Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Как найти корни квадратного уравнения?

Содержание

*Привет, восьмиклассник! Твоему вниманию предоставляется проект, который поможет тебе научиться находить корни, квадратных уравнений.Здесь ты найдёшь и общий алгоритм решения квадратных уравнений, и теоретические сведения и различные интересные задачи и многое другое.Так что – дерзай! Сядь
*Как найти корни квадратного уравнения?Авторы: учащиеся 8 классаРуководитель: Родина Алевтина КарловнаМОУ «Блюментальская основная общеобразовательная школа» *Привет, восьмиклассник! Твоему вниманию предоставляется проект, который поможет тебе научиться находить корни, Цель проектаЦель данного проекта – привлечь внимание учащихся к исследовательской деятельности, вызвать *Дидактические цели проектаСовершенствование прикладных навыков работы с персональным компьютером в аспекте алгебраических *Методические цели проектаНаучить школьников проводить исследования в области математики.Научить учащихся понимать структуру *Этапы  и ход работы1 этап. Класс разбивается на группы 5-6 человек.2 Этапы и ход работыНад проектом мы будем работать в течении 3-х недель. Подробнее о проекте Проект *Темы исследования  учащихся1. «Квадратное уравнение и его корни»2. «Неполные квадратные уравнения»3. Немного истории          Уравнение *Немного историиФрансуа Виет (1540 – 1603)- французский математик, ввёл систему алгебраических символов, *Неполные квадратные уравненияКвадратное уравнение а х2 + в х + с = Решение неполных квадратных уравненийРешим уравнение 5х2 = 0. Разделив обе части этого *Решение неполных квадратных уравненийРешить уравнение 2х2 + 7 = 0.Уравнение можно записать Квадратное уравнение и его корниКвадратным называюталгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида Метод выделения полного квадрата   Для решения квадратных уравнений применяется метод Метод выделения полного квадрата Задача 3. Решить уравнение х2 + 5х – Решение квадратных уравненийЗадача 1. Решить уравнение 6х2 +х – 2 = 0. Решение квадратных уравненийЗадача 2. Решить уравнение 4х2 – 4х +1 = 0.Здесь Решение квадратных уравненийЕсли  b ² - 4 a c < 0, Приведённое квадратное уравнениеКвадратное уравнение x ² + p x + q = *Теорема ВиетаЕсли х1, х2 – корни уравнения х2 + рх + g Теорема ВиетаНапример уравнение х2 – 13 х + 30 = 0 имеет Теорема ВиетаЗадача 2. Составить приведённое квадратное уравнение корни которого Обратная теорема ВиетаПри решении некоторых задач применяется следующая теорема. Обратная теореме Виета:Если Группа теоретиков:учит основы теории решения квадратных уравненийвыступает на семинаре первыми! Группа Используемые ресурсыУчебник «Алгебра 8» Ш.А. Алимов. И др.«История математики в школе.» Г.И.Глейзер.
Слайды презентации

Слайд 2 *
Привет, восьмиклассник!
Твоему вниманию предоставляется проект, который поможет тебе

*Привет, восьмиклассник! Твоему вниманию предоставляется проект, который поможет тебе научиться находить

научиться находить корни, квадратных уравнений.
Здесь ты найдёшь и общий

алгоритм решения квадратных уравнений, и теоретические сведения и различные интересные задачи и многое другое.
Так что – дерзай!

Сядь поудобнее, засучи рукава и …ВПЕРЁД!


Слайд 3 Цель проекта
Цель данного проекта – привлечь внимание учащихся

Цель проектаЦель данного проекта – привлечь внимание учащихся к исследовательской деятельности,

к исследовательской деятельности, вызвать интерес к изучению математики, а

именно к решению квадратных уравнений. Данный проект предназначен для развития творческих способностей учащихся: предполагает развитие математического и логического мышления при решении поставленных проблем, нацеливает на самостоятельную исследовательскую деятельность, формирует навыки решения квадратных уравнений, активизирует учащихся к работе в предполагаемых проектах и созданию собственных творческих работ.
Основной вопрос, на который должны ответить участники проекта:
Как найти корни квадратного уравнения?

Слайд 4 *
Дидактические цели проекта


Совершенствование прикладных навыков работы с персональным

*Дидактические цели проектаСовершенствование прикладных навыков работы с персональным компьютером в аспекте

компьютером в аспекте алгебраических исследований.

