Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Исследование операций и методы оптимизации

Содержание

Структура дисциплиныЛекции – 32 ч. Практические занятия – 32 ч. ОТЧЕТНОСТЬКонтрольная работа - 5ТЕСТЫ
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫОПТИМИЗАЦИИ Кафедра Прикладной Математики (к.241)Турундаевский Виктор Борисович Структура дисциплиныЛекции – 32 ч. ВВЕДЕНИЕ В ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙИсследование операций — научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ1. Постановка задачи.2. Построение содержательной модели рассматриваемого объекта.3. Построение математической Лекция 1.Экономико-математическая модель (ЭММ). Понятие, пример, общая классификация ЭММ.Общая задача линейного программирования, Математический аппарат линейного программированияПонятие о выпуклых множествах Множество – определенная сово- Множество выпукло, если вместе с его любыми двумя Понятие угловой точки Для выпуклых множеств вводится поня-тие угловой точки. Угловой (крайней) точкой выпуклого Пример 1. Задача оптимального использования ресурсов (задача о коврах)В распоряжении фабрики Экономико-математическая модель задачиПеременныеОбозначим через X1, X2, X3, X4 количество ковров каждого типа. Пример 2. Некоторое предприятие изготавливает два вида продукции I и Составим ЭММ задачи по следующей схеме1. Идентифицируем переменные;2. Выявим цель задачи, для 1. Поскольку в условии задачи требуется определить объемы производства каждо-го вида продукции, F(x) = 5x1 + 4x2 => max3. Выделим ограничения:на расход используемых продуктов Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач К задачам линейного программирования приводится широкий круг вопросов планирования экономических и технико-экономических Пример 2.1. ЗЛП Задача о костюмахПример 3. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия.Намечается выпуск двух видов Экономико-математическая модель задачи о костюмахПеременные: х1 – число женских костюмов; x2 – Графический метод решения ЗЛПСтроится многоугольная область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.Строится вектор-градиент целевой В качестве примера рассмотрим составленную ранее ЭММ(пример 2): F(x) = 5x1 + Построение ОДР- проведем оси и обоз-начим их через x1 и x2;- на 6x1 + 4x2 = 24 – (1)6x1 + 4x2 ≤ 6x1 + 4x2 = 24 – (1)1x1 + 2x2 = Строим третью линию ограничения6x1 + 4x2 = 24 – (1)1x1 Строим четвертую линию ограничения6x1 + 4x2 = 24 – (1)1x1 Поиск оптимального решения Для поиска оптимального решения в ОДР строим линию уровня и Алгоритм построения линии уровня:1) в ОДР произвольно выбирается точка, с координатами удобными Алгоритм построения линии уровня:3) Записывается уравнение целевой функции 5x1 + 4x2 = Построение вектора-градиентаКоординатами конца вектора-градиента являются коэффициенты при переменных в целевой функции Вектор-градиентЛиния уровняОптимум В крайней, угловой точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой Особые случаи решения ЗЛП В процессе решения ЗЛП могут встретить-ся особые случаи:Неединственность Неединственность оптимального решенияПостроим область допустимых решений Неединственность оптимального решения Задача имеет бесконечное множествоOpt решений, которые Вырожденность базисного решенияПостроим область допустимых решений Вырожденность базисного решенияA В т. A пересекаются три прямых и в Отсутствие конечного оптимумаПостроим область допустимых решений Отсутствие конечного оптимумаЗдесь область допустимых решений представленанезамкнутым множеством.Вывод. Функция неограниченно .Задача не имеет конечного opt.∞ Область допустимых решений представлена одной точкойПостроим область допустимых решений для случая, когда Область допустимых решений представлена одной точкойВ данном случае точки максимума и минимума целевой функции f(x) совпадают. Множество допустимых решений пустоНачинаем строить область допустимых решений. Множество допустимых решений пустоПосле нанесения третьего ограничения, область допустимых решений исчезает, т.е. Экономический смысл основных и дополнительных переменных в канонической форме задачи об оптимальном Понятие устойчивости (чувствительности) решения Существуют интервалы изменения коэффициентов в F(x),
Слайды презентации

Слайд 2 Структура дисциплины
Лекции – 32 ч.

