Что такое findtheslide.com?

FindTheSlide.com - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация по математике на тему Предел функции

Бесконечные величины и правила работы с ними.Бесконечно большим или просто бесконечным, называется переменное число, стремящееся превзойти по абсолютной величине всякую границу, как бы велика она не была, а бесконечно малым называют всякое переменное число, имеющее пределом
Предел функции Бесконечные величины и правила работы с ними.Бесконечно большим или просто бесконечным, называется Две бесконечно малые величины называются величинами одного и того же порядка, если Правила работы с бесконечными величинами Предел функцииПредел функции при        Рассмотрим Из приведенной таблицы и графика видно, что значение функции при росте значения Обозначение пределаНаправление предела (к чему стремится х)ФункцияЗначение предела Аналогично вводится понятие предела функции в общем случаеЧисло b является пределом функции Теоремы о пределахПредел постоянного равен этому постоянному.Предел алгебраической суммы двух функций равен Теоремы о пределах3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов от этих Следствия из теорем о пределахПостоянный множитель можно вынести за знак предела.Если n – натуральное число то: 3. Предел многочлена (целой рациональной функции)  при 4. Предел дробно-рациональной функции   при При решении задач на поиск пределов функции необходимо обращать внимание на возникновении Производная Задача о скорости движенияПусть тело движется прямолинейно и задан закон его движения За промежуток времени от t до t+∆t т.е. за время ∆t тело Чем меньше промежуток ∆t, тем точнее средняя скорость будет соответствовать реальной скорости Определение производнойПроизводной функции     в точке х называется предел Общее правило поиска производнойПусть дана функция f(x), непрерывная и определенная в некоторой 2. Найдем приращение (изменение) функции.∆y=f(x+ ∆x)-f(x)3. Найдем отношение приращения функции к приращению Рассмотрим пример Таблица производных Основные правила дифференцирования.Пусть заданы две функции u(x) и v(x).Производная алгебраической суммы двух 3. Производная частного двух функций4. Производная сложной функции.   Пусть Дифференциал функцииДифференциалом функции f(x) в точке х называется главная, линейная относительно ∆х, Численные методы дифференцирования f(x)f(x+Δx) Геометрическим смыслом производной в данной точке является тангенс угла наклона касательной проведенной Производные высших порядков Использование производной для решения задач на экстремум функцииЗадача о квадратном ведре.Дан квадратный В общем случае задачи на экстремум решаются в следующей последовательности:Составляется уравнение в Применение производной для исследования функции.Производные при исследовании функций используются для:1. Определения интервалов 1. Для определения участков возрастания, уменьшения и постоянства функции, воспользуемся следующими признаками 2. Для поиска критических точек находят точки в которых производная функции равна нулю или не существует. 3. Поиск точек экстремумов функции производят среди критических точек 4. Анализ выпуклости функции 5. Анализ точек перегиба функции Достаточный признак точки перегиба.В точке (x0;f(x0)) существует касательная, y’’(x0)=0 (или не существует)
Слайды презентации

Слайд 1 Предел функции

Предел функции

Слайд 2 Бесконечные величины и правила работы с

Бесконечные величины и правила работы с ними.Бесконечно большим или просто бесконечным, ними.

Бесконечно большим или просто бесконечным, называется переменное число, стремящееся превзойти по абсолютной величине всякую границу, как бы велика она не была, а бесконечно малым называют всякое переменное число, имеющее пределом нуль.


Слайд 3 Две бесконечно малые величины называются величинами

Две бесконечно малые величины называются величинами одного и того же порядка, одного и того же порядка, если их отношение стремится к конечному пределу, отличному от нуля.

Если же отношение одной бесконечно малой величины β к другой α стремится к нулю, то говорят, что β бесконечно малая более высокого порядка, чем α.


Слайд 4 Правила работы с бесконечными величинами

Правила работы с бесконечными величинами

Слайд 5


Слайд 6


Слайд 7 Предел функции
Предел функции при

Предел функцииПредел функции при
Рассмотрим функцию при неограниченном росте величины х

Слайд 8 Из приведенной таблицы и графика видно,

Из приведенной таблицы и графика видно, что значение функции при росте что значение функции при росте значения аргумента постепенно приближается к 2.
Таким образом для функции может быть введено понятие предела функции.