Теоретическое и практическое владение основами

решения квадратных уравнений.

Дальнейшее формирование навыков самостоятельной работы в познавательной деятельности.



Слайд 5 *
Методические цели проекта
Научить школьников проводить исследования в области

*Методические цели проектаНаучить школьников проводить исследования в области математики.Научить учащихся понимать

математики.
Научить учащихся понимать структуру формулы и алгоритм вычисления корней.
Научить

школьников оформлять информацию, собранную им самим.


Слайд 6 *
Этапы и ход работы
1 этап. Класс разбивается на

*Этапы и ход работы1 этап. Класс разбивается на группы 5-6 человек.2

группы 5-6 человек.

2 этап. Перед группой ставиться проблемный вопрос.

3

этап. Распределение работ внутри группы.

4 этап. Каждая группа должна выполнить:
               поиск материала;
               анализ материала;
    оформить презентацию и буклет.

Слайд 7 Этапы и ход работы
Над проектом мы будем работать

Этапы и ход работыНад проектом мы будем работать в течении 3-х

в течении 3-х недель.

За это время мы…
Должны

решить, что будем делать и зачем.
Как разделиться—кто и с кем.
Теорию отлично изучить.
Задачи подобрать.
И алгоритмы получше осветить.
И вам, друзьям об этом рассказать!


Слайд 8 Подробнее о проекте

Проект "Как найти корни квадратного

Подробнее о проекте Проект

уравнения?» посвящен изучению темы «Квадратные уравнения» В рамках проекта

школьники знакомятся с учебным материалом по данной теме. После чего разбиваются на группы. Перед каждой группой ставится проблемный вопрос. Группа проводит поиск и анализ информации с целью проверки собственных гипотез по сформировавшимся вопросам. По итогам проекта каждая группа подготавливает отчет в виде мультимедийных презентаций, буклетов. В рамках проекта предусматривается выступление перед классом по разрабатываемой теме.

Слайд 9 *
Темы исследования учащихся
1. «Квадратное уравнение и его корни»

2.

*Темы исследования учащихся1. «Квадратное уравнение и его корни»2. «Неполные квадратные уравнения»3.

«Неполные квадратные уравнения»

3. «Метод выделения полного квадрата»

4. «Решение квадратных

уравнений»

5. «Приведённое квадратное уравнение.
Теорема Виета.»



Слайд 10 Немного истории

Немного истории      Уравнение 2 – й

Уравнение 2 – й степени

умели решать ещё в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях.
Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах.
Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.).
Средне –азиатский учёный аль - Хорезми ( 19 век) в трактате «Китаб аль - джебр валь - мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата

Слайд 11 *
Немного истории




Франсуа Виет
(1540 – 1603)
- французский математик,

*Немного историиФрансуа Виет (1540 – 1603)- французский математик, ввёл систему алгебраических

ввёл систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он

был одним из первых , кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Слайд 12 *
Неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение а х2 + в

*Неполные квадратные уравненияКвадратное уравнение а х2 + в х + с

х + с = 0 называют неполным, если хотя

бы один из коэффициентов в или с равен 0 .
Таким образом, неполное квадратное уравнение есть уравнение одного из следующих видов:
а х2 = 0,
а х 2 + с = 0, c ≠ 0
a x ² + b x = 0, b ≠ 0.

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения



Слайд 13 Решение неполных квадратных уравнений
Решим уравнение
5х2 = 0.

Решение неполных квадратных уравненийРешим уравнение 5х2 = 0. Разделив обе части


Разделив обе части этого уравнения на 5,
получим:
х2

= 0,
откуда
х = 0.
Ответ : 0

Решим уравнение
– 3 х2 + 5 х = 0.
Разложим левую часть
уравнения на множители, получим:
х( - 3 х + 5 ) = 0,
откуда
х1 = 0, х2 = 5/3.
Ответ : 0, 5/3.



Слайд 14 *
Решение неполных квадратных уравнений
Решить уравнение
2х2 + 7

*Решение неполных квадратных уравненийРешить уравнение 2х2 + 7 = 0.Уравнение можно

= 0.
Уравнение можно записать так:

х2 = - 7/2.
Это уравнение действительных корней не имеет,
так как х2 ≥ 0 для любого действительного числа х.
Решить уравнение
3х2 – 27 = 0.Разделим обе части уравнения на 3: х2 – 9 = 0.
Это уравнение можно
записать так: х2 = 9, откуда
х 1,2 = ± 3.