Структура дисциплиныЛекции – 32 ч.


Практические занятия – 32 ч.
ОТЧЕТНОСТЬ
Контрольная работа - 5
ТЕСТЫ - 1
ФОРУМ - 1
Экзамен

Слайд 3 ВВЕДЕНИЕ В ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Исследование операций — научная дисциплина,

ВВЕДЕНИЕ В ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙИсследование операций — научная дисциплина, занимающаяся разработкой и

занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления

различными организационными системами. Операция — любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других.

Слайд 4 ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
1. Постановка задачи.
2. Построение содержательной модели

ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ1. Постановка задачи.2. Построение содержательной модели рассматриваемого объекта.3. Построение

рассматриваемого объекта.
3. Построение математической модели.
4. Анализ модели или получение

решения задачи.
5. Анализ решения
6. Проверка полученных результатов на их адекватность природе изучаемой системы.

Слайд 5 Лекция 1.
Экономико-математическая модель (ЭММ). Понятие, пример, общая классификация

Лекция 1.Экономико-математическая модель (ЭММ). Понятие, пример, общая классификация ЭММ.Общая задача линейного

ЭММ.
Общая задача линейного программирования, основные элементы и понятия.
Общая

запись оптимизационной ЭММ (задача оптимального программирования). Основные элементы и понятия.
Графический метод решения задачи линейного программирования.
Особые случаи решения ЗЛП графическим методом.
Каноническая форма записи ЗЛП. Способы приведения ЗЛП к каноническому виду
Экономический смысл основных и дополнительных переменных в канонической форме задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов

Слайд 6 Математический аппарат линейного программирования
Понятие о выпуклых множествах

Математический аппарат линейного программированияПонятие о выпуклых множествах Множество – определенная сово-

Множество – определенная сово-

купность объектов (элементов)

Различают множества:
- выпуклые;
- невыпуклые.

Слайд 7 Множество выпукло, если вместе

Множество выпукло, если вместе с его любыми двумя точками

с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь

отрезок их соединяющий.










Множество невыпукло, если существует хотя бы одна такая пара точек множества, что отрезок, соединяющий эти точки не принадлежит целиком этому множеству.



а



в



c



d

Слайд 8 Понятие угловой точки
Для выпуклых множеств вводится поня-тие угловой

Понятие угловой точки Для выпуклых множеств вводится поня-тие угловой точки. Угловой (крайней) точкой

точки.
Угловой (крайней) точкой выпуклого множества называется точка, через которую

нельзя провести ни одного отрезка состоящего только из точек данного множества, для которого она была бы внутренней.

угловая
внутренняя точка
точка

Слайд 9 Пример 1. Задача оптимального использования ресурсов (задача

Пример 1. Задача оптимального использования ресурсов (задача о коврах)В распоряжении фабрики

о коврах)
В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов: рабочая

сила, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Например, пусть это будут ресурсы трех видов: рабочая сила (80 чел./дней), сырье (480 кг пряжи) и оборудование (130 станкочасов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл.1.
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальной.

Слайд 10

Слайд 11 Экономико-математическая модель задачи
Переменные
Обозначим через X1, X2, X3, X4

Экономико-математическая модель задачиПеременныеОбозначим через X1, X2, X3, X4 количество ковров каждого

количество ковров каждого типа.
Целевая функция – это выражение,

которое необходимо максимизировать:
F(x)= 3X1 +4 X 2 +3 X 3 + X 4 .
Функциональные ограничения (ограничения по ресурсам)
7x1 +2x2 +2x3 +6x4 ≤80 (человеко/дней),
5x1 +8x2 +4x3 +3x4≤480 (кг пряжи),
2x1 +4x2 +x3 + 8x4 ≤ 130 (станкочасов),
Прямые ограничения x1, x2, x3, x4≥0.

