Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Математика

Содержание

МАТЕМАТИКА для специальности 030301.65 «Психология»Преподаватель Пивоварова Ирина Викторовна
ВГУЭСКафедра математики и моделирования МАТЕМАТИКА для специальности 030301.65 «Психология»Преподаватель Пивоварова Ирина Викторовна Содержание курсаОпределителиМатрицыСистемы линейных алгебраических уравненийВекторная алгебраПрямая на плоскостиТеория вероятностей. Случайные событияСлучайные величины Тема 1.Определители Определение. Определителем 2-го порядка называется выражениеЧисла Определение. Определителем 3-го порядка называется выражение Определение. Минором элементаопределителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какого-либо ряда Имеют место шесть разложений: Свойства определителейОпределитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими Свойства определителей (продолжение)Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен Свойства определителей (продолжение)Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда определителя Ключевые понятияОпределитель, порядок определителя, минор, алгебраическое дополнение, главная диагональ определителя. Вопросы для самопроверкипо теме «Определители»Определение определителя 2-го, 3-го порядка.Минор, алгебраическое дополнение элемента.Теорема разложения.Свойства определителей. Тема 2.Матрицы Определение. Матрицей размеров mn называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде Определение. Матрица размера mm называется квадратной. Определение. Две матрицы считаются равными, Определение. Суммой матрицназывается матрица Определение. Произведением матрицы Определение. Произведением матрицы Так как в произведении матриц строки и столбцы не равноправны, то Определение. Квадратная матрицаназывается единичной. Если A и E – квадратные матрицы одного размера, то Определение. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: A·В= Определение. Пусть A – квадратная матрица. Матрица называется Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и Свойства операций над матрицами: А+В = В+А А+(В+С) = (А+В)+С (α+β)А = Ключевые понятияМатрицы: квадратная, единичная, нулевая, невырожденная; обратная матрица, определитель матрицы. Вопросы для самопроверкипо теме «Матрицы»Определения: матрицы, квадратной, единичной, нулевой, невырожденной матриц.Действия над Тема 3.Системы линейных алгебраических уравнений Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными: Определение. Если все свободные члены системы равны нулю, система называется однородной. Определение. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, Определение. Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Определение. Расширенной матрицей системы называется матрица системы с добавленным к ней столбцом свободных членов. Теорема (Формулы Крамера). Если определитель матрицы системы n линейных уравнений с Матричный метод решения систем n линейных уравнений с n неизвестными Обозначим:Если Метод Гауссарешения систем m линейных уравнений с n неизвестными Определение. Две системы Элементарные преобразования расширенной матрицы системы, приводящие к эквивалентной системе:1) перестановка двух Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных: с помощью элементарных преобразований Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система m линейных уравнений с n Однородная система линейных уравненийвсегда совместна, т. к. имеет по крайней мере одно Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, Ключевые понятияСистема линейных уравнений, однородная система, неоднородная система; совместная, несовместная, определенная, неопределенная Вопросы для самопроверкипо теме «Системы линейных уравнений»Определения: системы линейных уравнений, однородной и Тема 4.Векторная алгебра Определение. Вектором называется направленный отрезок. Обозначение: (А – начало вектора, В – конец вектора). Определение. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Обозначение: Определение. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Обозначение: Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины. Обозначение: Определение. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и имеют равные длины. Обозначение: Любой вектор в пространстве можно представить в видегде Модуль вектора вычисляется по формулеЕсли даны точки Определение. Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. Сложение векторов по правилу треугольника по правилу параллелограмма вычитание векторов умножение вектора на число Если Свойства линейных операций:1)2)3)4)5)6)7) Скалярное произведение векторов Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов: Свойства скалярного произведения:1)2)3)4) Векторное произведение векторов Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из – правая тройка Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется Теорема (геометрический смысл векторного произведения). Модуль векторного произведения двух векторов равен Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов: Свойства векторного произведения:1)2)3)4) Смешанное произведение векторов Определение. Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов называется произведение вида Обозначение: Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов: Теорема (условие компланарности трех векторов). Для того чтобы три вектора были Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение трех векторов с точностью Ключевые понятияВектор, модуль вектора, коллинеарные векторы, компланарные векторы, координаты вектора; скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Вопросы для самопроверкипо теме «Векторная алгебра»Дайте определения вектора, нулевого вектора, длины вектора, Тема 5.Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору: Общее уравнение прямой: – Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение прямой): Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении: Уравнение прямой с угловым коэффициентом: – Угол между двумя прямыми: – угловые коэффициенты прямых. Условие параллельности двух прямых: Условие перпендикулярности двух прямых:где Расстояние от точки Ключевые понятияПрямая, параллельные прямые, перпендикулярные прямые, нормальный вектор прямой, направляющий вектор прямой, угловой коэффициент прямой. Вопросы для самопроверкипо теме «Прямая на плоскости»Различные виды уравнений прямой на плоскости.Какой Тема 6.Теория вероятностей. Случайные события Элементы комбинаторики Определение. Пусть даны n различных элементов. Перестановками из n элементов называются Определение. Пусть даны n различных элементов. Размещениями из n элементов по Определение. Пусть даны n различных элементов. Сочетаниями из n элементов по Правило произведения. Если первое действие можно выполнить n количеством способов, а Случайные события Определение. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности Определение. Случайным называется событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может Определение. События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного Определение. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно Определение. Каждое событие, которое может наступить в испытании, называется элементарным исходом. Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому Свойства вероятности:1) Вероятность достоверного события равна 1 (m = n).2) Вероятность Определение. Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие Определение. В качестве статистического определения вероятности события принимают относительную частоту события Геометрическое определение вероятности.Пусть на плоскости имеется область G и область g Предполагается, что точка может попасть в любую часть области G, а Определение. Суммой двух событий А и В называется событие С, которое Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: Определение. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными. Обозначение: Определение. Произведением двух событий А и В называется событие С, которое Определение. Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий Определение. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Определение. Условной вероятностью называется вероятность Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного Формула полной вероятности. Вероятность события А, которое может наступить лишь при Формулы Байеса. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом Ключевые понятияПерестановки, размещения, сочетания, испытание; невозможное, достоверное, случайное события; вероятность, условная вероятность, Вопросы для самопроверкипо теме «Случайные события»Определение перестановок, размещений, сочетаний.Достоверное, невозможное, случайное события.Классическое, Тема 7.Случайные величины Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно Определение. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные значения.Число значений Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая может принять любое значение из Дискретные случайные величины Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь Закон распределения дискретной случайной величины можно задать табличным, графическим и аналитическим способами. Определение. Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в верхней строке Графический способ. Определение. Многоугольником распределения называется ломаная, с вершинами в точках Аналитический способ. Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины X называют функцию Свойства функции распределения дискретной случайной величины:1) 2) Числовые характеристики дискретных случайных величин Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех Определение. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения вероятностей одной Свойства математического ожидания ДСВ:1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:2) Постоянный Свойства математического ожидания ДСВ (продолжение):3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения Свойства дисперсии ДСВ:1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:2) Постоянный множитель можно вынести Свойства дисперсии ДСВ (продолжение):3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:Следствие: Теорема. Дисперсия дискретной случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата Определение. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины X называется квадратный корень из ее дисперсии. Обозначение: Ключевые понятияДискретная случайная величина, непрерывная случайная величина, ряд распределения, многоугольник распределения, функция Вопросы для самопроверкипо теме «Случайные величины»Определения случайной величины, дискретной и непрерывной случайной Рекомендуемая литература1. Дубинина Л.Я., Никулина Л.С., Пивоварова И.В. Курс лекций по высшей математике. Использование материалов презентацииИспользование данной презентации может осуществляться только при условии соблюдения требований
Слайды презентации

