Презентация на тему Функции, их свойства и графики

нечетные функции.
Ограниченные и неограниченные функции.

Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому

элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений

комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого

состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису , так же функции используют для графического показания волновых колебаний звука.

формулой вида y=ax2+bx+c, где а0 называют квадратичной.
У=х2

вид y=ax2
График – парабола.
Свойства функции:
D(y)=R (симметричное множество).
Функция четная

т.к. y(-x) = y(x). Ось симметрии x=0.
Если х=0, то у=0. т.е проходит через начало координат (0,0).
Если х > 0,то у>0; если x<0, то у>0.
Функция возрастает на [0; ∞),
убывает (- ∞;0].
6. E(y)= [0; ∞).
7. Yнаим=0.
8. Ограничена снизу.

х

у

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

6
5
4
3
2
1


-1
-2
-3
-4
-5
-6

y=ax2

вид y=ax2
График – парабола.
Свойства функции:
D(y)=R (симметричное множество).
Функция четная

т.к. y(-x) = y(x). Ось симметрии x=0.
Если х=0, то у=0. т.е проходит через начало координат (0,0).
Если х > 0,то у0; если x<0, то у0.
Функция возрастает на (-∞;0,
убывает [∞;0).
6. E(y)= (∞;0].
7. Yнаим=0.
8. Ограничена сверху.

х

у

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

6
5
4
3
2
1


-1
-2
-3
-4
-5
-6

y=ax2

оси ординат.
Графики функций y=|f(x)| и y=f(|x|).

множестве Х, если для любых двух значений аргумента х1

и х2 множества Х, таких, что Х2>X1, выполняется неравенство f(x2)>f(x1)

Функция f называется убывающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х1 и х2 множества Х, таких, что Х2>X1, выполняется неравенство f(x2)

лишь при одном значении аргумента.
Если функция y=f(x) является возрастающей

(убывающей), то функция y=-f(x) является убывающей (возрастающей).
Сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, а сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.
Если обе функции f и g возрастающие или обе убывающие, то функция ф(х)=f(g(x))- возрастающая функция.
Если функция y=f(x) монотонная на множестве Х и сохраняет на этом множестве знак, то функция g(x)=1:f(x) на множестве Х имеет противоположный характер монотонности.

f называется четной, если для любого х принадлежит D(f)

верно равенство f(-x)=f(x). Функция f называется нечетной, если для любого х принадлежит D(f) верно равенство f(-x)=-f(x).
График четной функции f симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

График не четной функции.

График четной функции.

ограниченной, если существует два числа а и b такие,

что для любого аргумента х и y выполняется неравенство a  f(x)  b.

для любого х принадлежит D(f) выполняется неравенство f(x) 

а, где а - некоторое число.

Функция f ограничена сверху, если для любого х принадлежит D(f) выполняется неравенство f(x)  b, где b - некоторое число.

Функция ограничена снизу.

Функция ограничена сверху.

х

у

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

6
5
4
3
2
1


-1
-2
-3
-4
-5
-6

Х=1

Х=-1

функции y = k f (x) при k > 1 можно получить из

графика функции y = f (x) растяжением от оси x исходного графика в k раз, а при 0 < k < 1 - сжатием к оси x графика функции y = f (x) в 1/k раз.

График функции y = f (k x) получается из графика функции y = f (x) сжатием в k раз к оси OY при k > 1 и растяжением в 1/k   раз от оси OY при 0 < k < 1.
При k = 1 исходный и конечный графики совпадают. При k < 0 график не только растягивается (сжимается), но и отражается относительно оси OY.

графика функции y=f(x), где f(x)0,
Вместо участков графика функции y=f(x),

где f(x)<0, построить их зеркальное отражение относительно оси х.

если известен график функции y=f(x), нужно оставить на месте

ту часть графика функции y=f(x), которая соответствует неотрицательной части области определения функции y=f(x). Отразив эту часть симметрично относительно оси у, получим другую часть графика, соответствующую отрицательной части области определения.