Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Исследование функций и построение графиков

Содержание

Теоретический материал
Исследование функций и построение графиков Теоретический материал Содержание1) Область определения функции2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность)4) Точки пересечения функции Область определения функцииОпределение. Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, при которых функция определена.Примеры. Четные и нечетные функцииФункция y=f(x) называется четной, еслиФункция y=f(x) называется нечетной, если Периодичные функцииОпределение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, Точки пересечения с осями координат    При исследовании функции необходимо Непрерывность Характер точек разрыва    Функция у=f(x) называется непрерывной в Точки разрыва функцииОпределение. Точкой разрыва функции называется точка из области определения функции, Классификация точек разрыва Точки устранимого разрываЕсли в точке х0 существуют конечные односторонние Классификация точек разрыва Точки скачка  Если в точке х0 существуют конечные Классификация точек разрыва Точки разрыва II рода  Если хотя бы один Вертикальные асимптотыПрямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции при Наклонные асимптоты Если существует прямая y=kx+b такая, что , то эта прямая Экстремумы функции     Пусть функция f (x) определена и Исследование функции на монотонностьКритические точки функции х=±1. f '(x)>0 при х1; f '(x) Выпуклость функции    Функция у=f(х), определенная на интервале (а, b), Выпуклость функции. Точки перегиба     Если график функции в Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба   Достаточное условие Практический материал Исследуем функцию 4). Найдём наклонные асимптоты при 5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: 6) Найдём производную:   Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех 7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель 8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). 4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Теперь найдём значение b по формуле Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастанием, Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу графика видно, Ясно, что на интервале
Слайды презентации

Слайд 2 Теоретический материал

Теоретический материал

Слайд 3 Содержание
1) Область определения функции
2) Свойства функции (четность, нечетность,

Содержание1) Область определения функции2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность)4) Точки пересечения

периодичность)
4) Точки пересечения функции с осями координат
5) Непрерывность функции.

Характер точек разрыва
6) Асимптоты
7) Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность
8) Выпуклость функции. Точки перегиба



Слайд 4 Область определения функции

Определение. Областью определения функции называется множество

Область определения функцииОпределение. Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, при которых функция определена.Примеры.

значений независимой переменной, при которых функция определена.
Примеры.


Слайд 5 Четные и нечетные функции
Функция y=f(x) называется четной, если

Функция

Четные и нечетные функцииФункция y=f(x) называется четной, еслиФункция y=f(x) называется нечетной, если

y=f(x) называется нечетной, если


Слайд 6 Периодичные функции
Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует

Периодичные функцииОпределение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число

такое положительное число Т, что если х принадлежит Df

, то х±Т также принадлежит Df и f(x+T)=f(T).

Слайд 7 Точки пересечения с осями координат

Точки пересечения с осями координат  При исследовании функции необходимо найти

При исследовании функции необходимо найти координаты точек пересечения графика

функции с осями координат.

Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох находятся из системы уравнений у=f(x) и у=0, а ординаты точек пересечения графика функции с осью Оу находятся из системы уравнений у=f(x) и х=0.

Слайд 8 Непрерывность Характер точек разрыва
Функция у=f(x)

Непрерывность Характер точек разрыва  Функция у=f(x) называется непрерывной в точке

называется непрерывной в точке х0, если функция определена в

точке х0 и предел функции в точке х0 равен значению функции в точке х0.

Функции, непрерывные в каждой точке из области определения функции, называются непрерывными функциями.
Примеры непрерывных функций: y=cosx, y=sinx, y=ex , y=Pn(x) (многочлен степени n).


Слайд 9 Точки разрыва функции
Определение. Точкой разрыва функции называется точка

Точки разрыва функцииОпределение. Точкой разрыва функции называется точка из области определения

из области определения функции, в которой функция не является

непрерывной.
Пример. Функция

разрывна в 0, так как


Слайд 10 Классификация точек разрыва Точки устранимого разрыва
Если в точке х0

Классификация точек разрыва Точки устранимого разрываЕсли в точке х0 существуют конечные

существуют конечные односторонние пределы функции, равные между собой, но

не равные значению функции в точке х0, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.


Слайд 11 Классификация точек разрыва Точки скачка
Если в точке

Классификация точек разрыва Точки скачка Если в точке х0 существуют конечные

х0 существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между

собой, то точка х0 называется точкой скачка (точкой разрыва I рода).


Слайд 12 Классификация точек разрыва Точки разрыва II рода
Если

Классификация точек разрыва Точки разрыва II рода Если хотя бы один

хотя бы один из односторонних пределов функции в точке

х0 не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва II рода.