Слайд 2 МАТЕМАТИКА для специальности 030301.65 «Психология»
Преподаватель Пивоварова Ирина Викторовна

МАТЕМАТИКА для специальности 030301.65 «Психология»Преподаватель Пивоварова Ирина Викторовна

Слайд 3 Содержание курса
Определители
Матрицы
Системы линейных алгебраических уравнений
Векторная алгебра
Прямая на плоскости
Теория

Содержание курсаОпределителиМатрицыСистемы линейных алгебраических уравненийВекторная алгебраПрямая на плоскостиТеория вероятностей. Случайные событияСлучайные величины

вероятностей. Случайные события
Случайные величины

Слайд 4 Тема 1.
Определители

Тема 1.Определители

Слайд 5 Определение. Определителем 2-го порядка называется выражение



Числа

Определение. Определителем 2-го порядка называется выражениеЧисла

– элементы определителя,
элементы называют элементами главной диагонали определителя.

Слайд 6 Определение. Определителем 3-го порядка называется выражение



Определение. Определителем 3-го порядка называется выражение

Слайд 7 Определение. Минором элемента
определителя 3-го порядка называется определитель

Определение. Минором элементаопределителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся

2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и

столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Обозначение:

Слайд 8 Определение. Алгебраическим дополнением элемента

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется его

определителя 3-го порядка называется его минор, взятый со знаком

плюс, если сумма индексов i + j четная, и со знаком минус, если сумма индексов i + j нечетная.

Обозначение:

Слайд 9
Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен

Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какого-либо

сумме произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические

дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Слайд 10
Имеют место шесть разложений:

Имеют место шесть разложений:

Слайд 11 Свойства определителей
Определитель не меняет своего значения при замене

Свойства определителейОпределитель не меняет своего значения при замене всех его строк

всех его строк соответствующими столбцами.
При перестановке двух параллельных рядов

определитель меняет значение на противоположное.
Определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю.

