Что такое findtheslide.com?

FindTheSlide.com - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация, доклад на тему Исследовательская работа по теме: Метод математической индукции

Презентация на тему Исследовательская работа по теме: Метод математической индукции, из раздела: Математика. Эта презентация содержит 71 слайда(ов). Информативные слайды и изображения помогут Вам заинтересовать аудиторию. Скачать презентацию на данную тему можно внизу страницы, поделившись ссылкой с помощью социальных кнопок. Также можно добавить наш сайт презентаций в закладки! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них. Все права принадлежат авторам презентаций.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Математическая  индукция
Текст слайда:

Математическая индукция


Слайд 2
Работу выполнила ученица 10 б класса  МОУ СОШ №5 г.Алагира  Чельдиева
Текст слайда:

Работу выполнила ученица 10 б класса МОУ СОШ №5 г.Алагира Чельдиева Фариза Руководитель - учитель математики МОУ СОШ №5 г. Алагира Чельдиева Альбина Николаевна


Слайд 3
Понимание и умение применять принцип
Текст слайда:

Понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим критерием зрелости, которая совершенно необходима математику.
А. Н. Колмогоров


Слайд 4
Со времен зарождения жизни человечество стремилось к прогрессу,
Текст слайда:

Со времен зарождения жизни человечество стремилось к прогрессу, и свои первые шаги оно начинало с каменного века. Постепенно мир усовершенствовался и изменился. Каменный век перешел в мультимедийный. Даже несколько десятков лет тому назад мы не могли предположить о таких глобальных переменах. Но, несмотря на все изменения, произошедшие за это время, есть вещи, которые не меняются и их ценность со временем не убывает. Всем, например, известно, что Земля круглая, что 2·2=4. К таким ценностям можно отнести и математическую индукцию.

Введение


Слайд 5
Математическую индукцию можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического
Текст слайда:

Математическую индукцию можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.


Слайд 7
Несомненно, область применения математической индукции возрастает, несмотря на
Текст слайда:

Несомненно, область применения
математической индукции возрастает, несмотря на это, в школьной программе ему отводится мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает.
А ведь это так важно - уметь размышлять индуктивно.


Слайд 8
Что такое индукция?В чем заключается метод математической индукции?Кто создал?Применение Что такое принцип математической
Текст слайда:



Что такое индукция?

В чем заключается метод математической индукции?


Кто создал?


Применение


Что такое принцип математической индукции?


Заключение


Математическая индукция


Слайд 9
Применение Применение метода математической индукции при решении задач на делимость.Доказательство тождеств с помощью
Текст слайда:


Применение



Применение метода математической индукции при решении задач на делимость.


Доказательство тождеств с помощью метода математической индукции


Метод математической индукции в применении к другим задачам.


Применение метода математической индукции к доказательству неравенств


Метод математической индукции при решении геометрических задач



Слайд 10
Индукция – способ рассуждения от частных фактов, положений к
Текст слайда:

Индукция – способ рассуждения от частных фактов, положений к общим выводам.

Основная часть

Под индукцией (от лат. inductio – наведение, побуждение) понимают в логике одну из форм умозаключений, состоящую в выведении общего суждения относительно бесконечного множества объектов на основании изучения некоторого конечного числа частных случаев.

По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция .


Слайд 11
Полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом
Текст слайда:

Полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удается предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. О применении в математике неполной индукции, в качестве метода доказательства, предостерегал ученых П. Ферма в одном из своих писем:


Слайд 12
«…можно было бы предложить такой вопрос и взять такое правило для его решения,
Текст слайда:

«…можно было бы предложить такой вопрос и взять такое правило для его решения, которое подходило бы для многих частных случаев и все же было бы на самом деле ложным и не всеобщим…». Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.



Пьер Ферма


Слайд 13
Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, верно
Текст слайда:

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, верно при n = 1 и из того, что оно верно для n = k (где k- любое натуральное число) , следует, что оно верно и для следующего числа n = k + 1, то предложение А(n) верно для любого натурального числа n.

Принцип математической индукции


Слайд 14
В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого
Текст слайда:

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n ≥ p, где p- фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом.
Если предложение А(n) истинно при n = p и если А(k) => А(k + 1) для любого k ≥ p, то предложение А(n) истинно для любого n ≥ p.



