Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Обратная связь

Презентация на тему Числовые ряды

Содержание

2. Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую
3. ПримерыРассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +…Очевидно, сумма
4. Примеры Известно, что геометрическая прогрессия со
5. Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные суммы
6. Пример сходящегося ряда Показать, что ряд
7. Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся ряды
8. Свойства сходящихся рядов От сходящегося ряда
9. Гармонический ряд Исследуем ряд
10. Продолжение Найдем частичные суммы второго ряда:
11. Признаки сходимости ряда
12. Пример расходящегося ряда Пример 1. Ряд
13. Знакоположительные ряды
14. Признак сравнения. Пусть даны
15. Признак сравнения в предельной форме
16. Примеры В качестве рядов для сравнения
17. Примеры Исследовать на сходимость ряды
18. Примеры Ряд
19. Признак Даламбера Если существует конечный
20. Примеры Исследовать на сходимость ряд
21. Признак Коши Если существует конечный
22. Примеры Ряд
23. Интегральный признак
24. Обобщенный гармонический ряд Исследуем ряд
25. Пример Исследовать на сходимость ряд
26. Продолжение
27. Знакопеременные ряды
28. Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося ряда
29. Примеры Исследовать на сходимость ряды:
30. Примеры 2) общий член ряда
31. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
32. Абсолютно сходящийся ряд Определение. Если
33. Условно сходящийся ряд Определение. Если
34. Пример Ряд
35. Скачать презентацию
36. Похожие презентации

Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму

ПримерыРассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +…Очевидно, сумма четного числа его членов равна

Примеры Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы,

Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные суммы

Пример сходящегося ряда Показать, что ряд

Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е.

Свойства сходящихся рядов От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов

Гармонический ряд Исследуем ряд , называемый

Продолжение Найдем частичные суммы второго ряда:

Признаки сходимости ряда Необходимое условие сходимости ряда.

Признак сравнения в предельной форме Если существует конечный и

Примеры В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд

Примеры Исследовать на сходимость ряды а)

Признак Даламбера Если существует конечный

Примеры Исследовать на сходимость ряд Так

Обобщенный гармонический ряд Исследуем ряд

Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:

Примеры Исследовать на сходимость ряды: 1)

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Если сходится ряд

Абсолютно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд

Условно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд

Остаток ряда и его оценка Определение. Если числовой ряд сходится, то

Слайды презентации

Слайд 2 Определение числового ряда
Рассмотрим некоторую числовую последовательность

. Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму

Определение. Выражение (1)

называется числовым рядом, - общий член ряда.

Слайд 3 Примеры
Рассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +…
Очевидно, сумма четного

ПримерыРассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +…Очевидно, сумма четного числа его членов равна нулю,

числа его членов равна нулю, а нечетного –единице. Такой

ряд не имеет суммы.

Слайд 4 Примеры
Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем,

меньшим единицы,

сходится, если

Слайд 5 Понятие сходящегося ряда
Опр. Конечные суммы

,

называются частичными суммами ряда (1).
Опр. Если существует конечный ,

то числовой ряд называется сходящимся, а
число - суммой ряда. Если равен

бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.

Слайд 6 Пример сходящегося ряда
Показать, что ряд

сходится

и найти его сумму.
Общий член ряда .

Тогда , , ,…

Слайд 7 Свойства сходящихся рядов
1) Сходящиеся ряды можно

почленно складывать, т.е.

.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак ряда, т. е.

Слайд 8 Свойства сходящихся рядов
От сходящегося ряда можно

отбросить конечное число членов или наоборот прибавить конечное число

слагаемых и при этом сходимость ряда не изменится.

Слайд 9 Гармонический ряд
Исследуем ряд

Гармонический ряд Исследуем ряд , называемый гармоническим. Для решения

, называемый гармоническим.
Для решения задачи

запишем гармонический ряд в развернутом виде:

и наряду с ним рассмотрим ряд с меньшими членами

Слайд 10 Продолжение
Найдем частичные суммы второго ряда:

. Итак,гармонический ряд расходится, т. к. его сумма больше суммы вспомогательного ряда.

Слайд 11 Признаки сходимости ряда

Необходимое условие сходимости ряда.

Если ряд сходится, то .

Если же , то ряд расходится.

Слайд 12 Пример расходящегося ряда
Пример 1. Ряд

Пример расходящегося ряда Пример 1. Ряд расходится,

расходится, так

как
.

Слайд 13 Знакоположительные ряды

Слайд 14 Признак сравнения.

Пусть даны ряды

и

.
Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.

Слайд 15 Признак сравнения в предельной форме
Если

существует конечный и
отличный от нуля

, то

ряды и сходятся или

расходятся одновременно.

Слайд 16 Примеры
В качестве рядов для сравнения берут

гармонический ряд , который

расходится, и ряд или ,о
которых известно, что первый сходится, а второй при p>1сходится, а при p≤1 расходится.

Слайд 17 Примеры
Исследовать на сходимость ряды а)

и б)

.

Найдем предел отношения членов данного ряда и ряда ,с которым
сравниваем данный ряд.
. Ряд сходится.

Слайд 18 Примеры
Ряд

сравниваем с
гармоническим рядом

.

Так как , то данный ряд
расходится вместе с гармоническим рядом.

Слайд 19 Признак Даламбера
Если существует конечный

то
1)при ряд , где , сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.

Слайд 20 Примеры
Исследовать на сходимость ряд

Так как

, то и

.
Так как , то данный ряд сходится.

Слайд 21 Признак Коши
Если существует конечный

то

1)при ряд , где , сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.

Слайд 22 Примеры
Ряд

исследуем с помощью

признака Коши.

Вычислим .

Тогда
и ряд согласно признаку Коши расходится.

Слайд 23 Интегральный признак

Пусть члены ряда

положительны и при . Пусть функция при имеет значения , положительна и монотонно убывает при .Тогда числовой ряд сходится или расходится вместе с несобственным интегралом

Слайд 24 Обобщенный гармонический ряд
Исследуем ряд

.

Функция монотонно убывает.

Несобственный интеграл

= .Ряд расходится при p<1
и сходится при p>1 .

Слайд 25 Пример
Исследовать на сходимость ряд

. Члены ряда

положительны и монотонно убывают.
Функция , очевидно, также

положительна при x≥2 и монотонно убывает.

Слайд 26 Продолжение

.

Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд расходятся.

Слайд 27 Знакопеременные ряды

Слайд 28 Признак Лейбница
Пусть члены знакочередующегося ряда

Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1)

удовлетворяют условиям:
1)
и

2) .
Тогда знакочередующийся ряд сходится, причём его сумма S не превосходит его первого члена, т.е. .

Слайд 29 Примеры
Исследовать на сходимость ряды:

1)

, 2) .
1) члены знакочередующегося ряда

монотонно убывают и .

Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

Слайд 30 Примеры
2) общий член ряда

не стремится к нулю, так как

Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.

Слайд 31 Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Если сходится ряд

, то

знакопеременный ряд также сходится.

Слайд 32 Абсолютно сходящийся ряд
Определение.
Если

сходится ряд ,

то
знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Слайд 33 Условно сходящийся ряд
Определение.
Если

сходится ряд , а

ряд расходится, то
знакопеременный ряд
называется условно сходящимся.

Слайд 34 Пример
Ряд

абсолютно сходится, т.к.

ряд из модулей его членов
сходится. Ряд сходится условно, т.к. он согласно признаку Лейбница сходится, но ряд из модулей его членов, т.е. ряд
расходится вместе с гармоническим рядом .