Слайд 12 Свойства определителей (продолжение)
Если все элементы какого-либо ряда равны

Свойства определителей (продолжение)Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель

нулю, то определитель равен нулю.
Общий множитель элементов какого-либо ряда

определителя можно выносить за знак определителя.

Слайд 13 Свойства определителей (продолжение)
Величина определителя не изменится, если к

Свойства определителей (продолжение)Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда

элементам какого-либо ряда определителя прибавить элементы параллельного ряда, умноженные

на одно и то же число.

Слайд 14 Ключевые понятия

Определитель, порядок определителя, минор, алгебраическое дополнение, главная

Ключевые понятияОпределитель, порядок определителя, минор, алгебраическое дополнение, главная диагональ определителя.

диагональ определителя.

Слайд 15 Вопросы для самопроверки
по теме «Определители»
Определение определителя 2-го, 3-го

Вопросы для самопроверкипо теме «Определители»Определение определителя 2-го, 3-го порядка.Минор, алгебраическое дополнение элемента.Теорема разложения.Свойства определителей.

порядка.
Минор, алгебраическое дополнение элемента.
Теорема разложения.
Свойства определителей.

Слайд 16 Тема 2.
Матрицы

Тема 2.Матрицы

Слайд 17 Определение. Матрицей размеров mn называется совокупность m·n

Определение. Матрицей размеров mn называется совокупность m·n чисел, расположенных в

чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и

n столбцов.






Краткое обозначение:

Слайд 18
Определение. Матрица размера mm называется квадратной.

Определение. Матрица размера mm называется квадратной. Определение. Две матрицы считаются

Определение. Две матрицы считаются равными, если равны их размеры

и равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Слайд 19 Определение. Суммой матриц


называется матрица

Определение. Суммой матрицназывается матрица , каждый

, каждый элемент

которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B, то есть

Слайд 20
Определение. Произведением матрицы

Определение. Произведением матрицы на число 

на число 

называется матрица , каждый элемент которой равен

Слайд 21 Определение. Произведением матрицы

Определение. Произведением матрицы на матрицу

на матрицу

называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B:

Слайд 22
Так как в произведении матриц строки и

Так как в произведении матриц строки и столбцы не равноправны,

столбцы не равноправны, то

.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Слайд 23
Определение. Квадратная матрица






называется единичной.

Определение. Квадратная матрицаназывается единичной.

Слайд 24 Если A и E – квадратные матрицы

Если A и E – квадратные матрицы одного размера, то

одного размера, то


Определение. Определитель, составленный из элементов квадратной

матрицы A, называется определителем этой матрицы.

Обозначение: A, detA

Слайд 25 Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: A·В=

этих матриц:
A·В= A·В
Определение. Квадратная матрица называется

невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной) в противном случае.

Слайд 26
Определение. Пусть A – квадратная матрица. Матрица

Определение. Пусть A – квадратная матрица. Матрица называется обратной

называется обратной к матрице A, если

выполняется равенство .

Матрицы A и являются взаимно обратными, то есть

Слайд 27 Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо

имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была

невырожденной.

Формула для вычисления обратной матрицы:

Слайд 28 Свойства операций над матрицами:

А+В = В+А
А+(В+С)

Свойства операций над матрицами: А+В = В+А А+(В+С) = (А+В)+С (α+β)А

= (А+В)+С
(α+β)А = αА+βА, где α и β

– числа α(А+В) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА)
А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС
А+0 = А
АЕ = ЕА = А

Слайд 29 Ключевые понятия

Матрицы: квадратная, единичная, нулевая, невырожденная; обратная матрица,

Ключевые понятияМатрицы: квадратная, единичная, нулевая, невырожденная; обратная матрица, определитель матрицы.

определитель матрицы.

Слайд 30 Вопросы для самопроверки
по теме «Матрицы»
Определения: матрицы, квадратной, единичной,

Вопросы для самопроверкипо теме «Матрицы»Определения: матрицы, квадратной, единичной, нулевой, невырожденной матриц.Действия

нулевой, невырожденной матриц.
Действия над матрицами: сложение, умножение на число,

произведение матриц.
Свойства операций над матрицами.
Определение обратной матрицы, теорема о существовании, нахождение обратной матрицы.

Слайд 31 Тема 3.
Системы линейных алгебраических уравнений

Тема 3.Системы линейных алгебраических уравнений

Слайд 32 Пусть дана система m линейных уравнений с n

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

неизвестными:





– неизвестные,
– коэффициенты при неизвестных,
– свободные члены системы.

Слайд 33 Определение. Если все свободные члены системы равны

Определение. Если все свободные члены системы равны нулю, система называется

нулю, система называется однородной. В противном случае система называется

неоднородной.

Определение. Совокупность значений неизвестных , при подстановке которых уравнения системы обращаются в равенства, называется решением системы.