Слайд 15
Метод математической  индукции На сформулированном принципе математической индукции основан метод доказательства, называемый
Текст слайда:

Метод математической индукции

На сформулированном принципе математической индукции основан метод доказательства, называемый методом математической индукции.
Доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом: сначала доказываемое утверждение проверяется для n = 1, то есть устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным переходом.


Слайд 16
В этой части доказывают справедливость утверждения для n = k + 1 в
Текст слайда:

В этой части доказывают справедливость утверждения для n = k + 1 в предположении справедливости утверждения для n = k (предположение индукции), то есть доказывают, что А(k) => А(k + 1).

Замечание. Отметим, что оба шага в доказательстве методом математической индукции очень важны, ни один из них нельзя пропускать.



Слайд 17
Математической индукцией фактически пользовались еще некоторые древнегреческие ученые. Однако впервые он был явно
Текст слайда:

Математической индукцией фактически пользовались еще некоторые древнегреческие ученые. Однако впервые он был явно выражен Герсонидом в 1321 году. Характеристика принципа математической индукции содержится у широко образованного итальянского математика ХVI века Ф.Мавролико, переводчик Архимеда.

Из истории математической индукции


Слайд 18
Архимед (287 до нашей эры – 212 до нашей эры) – древнегреческий математик,
Текст слайда:

Архимед
(287 до нашей эры – 212 до нашей эры) – древнегреческий математик, физик, механик и инженер. Сделал множество открытий в геометрии, заложил основы механики и гидростатики, автор ряда важных изобретений.


Слайд 19
В « Трактате об арифметическом треугольнике» Б. Паскаль доказывает закон образования членов этого
Текст слайда:

В « Трактате об арифметическом треугольнике» Б. Паскаль доказывает закон образования членов этого треугольника

методом математической
индукции.

После этого метод начинает постепенно привлекать внимание некоторых ученых, в частности Бернулли.


Слайд 20
Лишь со второй половины ХIХ века, после трудов Больцано, Коши, Гаусса, Абеля чисто
Текст слайда:

Лишь со второй половины ХIХ века, после трудов Больцано, Коши, Гаусса, Абеля чисто индуктивные методы доказательств теряют значение в математике. На первый план выдвигается дедукция и математическая индукция.

А. Коши (1789 – 1857)

К. Гаусс (1777 – 1855)

Н. Абель (1802 – 1829)


Слайд 22
I. Доказательство равенств с помощью метода математической индукции:
Текст слайда:

I. Доказательство равенств с помощью метода математической индукции:

Пример 1.
Докажите по индукции, что для любого натурального n

выполняется равенство 1 + 2 + 3 + … + n = .

Пример 2. (Задача ал – Караджи (Иран, XI в.))
Докажите, что для любого натурального n верно равенство
1³ + 2³ + 3³ + … +n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)².

Пример 3.(c указанием)
Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется

равенство

Пример 4.
Докажите по индукции, что для любого натурального числа n справедливо

равенство


Пример 5.
Методом математической индукции доказать справедливость равенства

.



Слайд 23
..Пример 1.Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство  1
Текст слайда:


.


.

Пример 1.
Докажите по индукции, что для любого натурального n

выполняется равенство 1 + 2 + 3 + … + n = .


Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда



;1 = 1 – верно;

2) предположим, что при n = k равенство 1 + 2 + 3 +…+ k =


верно;

3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1) =


Прибавим к обеим частям равенства 1 + 2 + 3 +…+ k =


выражение (k + 1). Имеем: 1+ 2 + 3 + … + k + (k + 1) =


+ (k + 1);

1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) =

+

;


Слайд 24
1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) =
Текст слайда:

1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) =




;

1 + 2 + 3+ … + k + (k + 1) =


.

Следовательно, на основании метода математической индукции,
равенство 1 + 2 + 3 + … + n =


- верно.




