Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Комплексные числа

Содержание

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью
Множество комплексных чисел. Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а Арифметические операции над комплексными числами	Суммой комплексных чисел z = (a; b) и Справедливо следующее правило:  (a; b) – (c; d) = (a – Нахождение степеней числа i  Если показатель степени i делится на 4, Вычислить: 1) i 66 , 2) i143 , 3) i216 ,4)i137 Пример 1 Вычислить: Геометрический смысл комплексного числаКаждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует один Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде: Пример2. 	Записать в тригонометрической форме: Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме	При умножении/делении комплексных чисел, заданных Пример3. Выполнить действия: При возведении комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную Корень n-й степени из комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) Пример4. Решить уравнение Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера    Если комплексному числу Пример: Записать число в показательной форме. Решение: Здесь Пример: Записать число       в показательной форме.Решение. Действия над комплексными числами, заданными в показательной формеЕсли комплексные числа записаны в Для вычисления корня из комплексного числа используется формулагде k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1. Понятие функции комплексного переменного и отличие от действительного анализа Пусть D – - Пример: Для функции Компоненты функцииПусть дана функция , Пример: Для функции   Где Понятие непрерывности  определяется аналогично действительному случаю.F(z)-непрерывна в точке
Слайды презентации

Слайд 2
Комплексным числом называется выражение вида а + bi,

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а

в котором а и b – действительные числа, а

i – некоторый символ такой, что



Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z)

Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b)
Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

Слайд 3
Два комплексных числа (a; b) и (c; d)

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если

называются равными, если а = с и b =

d.

Комплексное число a-bi называется
комплексно сопряженным с числом a+bi
и обозначается через
= a-bi

Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.



Слайд 4 Арифметические операции над комплексными числами
Суммой комплексных чисел z

Арифметические операции над комплексными числами	Суммой комплексных чисел z = (a; b)

= (a; b) и
w = (c; d) называется

комплексное число
(a+c; b+d).
Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое числоu, которое в сумме с числом w даёт число z
z = w + u.



Слайд 5 Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d)

Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a –

= (a – c; b – d).
Произведением комплексных чисел

z = (a; b) и
w = (c; d) называют комплексное число
(ac – bd; ad + bc)

Частным от деления z на w называют число u, равное:



u


Слайд 6 Нахождение степеней числа i
Если показатель степени

Нахождение степеней числа i Если показатель степени i делится на 4,

i делится на 4, то значение степени равно 1,

если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i, если при делении показателя на 4 остаток равен 2, то значение степени равно -1, если в остатке при делении показателя на 4 будет 3, то значение степени равно –i.

Слайд 7 Вычислить: 1) i 66 , 2) i143

Вычислить: 1) i 66 , 2) i143 , 3) i216

, 3) i216 ,4)i137
Решение:
1) i66

66:4=16(2). Остаток равен

2, значит i66=-1

2)i143
143 :4=35(3).В остатке 3, значит i 143=-i

3)i216
216:4=54(0).в остатке 0, значит i216=1

4)i137

137:4=34(1).В остатке 1, значит i137=i



,


Слайд 8 Пример 1

Вычислить:

Пример 1 Вычислить:

Слайд 9 Геометрический смысл комплексного числа
Каждой точке М плоскости с

Геометрический смысл комплексного числаКаждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует

координатами (a,b) соответствует один и только один вектор
с началом

в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi

y

x

M(a;b)

0

b

a


Слайд 10
Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости

M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию

точки M (a,b) от начала координат


Если на плоскости ввести полярные координаты (r,φ), где φ аргумент числа z (φ=argz) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS φ, b = r SIN φ
В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ),
где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox

Слайд 11 Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрической формой комплексного числа называют

Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрической формой комплексного числа называют его запись в

его запись в виде:
z = r(cosφ + isinφ),

где - модуль, а
φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:

Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.


Слайд 12 Пример2.
Записать в тригонометрической форме:

Пример2. 	Записать в тригонометрической форме:      	Сначала



Сначала находим

модуль числа:

Далее, согласно формулам (*),

имеем:

Учитывая, что угол

Итак,


Слайд 13 Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
При

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме	При умножении/делении комплексных чисел,

умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули

перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).