Слайд 34 Определение. Система называется совместной, если она имеет

Определение. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно

хотя бы одно решение, в противном случае система называется

несовместной.

Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Слайд 35
Определение. Матрицей системы называется матрица, составленная

Определение. Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных.

из коэффициентов при неизвестных.

Слайд 36 Определение. Расширенной матрицей системы называется матрица системы

Определение. Расширенной матрицей системы называется матрица системы с добавленным к ней столбцом свободных членов.

с добавленным к ней столбцом свободных членов.

Слайд 37 Теорема (Формулы Крамера). Если определитель матрицы системы

Теорема (Формулы Крамера). Если определитель матрицы системы n линейных уравнений

n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля,

то система имеет единственное решение, которое находится по формулам


где  – определитель матрицы системы,
– определитель, полученный из определителя  заменой j-го столбца на столбец свободных членов.

Слайд 38 Матричный метод решения систем n линейных уравнений

Матричный метод решения систем n линейных уравнений с n неизвестными

с n неизвестными

Обозначим:





Если

, то

Слайд 39 Метод Гаусса
решения систем m линейных уравнений с n

Метод Гауссарешения систем m линейных уравнений с n неизвестными Определение. Две

неизвестными

Определение. Две системы называются эквивалентными, если все

решения одной системы являются решениями другой, и наоборот.

Слайд 40 Элементарные преобразования расширенной матрицы системы, приводящие к

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы, приводящие к эквивалентной системе:1) перестановка

эквивалентной системе:

1) перестановка двух строк;
2) умножение элементов какой-либо строки

на любое число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам какой-либо строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое действительное число;
4) исключение из матрицы строки, полностью состоящей из нулей.

Слайд 41 Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных:

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных: с помощью элементарных

с помощью элементарных преобразований система приводится к такому виду,

чтобы каждое следующее уравнение системы содержало неизвестных меньше, чем предыдущее.

Слайд 42
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система m линейных уравнений с

m линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо

и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Слайд 43 Однородная система линейных уравнений






всегда совместна, т. к. имеет

Однородная система линейных уравненийвсегда совместна, т. к. имеет по крайней мере

по крайней мере одно решение
(данное решение называется тривиальным).

Слайд 44
Теорема. Для того чтобы однородная система

Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное

линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы

ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных.

Слайд 45 Ключевые понятия
Система линейных уравнений, однородная система, неоднородная система;

Ключевые понятияСистема линейных уравнений, однородная система, неоднородная система; совместная, несовместная, определенная,

совместная, несовместная, определенная, неопределенная системы; эквивалентные системы, матрица системы,

расширенная матрица системы.

Слайд 46 Вопросы для самопроверки
по теме «Системы линейных уравнений»
Определения: системы

Вопросы для самопроверкипо теме «Системы линейных уравнений»Определения: системы линейных уравнений, однородной

линейных уравнений, однородной и неоднородной систем, решения системы, совместной

и несовместной систем, определенной и неопределенной систем.
Формулы Крамера.
Матричный метод решения систем.
Метод Гаусса.
Теорема Кронекера-Капелли.
Решение однородных систем.

Слайд 47 Тема 4.
Векторная алгебра

Тема 4.Векторная алгебра

Слайд 48

Определение. Вектором называется направленный отрезок.

Обозначение:

Определение. Вектором называется направленный отрезок. Обозначение: (А – начало вектора, В – конец вектора).

(А – начало вектора, В – конец вектора).

Слайд 49

Определение. Нулевым вектором называется вектор, начало и

Определение. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Обозначение:

конец которого совпадают.

Обозначение:

Слайд 50

Определение. Расстояние между началом и концом вектора

Определение. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Обозначение:

называется его длиной, или модулем.

Обозначение:

Слайд 51 Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой

на одной прямой или на параллельных прямых.

Обозначение:

векторы сонаправлены
векторы противоположно направлены

Слайд 52


Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Слайд 53

Определение. Два вектора называются равными, если они

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины. Обозначение:

сонаправлены и имеют равные длины.

Обозначение:

Слайд 54

Определение. Два вектора называются противоположными, если они

Определение. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и имеют равные длины. Обозначение:

противоположно направлены и имеют равные длины.

Обозначение:

Слайд 55 Любой вектор в пространстве можно представить в виде

где

Любой вектор в пространстве можно представить в видегде

– единичные

векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей);
– координаты вектора:
или

Слайд 56 Модуль вектора вычисляется по формуле


Если даны точки

Модуль вектора вычисляется по формулеЕсли даны точки

и , то

Слайд 57

Определение. Линейными операциями называют операции сложения и

Определение. Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

вычитания векторов и умножения вектора на число.