Определение предела при
Число b называется пределом функции y=f(x) при ,
если каково бы ни было положительное число ε можно найти такое N, что для всех х>N выполняется неравенство


Символическая запись такого предела выглядит так:

Слайд 9 Обозначение предела
Направление предела (к чему стремится

Обозначение пределаНаправление предела (к чему стремится х)ФункцияЗначение предела х)

Функция

Значение предела


Слайд 10


Слайд 11 Аналогично вводится понятие предела функции в

Аналогично вводится понятие предела функции в общем случаеЧисло b является пределом общем случае

Число b является пределом функции
при , если каково бы ни было значение ε, можно найти такие N и M, что для всех х, лежащих в интервале
(N; M) (за исключением, быть может, точки х0), выполняется неравенство


Символическая запись предела функции при


Слайд 12


Слайд 13 Теоремы о пределах
Предел постоянного равен этому

Теоремы о пределахПредел постоянного равен этому постоянному.Предел алгебраической суммы двух функций постоянному.

Предел алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме пределов от этих функций.




Слайд 14 Теоремы о пределах
3. Предел произведения двух

Теоремы о пределах3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов от функций равен произведению пределов от этих функций.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов от этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю




Слайд 15 Следствия из теорем о пределах
Постоянный множитель

Следствия из теорем о пределахПостоянный множитель можно вынести за знак предела.Если n – натуральное число то: можно вынести за знак предела.


Если n – натуральное число то:

Слайд 16
3. Предел многочлена (целой рациональной функции)

3. Предел многочлена (целой рациональной функции)  при
при равен значению этого многочлена при х=а.






Слайд 17 4. Предел дробно-рациональной функции



4. Предел дробно-рациональной функции   при при , равен значению этой функции при х=а, при условии что а входит в область допустимых значений функции.

Слайд 18


Слайд 19 При решении задач на поиск пределов

При решении задач на поиск пределов функции необходимо обращать внимание на функции необходимо обращать внимание на возникновении неопределенностей. В этом случае для решения задач необходимо применять специальные методы.

Слайд 20 Производная

Производная

Слайд 21 Задача о скорости движения
Пусть тело движется

Задача о скорости движенияПусть тело движется прямолинейно и задан закон его прямолинейно и задан закон его движения , т.е. известно расстояние s точки от некоторого начала отсчета в каждый момент времени t.
В момент времени t пройденное расстояние равно s(t), в момент времени t+∆t расстояние равно s(t+ ∆t)

Слайд 22 За промежуток времени от t до

За промежуток времени от t до t+∆t т.е. за время ∆t t+∆t т.е. за время ∆t тело пройдет расстояние
∆s=s(t+∆t )-s(t).
Средняя скорость движения за промежуток времени ∆t будет


Средняя скорость в момент времени t в общем случае зависит от ∆t.

Слайд 23 Чем меньше промежуток ∆t, тем точнее

Чем меньше промежуток ∆t, тем точнее средняя скорость будет соответствовать реальной средняя скорость будет соответствовать реальной скорости тела в момент времени t.
В предельном случае можно записать


Пределы подобного вида очень часто встречаются в математике. Это привело в возникновению понятия производной.


Слайд 24 Определение производной
Производной функции

Определение производнойПроизводной функции     в точке х называется в точке х называется предел отношения приращения(изменения) функции к приращению (изменению) аргумента, при стремлении изменения аргумента к нулю, если этот предел существует

Слайд 25 Общее правило поиска производной
Пусть дана функция

Общее правило поиска производнойПусть дана функция f(x), непрерывная и определенная в f(x), непрерывная и определенная в некоторой области. Необходимо найти производную этой функции.
Придадим аргументу х некоторое приращение (изменение) ∆х и подставим в выражение функции вместо х новое значение х+∆х. Найдем новое измененное значение функции при новом значении аргумента.
y+ ∆y=f(x+ ∆х)

Слайд 26 2. Найдем приращение (изменение) функции.
∆y=f(x+ ∆x)-f(x)
3.