Слайд 25
Пример 2.  (Задача ал – Караджи (Иран, XI в.)) Докажите, что для
Текст слайда:

Пример 2. (Задача ал – Караджи (Иран, XI в.))
Докажите, что для любого натурального n верно равенство
1³ + 2³ + 3³ + … +n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)².
Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда 1³ = 1² => 1 = 1 - верно;
2) предположим, что при n = k равенство 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ = (1 + 2 + 3 + … + k)² - верно;
3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1))².
Прибавим к обеим частям равенства 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ = (1 + 2 + 3 + … + k)² выражение (k + 1)³, имеем:
1³ + 2³ + 3³ + … +k³ + ( k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + … + k)² + ( k + 1)³.
Рассмотрим правую часть равенства:
(1 + 2 + 3 + … + k)² + ( k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + … + k)² +

+( k + 1)².

Так как 1 + 2 + 3 +…+ k =

, то имеем:

(1 + 2 + 3 + … + k)² + 2(1 + 2 + 3 + … + k )(k + 1)+ ( k + 1)² = = (1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)) ².
Значит, 1³ + 2³ + 3³ + … +k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1))².
Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство 1³ + 2³ + 3³ + … +n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)² верно.



Слайд 26
Пусть А(n) и В(n) – некоторые выражения. Доказать равенство А(n) =
Текст слайда:


Пусть А(n) и В(n) – некоторые выражения. Доказать равенство А(n) = В(n) для любого натурального n по индукции можно так:
Убедиться, что равенство А(1) = В(1) выполняется.
Доказать равенство А(k + 1) – А(k) = В(k +1) – В(k).
Теперь из предположения А(k) = В(k) и из равенства А(k + 1) – А(k) = В(k +1) – В(k) следует, что А(k + 1) = В(k +1). Тогда согласно принципу математической индукции доказываемое равенство верно для любого натурального n.



Указание


Слайд 27
Пример 3.Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство Доказательство: 1)
Текст слайда:

Пример 3.
Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется

равенство

Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда

- верно;

2) предположим, что при n = k равенство

- верно;

3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство

Для этого вычтем из равенства


Слайд 28
равенство . Имеем: - верно.
Текст слайда:







равенство


. Имеем:


- верно.


Слайд 29
Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно..
Текст слайда:





Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство


- верно.

.



Слайд 30
Пример 4.Докажите методом математической индукции, что для любого натурального числа n справедливо равенство
Текст слайда:

Пример 4.
Докажите методом математической индукции, что для любого
натурального числа n справедливо равенство

Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда

- верно;

2) предположим, что при n = k равенство

- верно;

3) докажем, что при n = k + 1 выполняется

равенство

. Для этого вычтем из

равенства


Слайд 31
равенство  . Имеем: = - ; =- верно.Следовательно, на основании метода математической
Текст слайда:





равенство

. Имеем:


=

-

;

=

- верно.

Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство

- верно.



Слайд 32
Пример 5.Методом математической индукции доказать справедливость равенства Доказательство:1) пусть n = 1, тогда
Текст слайда:

Пример 5.
Методом математической индукции доказать справедливость равенства


Доказательство:

1) пусть n = 1, тогда


верно;

2) предположим, что при n = k справедливо равенство

3) докажем, что при n = k + 1 выполняется равенство


Слайд 33
Для этого разделим равенство на равенство Имеем:
Текст слайда:

Для этого разделим равенство

на равенство

Имеем:






Слайд 34
Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство - верно.
Текст слайда:

Следовательно, на основании метода математической индукции, равенство


- верно.



Слайд 35
II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств:Пример 1.При каких натуральных n справедливо
Текст слайда:

II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств:

Пример 1.
При каких натуральных n справедливо неравенство

>

?

Пример 2. (Неравенство Бернулли)
Доказать, что если

и

, то справедливо неравенство

Пример 3.
Доказать, что при n > 6 справедливо неравенство

Пример 4. (Неравенство Коши)

Доказать, что

, где

неотрицательные числа.

Пример 5.
Доказать неравенство


Доказать по математической индукции неравенство 2! 4! 6! … (2n)! >((n+1)!)ⁿ,

Пример 6.

при n ≥ 3 .


Слайд 36
II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств:Пример 1.При каких натуральных n справедливо
Текст слайда:








II. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств:

Пример 1.
При каких натуральных n справедливо неравенство

при n = 2, имеем: 4 > 10 (не верно);
при n = 3, имеем: 8 > 15 (не верно);
при n = 4, имеем: 16 > 20 (не верно);

>

?