Слайд 58 Сложение векторов
по правилу треугольника



по правилу

Сложение векторов по правилу треугольника по правилу параллелограмма

параллелограмма

Слайд 59 вычитание векторов



умножение вектора на число

вычитание векторов умножение вектора на число

Слайд 60 Если

Если , то 1)2)3)4)

, то
1)
2)
3)
4)

Слайд 61 Свойства линейных операций:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

Свойства линейных операций:1)2)3)4)5)6)7)

Слайд 62 Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов

Скалярное произведение векторов Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное

называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус

угла между ними:

Слайд 63
Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Слайд 64 Свойства скалярного произведения:
1)
2)
3)
4)

Свойства скалярного произведения:1)2)3)4) , или , или5)

,

или , или
5)

Слайд 65 Векторное произведение векторов

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов

Векторное произведение векторов Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если

называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот

от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой (начала векторов тройки предполагаются совмещенными).

Слайд 66

– правая тройка – левая тройка

– правая тройка

– левая тройка

Слайд 67 Определение. Векторным произведением вектора на

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор

вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:
1)


2)
3) векторы образуют правую тройку.
Обозначение:

Слайд 68 Теорема (геометрический смысл векторного произведения). Модуль векторного

Теорема (геометрический смысл векторного произведения). Модуль векторного произведения двух векторов

произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих

векторах.



Следствие.

Слайд 69
Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Слайд 70 Свойства векторного произведения:
1)
2)
3)
4)

Свойства векторного произведения:1)2)3)4) , или , или5)

,

или , или
5)

Слайд 71 Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным, или векторно-скалярным произведением

Смешанное произведение векторов Определение. Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов называется произведение вида Обозначение:

трех векторов называется произведение вида


Обозначение:

Слайд 72
Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Слайд 73
Теорема (условие компланарности трех векторов). Для

Теорема (условие компланарности трех векторов). Для того чтобы три вектора

того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно,

чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Слайд 74 Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение трех векторов с

трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда,

построенного на этих векторах как на ребрах.


Следствие:

Слайд 75 Ключевые понятия

Вектор, модуль вектора, коллинеарные векторы, компланарные векторы,

Ключевые понятияВектор, модуль вектора, коллинеарные векторы, компланарные векторы, координаты вектора; скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.

координаты вектора; скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.

Слайд 76 Вопросы для самопроверки
по теме «Векторная алгебра»
Дайте определения вектора,

Вопросы для самопроверкипо теме «Векторная алгебра»Дайте определения вектора, нулевого вектора, длины

нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, компланарных векторов, равных

векторов, противоположных векторов.
Как определяются сумма векторов, разность векторов, произведение вектора на число?
Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов: определение, выражение через координаты перемножаемых векторов, свойства.
Сформулируйте условия коллинеарности, перпендикулярности, компланарности векторов.

Слайд 77 Тема 5.
Прямая на плоскости

Тема 5.Прямая на плоскости

Слайд 78
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:

вектору:


– вектор, перпендикулярный прямой (нормальный вектор прямой),
– заданная точка на прямой.

Слайд 79
Общее уравнение прямой:


Общее уравнение прямой: – вектор, перпендикулярный прямой (нормальный вектор прямой).

– вектор, перпендикулярный прямой (нормальный вектор

прямой).

Слайд 80 Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение

вектору (каноническое уравнение прямой):


– вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой),
– заданная точка на прямой.

Слайд 81
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:



Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

– заданные точки на прямой.

Слайд 82
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:

направлении:


– угловой коэффициент прямой
( – угол между прямой и осью Ox),
– заданная точка на прямой.

Слайд 83
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:


Уравнение прямой с угловым коэффициентом: – угловой коэффициент

– угловой коэффициент прямой
(

– угол между прямой и осью Ox),
b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.

Слайд 84
Угол между двумя прямыми:



Угол между двумя прямыми: – угловые коэффициенты прямых.

– угловые коэффициенты прямых.

Слайд 85 Условие параллельности двух прямых:


Условие перпендикулярности двух

Условие параллельности двух прямых: Условие перпендикулярности двух прямых:где – угловые коэффициенты прямых.

прямых:


где – угловые

коэффициенты прямых.

Слайд 86
Расстояние от точки

Расстояние от точки до прямой :

до прямой

:

Слайд 87 Ключевые понятия

Прямая, параллельные прямые, перпендикулярные прямые, нормальный вектор

Ключевые понятияПрямая, параллельные прямые, перпендикулярные прямые, нормальный вектор прямой, направляющий вектор прямой, угловой коэффициент прямой.

прямой, направляющий вектор прямой, угловой коэффициент прямой.

Слайд 88 Вопросы для самопроверки
по теме «Прямая на плоскости»
Различные виды

Вопросы для самопроверкипо теме «Прямая на плоскости»Различные виды уравнений прямой на

уравнений прямой на плоскости.
Какой вектор называется нормальным, направляющим вектором

прямой?
Как определяется угловой коэффициент прямой?
В каком случае k = 0? k не существует?
Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Слайд 89 Тема 6.
Теория вероятностей. Случайные события

Тема 6.Теория вероятностей. Случайные события

Слайд 90


Элементы комбинаторики

Элементы комбинаторики

Слайд 91
Определение. Пусть даны n различных элементов.