Проверь себя!
Решите уравнения.
х2 = 0;
9 х2 = 81;
4х2 – 64 = 0;
9х2 + 1 = 0;
3 х2 = 1/3;
(х2 – 1)/3 = 5


Слайд 15 Квадратное уравнение и его корни
Квадратным называют
алгебраическое уравнение 2-й

Квадратное уравнение и его корниКвадратным называюталгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение


степени, т.е. уравнение вида


а х2 + в х + с = 0, где а ≠ 0 .

Выражение D = b2 – 4ac
называют дискриминантом трёхчлена
а х2 + в х + с
Уравнение
а х2 + в х + с = 0, где а ≠ 0 .
имеет два корня:






при этом если
D > 0, то корни
действительные и различные,

при D = 0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два),

при D < 0 уравнение
не имеет корней.



Слайд 16 Метод выделения полного квадрата
Для решения

Метод выделения полного квадрата  Для решения квадратных уравнений применяется метод

квадратных уравнений
применяется
метод выделения полного
квадрата.


Поясним этот

метод на
примерах.

Задача1.
Решить квадратное уравнение
х2 + 2х - 3 = 0
Преобразуем это уравнение так:
х2 + 2х = 3,
х2 +2х + 1 = 3 + 1,
(х + 1 )2 = 4.
Следовательно
х + 1 = 2 или х + 1 = - 2,
откуда
х1 = 1, х2 = - 3.

Ответ : 1, - 3.


Слайд 17 Метод выделения полного квадрата

Задача 3.
Решить уравнение

Метод выделения полного квадрата Задача 3. Решить уравнение х2 + 5х



х2 + 5х – 14 =0.
х2 + 5х

= 14 .
Х2 + 2*5/2х + 25/4 = 14 + 25/4,
(х + 5/2) 2 = 81/4,
х + 5/2 =± 9/2.
х1 = 9/2 – 5/2 = 2,
х2 = - 9/2 – 5/2 = -7.
Ответ: 2, - 7.

Задача 2.
Решить уравнение

4 х 2 – 8х + 3 = 0
4 х 2 – 8х = -3,
(2х)2 – 2*2*2х = -3,
(2х)2 – 2*2*2х + 4 = -3 + 4,
( 2х – 2 )2 = 1,
2х – 2 = 1 или 2х – 2 = -1,
2х = 3 2х = 1
Х1 = 3/2, х2 = ½
Ответ: 3/2, ½.


Слайд 18 Решение квадратных уравнений
Задача 1.
Решить уравнение
6х2 +х

Решение квадратных уравненийЗадача 1. Решить уравнение 6х2 +х – 2 =

– 2 = 0.
Здесь а = 6,

в = 1, с = -2 .
По формуле



находим:

х 1, 2 = ( -1 ±7)/12,
откуда
х1 =( -1 + 7)/12 = ½,
х2 = (-1 – 7)/12 = -2/3.
Ответ: ½, -2/3

Слайд 19 Решение квадратных уравнений
Задача 2.
Решить уравнение
4х2 –

Решение квадратных уравненийЗадача 2. Решить уравнение 4х2 – 4х +1 =

4х +1 = 0.
Здесь а = 4, в =

-4, с = 1 .

По формуле находим:

х 1, 2 = ( 4 ±0)/8 = ½.
Ответ: ½.


Слайд 20 Решение квадратных уравнений
Если b ² - 4

Решение квадратных уравненийЕсли b ² - 4 a c < 0,

a c < 0, уравнение a x ² +

b x + c = 0
не имеет действительных корней.
Задача 3.
Доказать, что уравнение x² - 4 x + 5 = 0
не имеет действительных корней.
Здесь а = 1, b = - 4, с = 5,
b² - 4ac = (-4)2 – 4*1*5 = - 4 < 0.
Следовательно данное уравнение не имеет действительных корней

Слайд 21 Приведённое квадратное уравнение
Квадратное уравнение x ² + p

Приведённое квадратное уравнениеКвадратное уравнение x ² + p x + q

x + q = 0 называется приведенным.

