Презентация на тему по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Теорема Кронекера — Капелли - урок 11-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Германия, ныне Легница, Польша в еврейской семье, за год

до смерти принял христианство.
Иностранный корреспондент Петербургской Академии наук (1872), член Берлинской АН (1861), профессор университета в Берлине. Основные труды по алгебре и теории чисел.
Большое значение имеют его исследования по арифметической теории алгебраических величин.

07.12.1823 — 29.12.1891

в Милане. В 1877 году окончил Римский университет.
В

1881 году стал профессором алгебраического анализа в университете Палермо. В 1886 году переехал в Неаполь и остался жить в этом городе до самой смерти. В Неапольском университете возглавил кафедру алгебры. С 1894 по 1910 годы, продолжая профессорскую деятельность, был редактором математического издания членом Национальной академии.

05.08.1855 — 28.01.1910

... + а1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +

… + a2nxn = b2
………………………………..
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

1

Это — критерий совместности СЛАУ, которая отвечает на первые два вопроса о совместности системы и количестве решений.

Теорема Кро́некера — Капе́лли

… ..a2n
........................
am1 am2 … amn

А – основная

матрица системы

B =

b1
b2
….
bm

В – матрица-столбец свободных членов.

A/B =

а11 а12 ... a1n b1
a21 a22 … a2n b2
..................... ....
am1 am2 … amn bm

А|В - расширенная матрица системы

Вспомним такие понятия как:

СЛАУ ( 1 )

(1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной

матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы

rang A/B = rang A

Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то система не имеет решения.

≠

rang (A) rang (A/B)

система несовместна.

система имеет единственное решение.

система совместна.

rang (A/B)= rang (A)= n

система имеет бесконечно много решений.

rang (A/B) = rang (A)< n

Где n число неизвестных переменных в заданной СЛАУ

и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
Х1 +

Х2 = 3
Х1 – Х2 = 1

Решение.

А =

1
1 -1

- основная матрица.

A | B =

1 3
1 -1 1

- расширенная матрица.

-1

= (-1-1)= -2
Старший минор не равен нулю

rang (A)

= 2

2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ

Μ2 =

1

1 3
-1 1

= (1+3)= 4

Старший минор не равен нулю

rang (AΙΒ) = 2

Получаем: rang(A) = rang(A|B)=2, количество переменных в системе n=2, то по теореме Кронекера - Капелли система имеет решение, и только одно.

Ответ: Система является - совместной определённой

и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
Х1 +

Х2 = 3
2Х1 + 2Х2 = 6

Решение.

А =

1
2 2

- основная матрица.

A | B =

1 3
2 2 6

- расширенная матрица.

=2
1

rang (A) = 1
2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ
Μ1

= Ι2Ι = 2

1

rang (AΙΒ) = 1

Получилось, что rang(A) = rang(A|B)= 1, но n=2. (1<2) Следовательно, система совместна, имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Система является - совместной неопределённой

и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
Х1 +

Х2 = 3
Х1 + Х2 = 7

Решение.

А =

1
1 1

- основная матрица.

A | B =

1 3
1 1 7

- расширенная матрица.

=1
1

rang (A) = 1
2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ
Μ2

=

1

1 3
1 7

= (7-3)= 4

Старший минор не равен нулю

rang (AΙΒ) = 2

Итак, rang(A) = 1, rang(A|B) = 2, они не равны, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Система является - несовместной

и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
Х1

+ Х2 = 25
Х1 - Х2 = 0

2

2

Решение.

Эту систему не исследуем, так как теорема
Кронекера - Капелли применима только к системам линейных алгебраических
уравнений.

и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
Задание.
Х1 +

2Х2 = 0
3Х1 + 5Х2 = 0

Решение.

А =

2
3 5

- основная матрица.

A | B =

2 0
3 5 0

- расширенная матрица.

5

= (5-6)= -1

rang (A) = 2
2) Найдём ранг

расширенной матрицы АΙΒ

Μ2 =

1

1 2
3 5

= (5-6)= -1

rang (AΙΒ) = 2

Количество переменных n=2. rang(A) = rang(A|B) = 2

Ответ: система является совместимой и имеет единственное решение. А так как система однородная, то это единственное решение и есть (0;0).

В однородных системах ранги основной матрицы и
расширенной всегда равны между собой. Столбец свободных членов в расширенной матрице – нулевой.

ПРИМЕЧАНИЕ

и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
Задание.
2Х1 +

3Х2 = 0
6Х1 + 9Х2 = 0

Решение.

А =

2 3
6 9

- основная матрица.

A | B =

2 3 0
6 9 0

- расширенная матрица.

3
6 9

2 3
0 0

⇔

rang (A) =

1

2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ

A | B =

2 3 0
6 9 0

2 3 0
0 0 0

⇔

rang (АΙΒ) = 1

rang(A) = rang(A|B) = 1

Итак:

Количество переменных n=2.

Значит, система имеет бесконечное множество решений

Ответ: Система является - совместной неопределённой

и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
Задание.
3x +

4y + 7z = 0
x - 5y + 6z = 1
8x + y – z = 10

Решение.

А =

3 4 7
1 -5 6
8 1 -1

- основная матрица.

A | B =

3 4 7 0
1 -5 6 1
8 1 -1 10

- расширенная матрица.

+280-18+4 = 480

rang (A) = 3
3 4

7
1 -5 6
8 1 -1

2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ

Μ3 =

1

3 4 7
1 -5 6
8 1 -1

= 480

rang (АΙΒ) = 3

Ответ: Это неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Система является - совместной определённой - (решение только одно).

Старший минор не равен нулю

Старший минор не равен нулю