Презентация на тему Математическая статистика (лекция 5)

относительно которого исследователь хотел бы делать выводы в рамках

определённого исследования
Примеры ГС: все совершеннолетние жители Казани; все люди с заболеванием Альцгеймера
Выборка – некая часть ГС, её модель, на основе изучения которой исследователь делает выводы о всей ГС.
Репрезентативность выборки – её способность отражать существенные для исследования характеристики ГС

ГС

Выборка

Объекты

Объекты (наблюдения)

У объектов изучаются признаки (колич. либо кач.)
Объём выборки (или ГС) – количество объектов (элементов), содержащихся в выборке (или ГС)

Задача статистики – делать выводы о распределении признака в ГС на основе изучения этого распределения в выборке!!!

с их частотами (абсолютными или относительными) (для дискретных признаков)
Пример.

Изучаем количество детей в семьях Казани. Объём выборки – 10 семей.






Гистограмма – ступенчатая фигура из прямоугольников с основанием, равным ширине интервала по оси x (значения признака) и высотой, равной частоте значений признака из этого интервала (абсолютной или относительной) (для непрерывных признаков)

x – кол-во детей в семье;
y – кол-во семей с таким кол-вом детей
Значения по y абсолютные.

Пример. Гистограмма абсолютных частот нормально распределённого признака с параметрами μ=0 и σ=1 (объём выборки 100)

Меры изменчивости












1

2 3 4 5 6 7

Мода – самое часто встречаемое значение признака в выборке

Медиана – то значение признака, которое делит упорядоченную выборку пополам:
если число эл-тов нечётно:


если число эл-тов чётно:


(3+3)/2=3 (ср.арифм-е)

1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 7 8

1 2 3 4 5 6 7

 

Мода – единственная описат.статистика для качест.признака;
Мод м.б. несколько и 0

(n-1)?
 
 

ГС, значит, и

изменчивость одинакова

 

Формула стандартной ошибки среднего

Генеральная совокупность

Выборки объёма 30

Распределение выб.средних

 

Истинная
дисперсия

Работает для n≥30!

здесь!
Ещё 2,5% значений сл.вел. находятся где-то здесь!
Здесь находятся 95%

значений сл.вел!

-1,96*σ в общем виде

Дов. инт-л – симметричный относительно мат.ожидания интервал, насчёт которого мы можем на сколько-то уверенно сказать, что там находится случайная величина.

Z-значение

некое предположение о виде неизвестного распределения или о его

параметрах.
Примеры статистических гипотез:
Распределение роста студентов нормально
Средняя продолжительность жизни в России – 67 лет
Нулевая гипотеза (H0)– основное предположение, выдвинутое в статистическом исследовании (обычно пессимистична).
Альтернативная гипотеза (H1) – гипотеза, противоречащая нулевой.
Гипотезы проверяются статистическими тестами.
Результат статистического теста – отклонение (☺) или не отклонение нулевой гипотезы (☹)
Отклонение нулевой гипотезы означает принятие альтернативной (☺)
НО: Не отклонение нулевой гипотезы – это ещё не отклонение альтернативной!

лекарства» при условии принятия H0
 
 
А вот где наше выборочное

среднее!!

Если мы принимаем H0, то наше выборочное среднее отклоняется от 20 аж на 3 стандартных отклонения! Вероятность наблюдать такие и более серьёзные отклонения составляет 0,00135*2=0,0027 (p-value, или уровень значимости) .

при условии, что верна H0 (вероятность случайности заданного выборочного

значения)
Чем меньше, тем большее право имеем на отклонение H0
«Золотой стандарт» порогового уровня p-value – 0,05 (<0,05 – отклоняем H0 и принимаем H1, если ≥0,05 – оснований для отклонения H0 недостаточно!)
Обычно двусторонний (вычисляем вероятность отклонения как в одну, так и в другую сторону)

Статистические ошибки
Ошибка первого рода – отклонили H0, хотя она была верна (выборочные данные были получены случайно)
Последствия – получили ложно статистически значимый вывод.
Возможный способ борьбы – уменьшить пороговое p-value (до 0,001, например). P-value – вероятность совершить ошибку первого рода.
Ошибка второго рода – не отклонили H0, хотя она не была верна (верна H1).
Последствия – не получили статистического вывода.
Возможный способ борьбы – увеличить объём выборки.

попадания с.в. в крайние интервалы
(±2σ)
Бледно-фиолетовая линия – обыкновенное нормальное

распределение

Пар-р k (число степеней свободы)
k=n-1 (n-объём выборки)

 

N(0,1)

χ2(k)

отвергаем
Вер-ть наблюдать случайное отклонение на ±2σ
 
Это не абс. знач-я,

а сигмы!

p-value=0,0569 > 0,05=> H0 не отвергаем

принадлежат разным ГС



p-value
=0

нулевая гипотеза, вероятность наблюдать отклонение разности выборочных средних от

0 в более чем 2,53 стандартных отклонения равна 0,0157 (<0,05) => отклоняем нулевую гипотезу (разница между температурами денатурации статистически значима).