Определение. Пусть даны n различных элементов. Перестановками из n элементов

Перестановками из n элементов называются множества, составленные из этих

n элементов, отличающиеся друг от друга порядком элементов.

Число перестановок:

Слайд 92 Определение. Пусть даны n различных элементов. Размещениями

Определение. Пусть даны n различных элементов. Размещениями из n элементов

из n элементов по k элементов называются множества, составленные

из k элементов, выбранных из n данных элементов, отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по k элементов:

Слайд 93 Определение. Пусть даны n различных элементов. Сочетаниями

Определение. Пусть даны n различных элементов. Сочетаниями из n элементов

из n элементов по k элементов называются множества, составленные

из k элементов, выбранных из n данных элементов, отличающиеся друг от друга лишь составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по k элементов:

Слайд 94
Правило произведения. Если первое действие можно

Правило произведения. Если первое действие можно выполнить n количеством способов,

выполнить n количеством способов, а второе действие – k

количеством способов, то оба действия можно выполнить n·k количеством способов.

Слайд 95


Случайные события

Случайные события

Слайд 96 Определение. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет

Определение. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенной

при осуществлении определенной совокупности условий.

Определение. Невозможным называется событие,

которое заведомо не произойдет при осуществлении определенной совокупности условий.

Слайд 97 Определение. Случайным называется событие, которое при осуществлении

Определение. Случайным называется событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий

определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Определение. Каждое осуществление указанной совокупности условий называют испытанием.

Слайд 98
Определение. События называются единственно возможными, если

Определение. События называются единственно возможными, если появление в результате испытания

появление в результате испытания одного и только одного из

них является достоверным событием (говорят, что такие события образуют полную группу).

Слайд 99
Определение. События называются равновозможными, если есть основания

Определение. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни

считать, что ни одно из этих событий не является

более возможным, чем другие.

Слайд 100
Определение. Каждое событие, которое может наступить

Определение. Каждое событие, которое может наступить в испытании, называется элементарным

в испытании, называется элементарным исходом.

Определение. Элементарные исходы, при

которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.

Слайд 101 Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих

отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу

всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытания:

Слайд 102 Свойства вероятности:
1) Вероятность достоверного события равна 1

Свойства вероятности:1) Вероятность достоверного события равна 1 (m = n).2)

(m = n).
2) Вероятность невозможного события равна 0 (m

= 0).
3) Вероятность случайного события

 вероятность любого события

Слайд 103
Определение. Относительной частотой события называется отношение

Определение. Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых

числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу

фактически произведенных испытаний:

Слайд 104
Определение. В качестве статистического определения вероятности

Определение. В качестве статистического определения вероятности события принимают относительную частоту

события принимают относительную частоту события (или число, близкое к

ней).

Слайд 105 Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости имеется область

Геометрическое определение вероятности.Пусть на плоскости имеется область G и область

G и область g в ней, площади которых равны

соответственно. Вероятность того, что точка, брошенная наудачу в область G, попадет в область g, равна

Слайд 106
Предполагается, что точка может попасть в

Предполагается, что точка может попасть в любую часть области G,

любую часть области G, а вероятность попадания в область

g пропорциональна лишь ее площади и не зависит ни от расположения, ни от ее формы.

Слайд 107 Определение. Суммой двух событий А и В

Определение. Суммой двух событий А и В называется событие С,

называется событие С, которое состоит в том, что произойдет

по крайней мере одно из событий А или В.

Обозначение: С = А + В

Определение. Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Слайд 108
Определение. События называются несовместными, если появление

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает

одного из них исключает появление других событий в одном

и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Слайд 109
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух

появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна

сумме вероятностей этих событий:

Слайд 110
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично

попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих

событий:

Слайд 111
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного

появления хотя бы одного из двух совместных событий равна

сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Слайд 112
Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

группу, равна единице:

Слайд 113 Определение. Два единственно возможных события, образующих полную

Определение. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

группу, называются противоположными.

Обозначение:

Теорема. Сумма вероятностей противоположных

событий равна единице:

Слайд 114 Определение. Произведением двух событий А и В

Определение. Произведением двух событий А и В называется событие С,

называется событие С, которое состоит в совместном появлении событий

А и В.

Обозначение: С = А · В

Определение. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Слайд 115
Определение. Два события называются независимыми, если

Определение. Два события называются независимыми, если вероятность одного из них

вероятность одного из них не зависит от появления или

непоявления другого. В противном случае события называются зависимыми.

Слайд 116
Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых

совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих

событий:

Слайд 117
Определение. Несколько событий называются независимыми в

Определение. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из

совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных

событий есть события независимые.