Слайд 12 Пример 2.
Некоторое предприятие изготавливает два

Пример 2. Некоторое предприятие изготавливает два вида продукции I и

вида продукции I и II Для производства которой используется

два вида сырья A и B.
Максимальные суточные запасы сырья составляют 24 и 6 тонн соответственно.
Расходы на производство 1-й тонны каждого вида продукции приведены в таблице.
Суточный спрос на продукцию II не превышает спроса на продукцию I более чем на 1т. Спрос на продукцию II не превышает 2 т в сутки.
Основные цены 1-й тонны продукции равны:
5 тыс. ден. ед на прод. I и 4 тыс. ден. ед на прод. II.
Требуется определить объемы выпуска продукции обеспечивающие max прибыль.

Слайд 13 Составим ЭММ задачи по следующей схеме
1. Идентифицируем переменные;
2.

Составим ЭММ задачи по следующей схеме1. Идентифицируем переменные;2. Выявим цель задачи,

Выявим цель задачи, для дости-жения которой из всех допустимых

значений перемененных нужно выбрать такое сочетание, которое будет соответствовать оптимальному решению;
3. Выявим ограничения, которые будут наложены на переменные.

Далее реализуем приведенную схему.

Слайд 14 1. Поскольку в условии задачи требуется определить объемы

1. Поскольку в условии задачи требуется определить объемы производства каждо-го вида

производства каждо-го вида продукции, то обозначим иском-ые переменные через

x1 и x2:
x1 – суточный объем производства продук-ции первого вида (т);
x2 – суточный объем производства продук-ции второго вида (т).
2. Составим целевую функцию задачи.
Прибыль предприятия будет складывать-ся в виде суммы прибылей от реализации продукции первого и второго вида. Запишем это условие.

Слайд 15 F(x) = 5x1 + 4x2 => max
3. Выделим

F(x) = 5x1 + 4x2 => max3. Выделим ограничения:на расход используемых

ограничения:
на расход используемых продуктов
6x1 + 4x2 ≤ 24

- по сырью А,
1x1 + 2x2 ≤ 6 - по сырью В,
-1x1 + 1x2 ≤ 1 - по превышению спроса продукции II над I,
0x1 + 1x2 ≤ 2 - по спросу на продукцию II,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 - условие неотрицат.

Задачи подобного вида называю ЗЛП.

Слайд 16 Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и

Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения

численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума)

линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

Слайд 17 К задачам линейного программирования приводится широкий круг вопросов

К задачам линейного программирования приводится широкий круг вопросов планирования экономических и

планирования экономических и технико-экономических процессов, где ставится задача поиска

наилучшего (оптимального решения), само возникновение и развитие линейного программирования непосредственно связано с экономической проблематикой

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26

Слайд 27 Пример 2.1.
ЗЛП

Пример 2.1. ЗЛП КЗЛП

КЗЛП

Слайд 28 Задача о костюмах
Пример 3. Планирование выпуска продукции пошивочного

Задача о костюмахПример 3. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия.Намечается выпуск двух

предприятия.
Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских.

На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм – 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского – 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Слайд 29 Экономико-математическая модель задачи о костюмах
Переменные: х1 – число

Экономико-математическая модель задачи о костюмахПеременные: х1 – число женских костюмов; x2

женских костюмов; x2 – число мужских костюмов.
Максимизировать целевую

функцию
f(x) = 10 х1 + 20 х2
Ограничения задачи имеют вид:
х1 + х2  150,
2 х1 + 0,5 х2  240,
х1 + 3,5 х2  350,
х2 60,
х1  0.

Слайд 30 Графический метод решения ЗЛП

Строится многоугольная область допустимых решений

Графический метод решения ЗЛПСтроится многоугольная область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.Строится вектор-градиент

(ОДР) ЗЛП.
Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в

точке x0, (0;0)
Линия уровня c1x1+c2x2 = а (а – постоянная величина) – прямая, перпендикулярная вектору-градиенту , – передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации f(x1,x2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой максимума f(x1,x2).
Для нахождения координат точки максимума достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума. Значение f(x1,x2), найденное в полученной точке, является максимальным значением целевой функции.