В этом

уравнении старший коэффициент равен единице.
Например, уравнение x ² + 3 x - 4 = 0 является приведённым.
Всякое квадратное уравнение а х ² + b x + c = 0 может быть приведено
к виду x ² + p x + q = 0 делением обеих частей уравнения на a ≠ 0.
Для приведённого квадратного уравнения



формула корней приведенного квадратного уравнения
Этой формулой удобно пользоваться когда p – чётное число.
Например, решим уравнение x ² - 14 x - 15 = 0.
По формуле находим: х 1,2 = 7 ± √ (49 + 15) = 7 ± 8
Х1 = 7 + 8 , х2 = 7 - 8
Х1 = 15, х2 = - 1
Ответ: 15, -1.
Для приведённого квадратного уравнения
справедлива следующая теорема




Слайд 22 *
Теорема Виета
Если х1, х2 – корни уравнения
х2

*Теорема ВиетаЕсли х1, х2 – корни уравнения х2 + рх +

+ рх + g = 0
то справедливы формулы

х1+х2 = - р,
х1х2 = g.
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.


Слайд 23 Теорема Виета
Например уравнение
х2 – 13 х +

Теорема ВиетаНапример уравнение х2 – 13 х + 30 = 0

30 = 0
имеет корни х1 = 10, х2

= 3; сумма
его корней х1 + х2 = 13, а их
произведение х1х2 = 30.
Отметим, что теорема Виета
справедлива и в случае, когда
квадратное уравнение имеет два
равных корня: х1 = х2 = - р/2.
Например, уравнение
х2 – 6х + 9 = 0
имеет равные корни: х1=х2 = 3; их сумма х1 + х2 = 6,
произведение х1х2 = 9

Задача1.
Один из корней уравнения
x ² + p x - 12 = 0
равен Х1 = 4.
Найти коэффициент p и второй корень х2 , этого уравнения.
По теореме Виета
х1+х2 = - p ,
х1х2 = - 12,
Так как Х1 = 4, то 4 х2 = - 12,
откуда х2 = - 3,
p = - ( х1 + х2) = -(4 – 3) = -1
Ответ: 3, - 1.


Слайд 24 Теорема Виета
Задача 2. Составить приведённое квадратное уравнение корни

Теорема ВиетаЗадача 2. Составить приведённое квадратное уравнение корни которого

которого

х1= 3, х2 = 4.
Так как х1=3, х2=4 – корни уравнения
х2 + рх + g = 0,
то по теореме Виета
р = - (х 1 + х 2) = - 7,
g = х1х2 = 12.
Ответ: х2 – 7х +12 =0.

Задача 3. Один из корней уравнения 3х2 + 8х – 4 = 0 положителен. Не решая уравнения, определить знак второго корня.

Разделив обе части уравнения на 3, получим:
х2 + (8/3)х – 4/3 = 0.
По теореме Виета х1х2 = - 4/3<0. По условию х1>0, следовательно, х2 <0


Слайд 25 Обратная теорема Виета
При решении некоторых задач применяется следующая

Обратная теорема ВиетаПри решении некоторых задач применяется следующая теорема. Обратная теореме

теорема. Обратная теореме Виета:
Если число р, g, х1, х2

таковы, что
х1+х2 = - р,
х1х2 = g,
то х1 и х2 – корни уравнения
х2 + рх + g = 0

Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения

Задача.
Подбором найти корни уравнения
х2 + 5х + 6 = 0.
Здесь р = - 5, g = 6.
Подберём два числа х1 и х2
так, чтобы
х1+х2 = 5,
х1х2 = 6,

Заметим, что 6 = 2*3, а 2 + 3 = 5,
по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что
х1 = 2, х2 = 3 – корни уравнения
х2 + 5х + 6 = 0.



Слайд 26
Группа теоретиков:
учит основы теории решения квадратных уравнений
выступает

Группа теоретиков:учит основы теории решения квадратных уравненийвыступает на семинаре первыми!

на семинаре первыми!
Группа практиков:
Учит алгоритм решения квадратных уравнений

выступает на семинаре вторыми!

Участники проекта


  • Имя файла: kak-nayti-korni-kvadratnogo-uravneniya.pptx
  • Количество просмотров: 91
  • Количество скачиваний: 0