Слайд 118
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий,

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Слайд 119
Определение. Условной вероятностью

Определение. Условной вероятностью называется вероятность события В,

называется вероятность события В, вычисленная в

предположении, что событие А уже наступило.

Обозначение:

Слайд 120 Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых

появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из

них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Слайд 121 Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности

равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности

всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Слайд 122 Формула полной вероятности. Вероятность события А, которое

Формула полной вероятности. Вероятность события А, которое может наступить лишь

может наступить лишь при условии появления одного из несовместных

событий ,
образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Слайд 123 Формулы Байеса.
Пусть событие А может наступить

Формулы Байеса. Пусть событие А может наступить лишь при условии

лишь при условии появления одного из несовместных событий

, образующих полную группу. Допустим, произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Тогда вероятности гипотез вычисляются по формулам:

Слайд 124 Формула Бернулли.
Вероятность того, что в n

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в

независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события

равна p (0

Слайд 125 Ключевые понятия
Перестановки, размещения, сочетания, испытание; невозможное, достоверное, случайное

Ключевые понятияПерестановки, размещения, сочетания, испытание; невозможное, достоверное, случайное события; вероятность, условная

события; вероятность, условная вероятность, сумма и произведение событий, совместные

и несовместные события, зависимые и независимые события.

Слайд 126 Вопросы для самопроверки
по теме «Случайные события»
Определение перестановок, размещений,

Вопросы для самопроверкипо теме «Случайные события»Определение перестановок, размещений, сочетаний.Достоверное, невозможное, случайное

сочетаний.
Достоверное, невозможное, случайное события.
Классическое, геометрическое, статистическое определения вероятности.
Сумма и

произведение событий.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Формула Бернулли.

Слайд 127 Тема 7.
Случайные величины

Тема 7.Случайные величины

Слайд 128
Определение. Случайной величиной называется величина, которая

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет

в результате испытания примет одно и только одно числовое

значение, заранее неизвестное.

Обозначение: X , Y

Слайд 129
Определение. Дискретной называют случайную величину, которая

Определение. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные значения.Число

принимает отдельные изолированные значения.

Число значений может быть конечным или

бесконечным.

Слайд 130
Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая

Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая может принять любое значение

может принять любое значение из некоторого интервала.

Число значений непрерывной

случайной величины бесконечно.

Слайд 131


Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины

Слайд 132
Определение. Законом распределения дискретной случайной величины

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее

называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной

величины и соответствующими вероятностями.

Слайд 133
Закон распределения дискретной случайной величины можно

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать табличным, графическим и аналитическим способами.

задать табличным, графическим и аналитическим способами.

Слайд 134 Определение. Рядом распределения дискретной случайной величины называется

Определение. Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в верхней

таблица, в верхней строке которой перечислены принимаемые значения, а

в нижней – соответствующие вероятности.

Слайд 135 Графический способ.

Определение. Многоугольником распределения называется ломаная, с

Графический способ. Определение. Многоугольником распределения называется ломаная, с вершинами в точках

вершинами в точках

Слайд 136 Аналитический способ.

Определение. Функцией распределения вероятностей случайной

Аналитический способ. Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины X называют функцию

величины X называют функцию ,

определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е.

Слайд 137 Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

1)
2)

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:1) 2) –

– неубывающая функция
3)
4) Если

a – наименьшее значение случайной величины, b – наибольшее значение, то

Слайд 138

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Слайд 139 Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений

называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на

соответствующие вероятности появления этих значений.

Обозначение: M(X)

Слайд 140
Определение. Две случайные величины называются независимыми,

Определение. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения вероятностей

если закон распределения вероятностей одной из них не зависит

от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина.

Слайд 141 Свойства математического ожидания ДСВ:

1) Математическое ожидание постоянной величины

Свойства математического ожидания ДСВ:1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:2)

равно самой постоянной:


2) Постоянный множитель можно вынести за знак

математического ожидания:

Слайд 142 Свойства математического ожидания ДСВ (продолжение):

3) Математическое ожидание суммы

Свойства математического ожидания ДСВ (продолжение):3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин

двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:


4) Математическое

ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Слайд 143 Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X называется

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата

математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического

ожидания.

Обозначение: D(X)

Слайд 144 Свойства дисперсии ДСВ:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2)

Свойства дисперсии ДСВ:1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:2) Постоянный множитель можно

Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя

его в квадрат:

Слайд 145 Свойства дисперсии ДСВ (продолжение):

3) Дисперсия суммы двух независимых

Свойства дисперсии ДСВ (продолжение):3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:Следствие:

случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:



Следствие:

Слайд 146
Теорема. Дисперсия дискретной случайной величины равна

Теорема. Дисперсия дискретной случайной величины равна разности между математическим ожиданием

разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом

ее математического ожидания:

Слайд 147
Определение. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины

Определение. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины X называется квадратный корень из ее дисперсии. Обозначение:

X называется квадратный корень из ее дисперсии.