Слайд 31 В качестве примера рассмотрим составленную ранее ЭММ(пример 2):

В качестве примера рассмотрим составленную ранее ЭММ(пример 2): F(x) = 5x1


F(x) = 5x1 + 4x2 => max
6x1 +

4x2 ≤ 24, – (1)
1x1 + 2x2 ≤ 6, – (2)
-1x1 + 1x2 ≤ 1, – (3)
0x1 + 1x2 ≤ 2, – (4)
x1 ≥ 0, – (5)
x2 ≥ 0. – (6)
Затем пронумеруем все ограничения

Слайд 32 Построение ОДР
- проведем оси и обоз-начим их через

Построение ОДР- проведем оси и обоз-начим их через x1 и x2;-

x1 и x2;
- на оси нанесем делен-ия;
- учтем условия

неотри-цательности перемен-
ных x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0 , это означает, что решение необходимо искать в первой четверти;
- далее каждое неравен-ство поочередно заме-няем на равенство и по ним строим прямые на графике.

Слайд 33 6x1 + 4x2 = 24 –

6x1 + 4x2 = 24 – (1)6x1 + 4x2 ≤ 24 Строим первую линию ограничения

(1)
6x1 + 4x2 ≤ 24
Строим первую линию ограничения

Слайд 34 6x1 + 4x2 = 24 –

6x1 + 4x2 = 24 – (1)1x1 + 2x2 =

(1)
1x1 + 2x2 = 6 – (2)
О

Д Р

Строим вторую линию ограничения

Слайд 35 Строим третью линию ограничения
6x1 + 4x2 = 24

Строим третью линию ограничения6x1 + 4x2 = 24 – (1)1x1

– (1)
1x1 + 2x2 = 6

– (2)

-1x1 + 1x2 = 1 – (3)

О Д Р

Слайд 36 Строим четвертую линию ограничения
6x1 + 4x2 = 24

Строим четвертую линию ограничения6x1 + 4x2 = 24 – (1)1x1

– (1)
1x1 + 2x2 = 6

– (2)

-1x1 + 1x2 = 1 – (3)

0x1 + 1x2 = 2 – (4)

О Д Р

Слайд 37 Поиск оптимального решения
Для поиска оптимального решения в ОДР

Поиск оптимального решения Для поиска оптимального решения в ОДР строим линию уровня

строим линию уровня и вектор-градиент.
Линия уровня целевой функции –

прямая линия, построенная по уравнению целевой функции, в множестве точек которой целевая функции принимает одно и то же значение.

Вектор-градиент целевой функции – вектор, координаты начала которого совпадают с началом координат, а координатами конца, являются частные производные этой функции, вычисленные в некоторой точке.
Свойство вектора-градиента – указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в окрестности выбранной точки и он перпендикулярен линиям уровня.

Алгоритм построения линии уровня:
в ОДР произвольно выбирается точка, с координатами x1 и x2 удобными для вычисления;
координаты выбранной точки подставляются в уравнение целевой функции;
рассчитывается значение целевой функции;

Слайд 38 Алгоритм построения линии уровня:
1) в ОДР произвольно выбирается

Алгоритм построения линии уровня:1) в ОДР произвольно выбирается точка, с координатами

точка, с координатами
удобными для вычисления (например, x1=2,

x2=1);

2) координаты выбранной точки подставляются в уравне-
ние целевой функции: F(x) = 5x1 + 4x2 = 5·2 + 4·1 = 14 ;

Слайд 39 Алгоритм построения линии уровня:
3) Записывается уравнение целевой функции

Алгоритм построения линии уровня:3) Записывается уравнение целевой функции 5x1 + 4x2


5x1 + 4x2 = 14 ;
4) По уравнению целевой

функции F(x) находятся
координаты второй точки для построения линии уровня;

5) Через две точки проводится линия уровня F(x)=14;

Линия уровня F(x)=14

Слайд 40 Построение вектора-градиента
Координатами конца вектора-градиента являются
коэффициенты при переменных

Построение вектора-градиентаКоординатами конца вектора-градиента являются коэффициенты при переменных в целевой функции

в целевой функции
(5,4)

5x1 + 4x2 = 14 ;

2) Начало вектора-градиента совпадает с началом
координат;

3) Строим вектор-градиент.