2. Найдем приращение (изменение) функции.∆y=f(x+ ∆x)-f(x)3. Найдем отношение приращения функции к Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента


4. Находим предел полученного отношения при



Этот предел и есть производная исходной функции f(x)

Слайд 27 Рассмотрим пример

Рассмотрим пример

Слайд 28


Слайд 29


Слайд 30 Таблица производных

Таблица производных

Слайд 31 Основные правила дифференцирования.
Пусть заданы две функции

Основные правила дифференцирования.Пусть заданы две функции u(x) и v(x).Производная алгебраической суммы u(x) и v(x).
Производная алгебраической суммы двух функций


Производная произведения двух функций.

Слайд 32 3. Производная частного двух функций



4. Производная

3. Производная частного двух функций4. Производная сложной функции.   Пусть сложной функции.
Пусть тогда говорят, что y является сложной функцией. Её производная находится по формуле

Слайд 33 Дифференциал функции
Дифференциалом функции f(x) в точке

Дифференциал функцииДифференциалом функции f(x) в точке х называется главная, линейная относительно х называется главная, линейная относительно ∆х, часть приращения функции

При можно записать дифференциал в виде

И следовательно производную
можно записать в виде

Слайд 34 Численные методы дифференцирования

Численные методы дифференцирования

Слайд 35 f(x)
f(x+Δx)

f(x)f(x+Δx)

Слайд 36 Геометрическим смыслом производной в данной точке

Геометрическим смыслом производной в данной точке является тангенс угла наклона касательной является тангенс угла наклона касательной проведенной к графику функции через данную точку.
На этом основан геометрический метод дифференцирования.

Геометрические методы дифференцирования


Слайд 37


Слайд 38 Производные высших порядков

Производные высших порядков

Слайд 39 Использование производной для решения задач на

Использование производной для решения задач на экстремум функцииЗадача о квадратном ведре.Дан экстремум функции

Задача о квадратном ведре.
Дан квадратный лист металла с ребром равным а. По углам листа делают вырезы размером х, сгибают лист по вырезам и запаивают швы, получается квадратное ведро. Необходимо узнать при какой величине выреза х объем ведра будет максимальный

a

x


Слайд 40


Слайд 41


Слайд 42 В общем случае задачи на экстремум

В общем случае задачи на экстремум решаются в следующей последовательности:Составляется уравнение решаются в следующей последовательности:
Составляется уравнение в левой части которого находится величина экстремум которой ищется, а в правой переменная от которой этот экстремум зависит.
Находится производная полученной функции и приравнивается к нулю
Решается полученное уравнение относительно переменной.
Анализируется полученные решения.

Слайд 43 Применение производной для исследования функции.
Производные при

Применение производной для исследования функции.Производные при исследовании функций используются для:1. Определения исследовании функций используются для:
1. Определения интервалов возрастания и убывания функции.
2. Поиска точек максимумов и минимумов функции, точек перегибов функции.
3. Поиска участков выпуклости и вогнутости исследуемой функции
4. Поиска точек перегиба функции(если они есть)

Слайд 44 1. Для определения участков возрастания, уменьшения

1. Для определения участков возрастания, уменьшения и постоянства функции, воспользуемся следующими признаками и постоянства функции, воспользуемся следующими признаками

Слайд 45 2. Для поиска критических точек находят

2. Для поиска критических точек находят точки в которых производная функции равна нулю или не существует. точки в которых производная функции равна нулю или не существует.

Слайд 46 3. Поиск точек экстремумов функции производят

3. Поиск точек экстремумов функции производят среди критических точек среди критических точек

Слайд 47


Слайд 48 4. Анализ выпуклости функции

4. Анализ выпуклости функции

Слайд 49


Слайд 50 5. Анализ точек перегиба функции

5. Анализ точек перегиба функции

Слайд 51 Достаточный признак точки перегиба.
В точке (x0;f(x0))

Достаточный признак точки перегиба.В точке (x0;f(x0)) существует касательная, y’’(x0)=0 (или не существует касательная, y’’(x0)=0 (или не существует) и при переходе через точку x0y’’ изменяет знак.

(x0;f(x0)) – точка перегиба


Слайд 52