Слайд 13 Вертикальные асимптоты
Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции

Вертикальные асимптотыПрямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции при

при , если



или

.


Слайд 14 Наклонные асимптоты
Если существует прямая y=kx+b такая, что

Наклонные асимптоты Если существует прямая y=kx+b такая, что , то эта


, то эта прямая называется
асимптотой графика функции f при


.

Для того чтобы прямая y=kx+b была асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

,

.


Слайд 15 Экстремумы функции
Пусть функция

Экстремумы функции   Пусть функция f (x) определена и непрерывна

f (x) определена и непрерывна на интервале (а, b).

Точка х0 интервала (а, b) называется точкой строгого максимума (минимума) функции f (x), если в некоторой проколотой окрестности точки х0 f (x)< f (x0) ( f (x) > f (x0) ).
Точки минимума и точки максимума функции называются точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума. Пусть точка х0 - точка экстремума функции. Тогда либо производная функции в этой точке равна 0, либо не существует.


Слайд 16 Исследование функции на монотонность
Критические точки функции х=±1. f

Исследование функции на монотонностьКритические точки функции х=±1. f '(x)>0 при х1; f '(x)

'(x)>0 при х1; f '(x)

-1

функция возрастает

функция убывает

Известно, что если f '(x)>0 (f '(x)>0) в (а, b), то функция f (x) строго возрастает (строго убывает) в (а, b).
Рассмотрим функцию f(x) = x + 1|x


Слайд 17 Выпуклость функции
Функция у=f(х), определенная

Выпуклость функции  Функция у=f(х), определенная на интервале (а, b), называется

на интервале (а, b), называется выпуклой вверх (вниз) в

интервале (а, b), если для любых х1и х2 из интервала (а, b) из того, что х1<х2, следует, что часть графика функции между точками (х1,f(х1)) и (х2,f(х2)) лежит выше (ниже) хорды, соединяющей эти точки.

Слайд 18 Выпуклость функции. Точки перегиба
Если

Выпуклость функции. Точки перегиба   Если график функции в точке

график функции в точке (х0, f(x0)) переходит с одной

стороны касательной на другую, то точка х0 называется точкой перегиба функции f(x).


Также говорят, что график функции f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a, b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.


Слайд 19 Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба

Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба  Достаточное условие

Достаточное условие строгой выпуклости функции

Если на интервале (а,b) f ''(x)>0, то на интервале (а,b) функция выпукла вниз, и если на интервале f ''(x)<0, то
на интервале (а,b) функция выпукла вверх.

Достаточное условие строгой выпуклости функции

Если в левой и правой полуокрестностях некоторой точки х0 f ''(x) имеет противоположные знаки, то точка х0 – точка перегиба функции.


Слайд 20 Практический материал

Практический материал

Слайд 21 Исследуем функцию

Исследуем функцию       и построим её

и построим её

график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось
2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
Периодической функция не является.
3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.



Слайд 22 4). Найдём наклонные асимптоты при

4). Найдём наклонные асимптоты при     в виде

в виде


. Имеем:




Таким образом, асимптотой как при , так и при
служит прямая .


Слайд 23 5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем:

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем:   f(0)


f(0) = 0, причём x=0

- единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oy в начале координат.
Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.


Слайд 24 6) Найдём производную:



Очевидно, что f´(x)

6) Найдём производную:  Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех

≥ 0 при всех ;

единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.



Слайд 25 7) Найдём вторую производную:



Знаменатель этой дроби положителен

7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x.

при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3,

при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0, √3, являются точками перегиба.



Слайд 26 8). Теперь мы можем построить график с учётом

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов

всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:



Слайд 27 Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и

Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график.

построим её график.
1). Ясно, что D(f) = R,

поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.
2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.
3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.


Слайд 28 4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y

4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx +

= kx + b. Коэффициент k найдём по формуле

: при имеем


так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при .
При имеем:


Слайд 29 Теперь найдём значение b по формуле

Теперь найдём значение b по формуле

.
Имеем:



Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox.
5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и
.





Слайд 30 Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку

Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при

ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при

и при и f(x)<0 при .
6) Вычислим производную:

Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество
На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка   -√2 - точка локального максимума.




Слайд 31 Значение функции в этой точке равно


В точке

Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется

√2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка

локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:

Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

Эскиз графика
функции f(x)




Слайд 32
Становится очевидно, что область значений функции -- это

7)

Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу графика

По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых

кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную:

Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.

  • Имя файла: issledovanie-funktsiy-i-postroenie-grafikov.pptx
  • Количество просмотров: 116
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Серёжковый дождь