Обозначение:

Слайд 148 Ключевые понятия
Дискретная случайная величина, непрерывная случайная величина, ряд

Ключевые понятияДискретная случайная величина, непрерывная случайная величина, ряд распределения, многоугольник распределения,

распределения, многоугольник распределения, функция распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсия,

среднее квадратическое отклонение.

Слайд 149 Вопросы для самопроверки
по теме «Случайные величины»
Определения случайной величины,

Вопросы для самопроверкипо теме «Случайные величины»Определения случайной величины, дискретной и непрерывной

дискретной и непрерывной случайной величины.
Способы задания дискретных случайных величин.
Ряд

распределения, многоугольник распределения.
Функция распределения, ее свойства.
Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Слайд 150 Рекомендуемая литература
1. Дубинина Л.Я., Никулина Л.С., Пивоварова И.В. Курс

Рекомендуемая литература1. Дубинина Л.Я., Никулина Л.С., Пивоварова И.В. Курс лекций по высшей

лекций по высшей математике. Часть 1. – Владивосток: Изд-во

ВГУЭС, 2008. – 132 с.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 2004. – 576 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2004. – 400 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2004. – 368 с.
5. Сборник задач по высшей математике / Сост. И.В. Пивоварова, Л.Я. Дубинина, Л.С. Никулина. – Владивосток: ВГУЭС, 2008. – 87 с.
  • Имя файла: matematika.pptx
  • Количество просмотров: 136
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Окислительно-восстановительные реакции 11 класс
Следующая - Роман Харисович Солнцев

Похожие презентации

Тренажер для устного счета Действия с дробями Тренажер для устного счета Действия с дробями 110
Многофункциональная математическая игра на основе плоскостного моделирования презентация к уроку по математике (старшая, подготовительная группа) Многофункциональная математическая игра на основе плоскостного моделирования презентация к уроку по математике (старшая, подготовительная группа) 81
Занятие по математике. Геометрические фигуры. презентация к уроку по математике (средняя группа) Занятие по математике. Геометрические фигуры. презентация к уроку по математике (средняя группа) 35
Динамическое описание информационных систем Динамическое описание информационных систем 140
Головоломки на разрезание Головоломки на разрезание 88
Интерактивный тренажёр Сундук с сокровищами по теме Сложение с переходом через десяток Интерактивный тренажёр Сундук с сокровищами по теме Сложение с переходом через десяток 20
Олимпийский задачник по математике Олимпийский задачник по математике 89
Требования к математической подготовке учащихся к началу основной школы Требования к математической подготовке учащихся к началу основной школы 95
Урок математики Закрепление и повторение. Решение задач 1 класс план-конспект урока по математике (1 класс) Урок математики Закрепление и повторение. Решение задач 1 класс план-конспект урока по математике (1 класс) 103
Вычисляем площадь презентация к уроку по математике (3 класс) Вычисляем площадь презентация к уроку по математике (3 класс) 114
Математика і музика. Математика і архітектура Математика і музика. Математика і архітектура 102
Звездный час классный час по математике (2 класс) Звездный час классный час по математике (2 класс) 126
Презентация к уроку построения города дроби Презентация к уроку построения города дроби 92
Круг и окружность Круг и окружность 83
Презентация занятия по математике часть 2 презентация к занятию по математике (средняя группа) Презентация занятия по математике часть 2 презентация к занятию по математике (средняя группа) 30
Жай бөлшектер мен аралас сандарды бөлу Жай бөлшектер мен аралас сандарды бөлу 280
Презентация Игра Найди предмет похожий на прямоугольник презентация к уроку по математике (средняя группа) Презентация Игра Найди предмет похожий на прямоугольник презентация к уроку по математике (средняя группа) 122
Применение информационных технологий при подготовке к ОГЭ и ГИА Применение информационных технологий при подготовке к ОГЭ и ГИА 114
Решение комбинаторных задач с помощью графов Решение комбинаторных задач с помощью графов 93
Тест 1 по математике Тест 1 по математике 85
Решаем задачи презентация к уроку по математике (подготовительная группа) Решаем задачи презентация к уроку по математике (подготовительная группа) 89
Математика в жизни человека Математика в жизни человека 110
Скалярное произведение векторов геометрия Скалярное произведение векторов геометрия 91
Округление чисел Округление чисел 81
veselaya matematika veselaya matematika 139
Интерполяционные формулы Интерполяционные формулы 85
Что такое задача? презентация к уроку по математике (1 класс) по теме Что такое задача? презентация к уроку по математике (1 класс) по теме 312
Презентация Изучение числа и цифры 1 презентация к уроку по математике (1 класс) Презентация Изучение числа и цифры 1 презентация к уроку по математике (1 класс) 32
Проценты Проценты 89
Математика - это не скучно! Математика - это не скучно! 141