Слайд 41 Вектор-градиент
Линия уровня
Оптимум

Вектор-градиентЛиния уровняОптимум

Слайд 42 В крайней, угловой точке достигается максимум целевой функции.

В крайней, угловой точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат

Для нахождения координат этой точки достаточно решить систему из

двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума:
6х1 + 4 х2 = 24,
х1 + 2х2 = 6
Решая систему, получаем х1= 3, х2 = 1.5
Ответ
Для получения максимальной прибыли - 21 тыс. ден. единиц (F(x) = 5x1 + 4x2 =5×3+4×1.5=21) необходимо выпустить 3 тонны первого продукта и полторы тонны второго.

Слайд 43 Особые случаи решения ЗЛП
В процессе решения ЗЛП

Особые случаи решения ЗЛП В процессе решения ЗЛП могут встретить-ся особые

могут встретить-ся особые случаи:

Неединственность оптимального решения;
Вырожденность базисного решения;
Отсутствие конечного

оптимума;
Область допустимых решений представлена одной точкой;
Множество допустимых решений пусто.

Слайд 44 Неединственность оптимального решения
Построим область допустимых решений

Неединственность оптимального решенияПостроим область допустимых решений

Слайд 45 Неединственность оптимального решения
Задача имеет

Неединственность оптимального решения Задача имеет бесконечное множествоOpt решений, которые задают

бесконечное множество
Opt решений, которые задают координаты
точек отрезка AB. Но

среди этих решений
существует два базисных в точках A и B.

A

B

Линия уровня совпадает
с линией ограничений

Здесь коэффициенты при переменных в огран. и в Ц.Ф. пропорциональны.

Слайд 46 Вырожденность базисного решения
Построим область допустимых решений

Вырожденность базисного решенияПостроим область допустимых решений

Слайд 47 Вырожденность базисного решения
A
В т. A пересекаются

Вырожденность базисного решенияA В т. A пересекаются три прямых и в

три прямых и в этой
точке имеем систему из

трех уравнений с двумя
неизвестными, т.е. одно уравнение избыточно.
Задача становится переопределенной.

Вырожденность вызывает:
- зацикливание в решении;
- появление вырожденного
неоптимального решения.

Слайд 48 Отсутствие конечного оптимума
Построим область допустимых решений

Отсутствие конечного оптимумаПостроим область допустимых решений

Слайд 49 Отсутствие конечного оптимума
Здесь область допустимых
решений представлена
незамкнутым множеством.
Вывод.

Отсутствие конечного оптимумаЗдесь область допустимых решений представленанезамкнутым множеством.Вывод. Функция неограниченно .Задача не имеет конечного opt.∞

Функция неограниченно .
Задача не имеет конечного opt.
∞

Слайд 50 Область допустимых решений представлена одной точкой
Построим область допустимых

Область допустимых решений представлена одной точкойПостроим область допустимых решений для случая,

решений для случая,
когда все линии пересекаются в одной

точке.

Слайд 51 Область допустимых решений представлена одной точкой
В данном случае

Область допустимых решений представлена одной точкойВ данном случае точки максимума и минимума целевой функции f(x) совпадают.

точки максимума и минимума
целевой функции f(x) совпадают.

Слайд 52 Множество допустимых решений пусто
Начинаем строить область допустимых решений.

Множество допустимых решений пустоНачинаем строить область допустимых решений.

Слайд 53 Множество допустимых решений пусто
После нанесения третьего ограничения, область

Множество допустимых решений пустоПосле нанесения третьего ограничения, область допустимых решений исчезает,


допустимых решений исчезает, т.е. множество пусто.
Данный случай имеет место,

когда система
неравенств несовместна.

