Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Содержание

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу, Теорема Кронекера–Капелли  Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система Две  системы,  множества   решенийкоторых  совпадают, Пример   Исследовать систему линейных уравнений Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц. Метод Гаусса  Для того чтобы решить систему уравнений методом Гаусса Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой Установить совместность и решить систему Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую Прямой ход Обратный ход  Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с Имеем       Далее, подставляя Общее решение системы линейных уравнений   Если ранг матрицы равен Пример  Решить систему уравнений Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее Однородные системы Теорема о совместности     однородной системы При r Пример Составим матрицу системы  и методом элементарных преобразований найдем ее ранг. r=2. Выберем в качестве базисного минор   Тогда укороченная система имеет вид Общее решение системы Фундаментальная система решений  Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2, …, Еn. Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему решений.
Слайды презентации

Слайд 2 Рассмотрим систему m линейных уравнений с

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

n неизвестными:


Слайд 3 Назовем матрицей системы матрицу, составленную из

Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу,

коэффициентов при неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца

свободных членов, называют расширенной матрицей:

Слайд 5 Теорема Кронекера–Капелли
Для того чтобы система линейных

Теорема Кронекера–Капелли Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо

уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

Слайд 6 Если ранг матрицы совместной системы равен

Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система

числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же

ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.

Слайд 7 Две системы, множества решений
которых

Две системы, множества  решенийкоторых совпадают,  называютсяэквивалентными или равносильными.Преобразование, применение

совпадают, называются
эквивалентными или равносильными.

Преобразование, применение

которого
превращает систему в новую
систему, эквивалентную исходной,
называется эквивалентным или
равносильным преобразованием.



Слайд 8 Пример
Исследовать систему линейных уравнений

Пример  Исследовать систему линейных уравнений

Слайд 9 Составим расширенную матрицу системы и с

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.


Слайд 10 Метод Гаусса
Для того чтобы решить

Метод Гаусса  Для того чтобы решить систему уравнений методом Гаусса

систему уравнений методом Гаусса
выписывают расширенную матрицу этой

системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы

будут располагаться нули.

Слайд 11 Разрешается:
1) изменять порядок строк матрицы,

Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка

что соответствует изменению порядка уравнений;
2) умножать

строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа;
3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.


Слайд 12 С помощью этих преобразований каждый раз

С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой

получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е.

такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы


Слайд 13 Установить совместность и решить систему

Установить совместность и решить систему

Слайд 14 Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем

Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую

местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент

равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

Слайд 15 Прямой ход

Прямой ход

Слайд 17 Обратный ход
Ранги матрицы системы и ее

Обратный ход Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с

расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли

система уравнений совместна и решение ее единственно.
Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

Слайд 19 Имеем

Имеем    Далее, подставляя его в третье

Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем



Подставляя и во второе уравнение, получим и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные неизвестные, получим Таким образом, имеем решение системы

Слайд 20 Общее решение системы линейных уравнений
Если

Общее решение системы линейных уравнений  Если ранг матрицы равен

ранг матрицы равен , то любой отличный

от нуля минор порядка этой матрицы называется базисным.

Слайд 21 Пример
Решить систему уравнений

Пример Решить систему уравнений

Слайд 22 Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

ее


Слайд 23 Однородные системы

Однородные системы

Слайд 24 Теорема о совместности

Теорема о совместности   однородной системы

однородной системы

Для

того чтобы однородная система
линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа
неизвестных n.

Слайд 25 При r

При r

является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений, в том

числе и нетривиальное.
Если m=n, т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r

Слайд 26 Пример

Пример

Слайд 27 Составим матрицу системы




и методом элементарных

Составим матрицу системы и методом элементарных преобразований найдем ее ранг.

преобразований найдем ее ранг.



Слайд 29 Выберем в качестве базисного минор


Выберем в качестве базисного минор  Тогда укороченная система имеет вид

Тогда укороченная система имеет вид


Слайд 30 Общее решение системы


Общее решение системы

Слайд 31 Фундаментальная система решений
Назовем фундаментальной системой решений

Фундаментальная система решений Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из

систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что

свободным неизвестным дают последовательно значения

Слайд 32 Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают

Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2, …, Еn.

Е1, Е2, …, Еn. Общее решение будет представлено в

виде

  • Имя файла: metod-gaussa-resheniya-sistem-lineynyh-uravneniy.pptx
  • Количество просмотров: 94
  • Количество скачиваний: 0