пусть b =3.
Тогда кратным ему будут числа 3,6, 9, 12, … . Их можно описать общей формулой
а = 3n (n N).
Этот пример показывает, что в отличие от делителей, количество кратных любому натуральному числу b бесконечно.


Слайд 15
Текст слайда:

Определение 12.
Если число а делится на число b и с, то а называется общим кратным чисел b и с.
Примеры.
Если b = 6, c = 8, то общее кратное этих чисел равно 24.
Также общими кратными являются числа
48, 72, … .


Слайд 16
Текст слайда:

Теорема 13. Пусть,


Тогда число

является общим кратным чисел b и с тогда и только тогда, когда
α1 ≥ max (β1,γ1), α2 ≥ max (β2,γ2), …, αn ≥ max (βn,γn).


Слайд 17
Текст слайда:

Доказательство.
Пусть а – общее кратное b и с.
Так как а делится на b, то
αi ≥ βi, i = 1, 2, 3, …, n.
Так как а делится на с, то
αi ≥ γi, i = 1, 2, 3, …, n.
Так как αi ≥ βi и αi ≥ γi , то αi ≥ max (βi,γi). Докажем в другую сторону.
Так как αi ≥ max (βi,γi), то αi ≥ βi
для каждого i = 1, 2, 3, …, n,
значит а делится на b.
Аналогично, а делится на с, то есть
а – общее кратное b и с.


Слайд 18
Текст слайда:

Определение 14.
Самое маленькое из всех общих кратных натуральных чисел b и с называется наименьшим общим кратным b и с и обозначается НОК (b, c).
Примеры.
НОК (3, 5) = 15, НОК (4, 6) = 12,
НОК (36, 64) = 576, НОК (2, 8) = 8,
НОК (а, а) = а, НОК (1, а) = а.


Слайд 19
Текст слайда:

Теорема 15. Пусть



Число

является НОК (b, с) в том и только в том случае, когда
αi = max (βi,γi), i = 1, 2, 3, …, n


Слайд 20
Текст слайда:

Следствие 16.
Любое общее кратное чисел b и с делится на НОК(b, с).

Лемма 17. Для любых чисел х, у
max (x, y) + min (x, y) = x + y.



Слайд 21
Текст слайда:

Доказательство. Рассмотрим три случая:
1)       х = у, тогда
max (x, y) = x, min (x, y) = x, поэтому
max (x, y) + min (x, y) = 2 x и х + у = 2х ;
2)       х > у, тогда
max (x, y) = x, min (x, y) = y,
следовательно
max (x, y) + min (x, y) = x + y ;
3)       x < y, тогда
max (x, y) = y, min (x, y) = x,
поэтому max (x, y)+ min (x, y) = y + x = x + y.


Слайд 22
Текст слайда:

Теорема 18.
Для любых натуральных чисел b и с
НОД (b, с) · НОК (b, с) = b · c.
Доказательство. Пусть

и

Тогда




Слайд 23
НОД(b,c)*НОК(b,c) =   =  =
Текст слайда:

НОД(b,c)*НОК(b,c) =

=

=




Слайд 24
Текст слайда:

Определение 19. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД (а, b) = 1. Другими словами, если а и b не имеют общих делителей, отличных от 1.
Примеры.
3, 8 – взаимно просты,
1, 5 взаимно просты,
4, 6 – не взаимно просты.


Слайд 25
Текст слайда:

Определение 20.
Функцией Эйлера φ (n) называется количество чисел меньших, либо равных n, которые взаимно просты с n.
Примеры.
1) φ (12) = 4.
Перечислим все числа ≤ 12 и взаимно простые с 12: 1,5, 7, 11;
2) φ(36) = 12.
Перечислим все необходимые числа: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35;
3) φ(7) = 6.


Слайд 26
Текст слайда:

Теорема 21.
Пусть
n = ,
причем αi > 0 и ki kj (i j),
i ,j= 1, 2, …, n. Тогда


Слайд 27
Текст слайда:

Примеры.
1)      n=56=2371,
(56) = 56(1- )(1- ) = 4 1 6 = 24;

2)      n=16=24 ,
(16) = 16(1- ) = 8;

3) (11) =11(1- ) = 10.