Слайд 54 Экономический смысл основных и дополнительных переменных в канонической

Экономический смысл основных и дополнительных переменных в канонической форме задачи об

форме задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (на примере

задачи о коврах).



7x1 +2x2 +2x3 +6x4+х5= 80,
5x1 +8x2 +4x3 +3x4+х6= 480,
2x1 +4x2 +x3 +8 x4 +х7 =130,
x1, x2, x3, x4, х5, х6, х7 ≥ 0.

  • Имя файла: issledovanie-operatsiy-i-metody-optimizatsii.pptx
  • Количество просмотров: 115
  • Количество скачиваний: 3
- Предыдущая Карта автозаводов России
Следующая - Возникновение мирового рынка

Похожие презентации

Конспект урока по теме Умножение на трехзначное число 3 класс. (Петерсон) план-конспект урока по математике (3 класс) Конспект урока по теме Умножение на трехзначное число 3 класс. (Петерсон) план-конспект урока по математике (3 класс) 175
Треннажер для решения уравнений при помощи теоремы Виета Треннажер для решения уравнений при помощи теоремы Виета 101
Презентация нахождение неизвестного слагаемого Презентация нахождение неизвестного слагаемого 163
Древний Египет Древний Египет 94
Решение задач на кратное сравнение 3 класс Решение задач на кратное сравнение 3 класс 84
Урок-сказка. По дороге к деду Морозу Урок-сказка. По дороге к деду Морозу 101
Единицы измерения площадей Единицы измерения площадей 73
Презентация. Состав чисел.1 класс Презентация. Состав чисел.1 класс 73
Решай, считай, отгадвыай Решай, считай, отгадвыай 74
Логарифмические спирали Логарифмические спирали 93
Геометрические фигуры. презентация к занятию по математике (средняя группа) по теме Геометрические фигуры. презентация к занятию по математике (средняя группа) по теме 158
Презентация Веселая математика презентация по математике Презентация Веселая математика презентация по математике 31
pobeda 1 pobeda 1 117
Презентация по математике на тему Алғыр алтау (5 класс) Презентация по математике на тему Алғыр алтау (5 класс) 95
Урок 35 Число и цифра 6 Урок 35 Число и цифра 6 17
prezentatsiya prezentatsiya 86
Связь музыки и математики Связь музыки и математики 100
Презентация по математике на тему Деление числа в данном отношении (6 класс) Презентация по математике на тему Деление числа в данном отношении (6 класс) 221
Доли Доли 69
Физическое и математическое моделирование Физическое и математическое моделирование 91
Презентация к уроку Прибавить и вычесть 2. Составление таблиц 1 класс презентация к уроку по математике (1 класс) Презентация к уроку Прибавить и вычесть 2. Составление таблиц 1 класс презентация к уроку по математике (1 класс) 82
Составление таблиц прибавления и вычитания двух Составление таблиц прибавления и вычитания двух 92
1 класс, урок математики Компоненты вычитания программа Перспектива презентация к уроку по математике (1 класс) 1 класс, урок математики Компоненты вычитания программа Перспектива презентация к уроку по математике (1 класс) 98
Занимательная математика для 7 класс Занимательная математика для 7 класс 83
Презентация внеклассного мероприятия Путешествие по Волге с математикой Презентация внеклассного мероприятия Путешествие по Волге с математикой 75
занимательная математика презентация к уроку по математике занимательная математика презентация к уроку по математике 113
Презентация Построй дом к уроку математике по теме Вычитание однозначного числа из двузначного без перехода через разряд презентация к уроку по математике (2 класс) Презентация Построй дом к уроку математике по теме Вычитание однозначного числа из двузначного без перехода через разряд презентация к уроку по математике (2 класс) 108
Модуль числа Модуль числа 119
Презентация Таблица единиц времени(обобщающий урок) презентация к уроку по математике (4 класс) Презентация Таблица единиц времени(обобщающий урок) презентация к уроку по математике (4 класс) 101
Всё о неравенствах Всё о неравенствах 77