(1)

(2)


Слайд 14






Пример3. Выполнить действия:

Пример3. Выполнить действия:




Используя формулу (1), находим:

Слайд 15 При возведении комплексного числа
z = r (Cosφ

При возведении комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) в

+ iSinφ) в натуральную степень n
модуль данного числа возводится

в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени:

формула Муавра


Слайд 16

Корень n-й степени из комплексного числа z =

Корень n-й степени из комплексного числа z = r (Cosφ +

r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных значений, которые

находятся по формуле :

Здесь к = 0, 1, 2, … n-1


Слайд 17
Пример4. Решить уравнение

Пример4. Решить уравнение      Корнями данного уравнения


Корнями данного уравнения

являются все значения Для числа - 4 имеем r =2,
Согласно формуле(3),
находим:


Если к = 0, то

Если к = 1, то


Слайд 18 Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера   Если комплексному числу

Если комплексному числу
, модуль которого равен

1, поставить в соответствие
показанное выражение

, то получим соотношение

то получим соотношение которое называется формулой Эйлера.
Любое комплексное число

можно записать в виде

. Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.


Слайд 19 Пример: Записать число в показательной форме.



Решение: Здесь

Пример: Записать число в показательной форме. Решение: Здесь



тогда показательная форма числа имеет вид
.

Слайд 20 Пример: Записать число

Пример: Записать число    в показательной форме.Решение. Что бы

в показательной форме.
Решение. Что бы представить число

в виде

нужно найти модуль и аргумент числа

.

Здесь

тогда

так как точка

лежит на мнимой оси комплексной плоскости.

Зная r и

, получим

.


Слайд 21 Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме

Если

Действия над комплексными числами, заданными в показательной формеЕсли комплексные числа записаны

комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление,

возведение в степень производится по правилам действий со степенями.

Так, для произведения и частного комплексных чисел

и

справедливы формулы

а для n-й степени комплексного числа используется

формула


Слайд 22 Для вычисления корня из комплексного числа
используется формула
где

Для вычисления корня из комплексного числа используется формулагде k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1.

k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1.


Слайд 23 Понятие функции комплексного переменного и отличие от действительного

Понятие функции комплексного переменного и отличие от действительного анализа Пусть D

анализа
Пусть D – некоторая область на комплексной плоскости
Определение.

Функцией комплексного аргумента с областью определения D называется соответствие,которое любому комплексному числу сопостовляет одно или несколько комплексных значений.
Таким образом, в отличие от действительного анализа, в комплексном анализе допускаются многозначные функции. Например,


f(z)=az+b (a, b – фиксированные комплексные числа)-однозначная функция;
- однозначная функция


Слайд 24

- n-значная функция;

- n-значная функция;

-бесконечнозначная функция.
Если функция однозначна,то она может быть задана в виде отображения В таком случае функция называется однолистной .В дальнейшем, если не указано особо,будем рассматривать однолистные функции.

Слайд 25 Пример: Для функции

Пример: Для функции        найти

найти


Решение: Подставим в место z значение i в функцию





Ответ: f(i)=1



Слайд 26 Компоненты функции
Пусть дана функция ,

Компоненты функцииПусть дана функция ,      Представим

Представим

z в алгебраической форме Значение f(x)-комплексное число,т.е. ,которое также можем представить в алгебраической форме ,где и -действительные функции комплексного аргумента,но задание я эквивалентно заданию пары(x,y).Окончательно,любую функцию комплексного аргумента можно представить в виде
,где и -действительные функции двух действительных переменных.Функции u и v называются компонентами функции f(z),u- действительная компонента,v-мнимая компонента.Пишут :

Слайд 27 Пример: Для функции
Где

Пример: Для функции  Где

найти ее действительную и мнимую часть.
Решение:
(x+iy)2+4i=x2+2ixy-y2+4i=(x2-y2)+(2xyi+4i)=(x2-y2)+i(2xy+4).

Тогда действительная часть функции f(z) - x2-y2,а
мнимая - 2xy+4.





  • Имя файла: kompleksnye-chisla.pptx
  • Количество просмотров: 100
  • Количество скачиваний: 0