Решение.

при n = 1, имеем: 2> 5 (не верно);

1) пусть n =5, тогда

5 · 5;

>

32 > 25 – верно;

2) предположим, что при n = k неравенство

> 5k - верно;

3) докажем, что при n = k + 1 выполняется неравенство

> 5(k +1).

Для этого умножим обе части неравенства


> 5k на 2. Имеем:



· 2 > 5k · 2;


> 5k +5k.

Так как k > 1, то 5k > 5. Имеем:


> 5k +5;

> 5(k +1).

Значит, при

, неравенство

- верно.

>



Слайд 37
Пример 2.   (Неравенство
Текст слайда:







Пример 2. (Неравенство Бернулли)
Доказать, что если


и

то справедливо неравенство

Доказательство: 1) при n = 2 неравенство

2) предположим, что при n =k неравенство

- верно;

3) докажем, что при n = k+1 верно неравенство

Умножим обе части неравенства

на положительное число

Имеем:

. Рассмотрим правую часть

неравенства

Получили, что

Значит, на основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого


справедливо, так как


Слайд 38
Пример 3. Доказать, что при  n > 6 справедливо неравенство
Текст слайда:

Пример 3.
Доказать, что при n > 6 справедливо неравенство


Доказательство. Преобразуем неравенство

, имеем:

;


1) при


неравенство справедливо, так как


;

2) предположим, что при n =k неравенство верно т.е.

3) докажем, что при n = k+1 верно неравенство

Так как

, то, умножив обе части неравенства на ,имеем:







Слайд 39
В силу метода математической индукции неравенство справедливо для любого n > 6.Так как, прито имеем:
Текст слайда:

В силу метода математической индукции неравенство


справедливо для любого n > 6.


Так как

, при

то имеем:


Слайд 40
Пример 4. (Неравенство Коши)
Текст слайда:

Пример 4. (Неравенство Коши)
Рассмотрим самое важное и, несомненно, являющееся одним из столпов теории неравенств, неравенство между арифметическим и геометрическим средними. Это исключительно красивое неравенство может быть сформулировано следующим образом: доказать, что


,

неотрицательные числа.

Доказательство. Рассмотрим классическое доказательство, принадлежащее Коши. Частные случаи.

При n = 2, неравенство имеет вид: (1).





где

-

Докажем справедливость данного неравенства, имеем


Слайд 41
При n = 4, неравенство имеет вид
Текст слайда:

При n = 4, неравенство имеет вид (2).

Докажем.


Представим левую часть неравенства в виде








Умножим обе части неравенства

на

Имеем:


На основании частного случая (1) рассмотрим правую часть неравенства


Слайд 42
При n =3, неравенство имеет вид: Докажем. Представим , как На основании рассмотренного
Текст слайда:

При n =3, неравенство имеет вид:

Докажем.

Представим


, как


На основании рассмотренного частного случая (2) имеем:

Так как

, то неравенство примет вид:



Слайд 43
Разделим обе части неравенства на не равное нулю, получим Теперь возведем обе части
Текст слайда:

Разделим обе части неравенства на


не равное нулю, получим



Теперь возведем обе части неравенство в степень


,получим


Докажем неравенство Коши

методом математической индукции.





Слайд 44
3) на основании частного случая (3) докажем, что при n = m –
Текст слайда:

3) на основании частного случая (3) докажем, что при

n = m – 1 =


неравенство Коши выполняется , т.е




2) предположим, что при

n = m =

выполняется неравенство

пусть n = 2, тогда на основании частного случая (1) неравенство верно;



Пусть

,тогда


Слайд 45
Имеем:
Текст слайда:






Имеем:


Слайд 46
Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство Коши верно. Данное доказательство является классическим
Текст слайда:

Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство Коши верно. Данное доказательство является классическим доказательством неравенства Коши.


Обе части неравенства возведем в степень



Слайд 47
Пример 5.Доказать неравенство для любого числа n
Текст слайда:

Пример 5.

Доказать неравенство


для любого числа n корней, входящих в неравенство.

Доказательство: 1) при n = 1 неравенство справедливо, так как


2) обозначим левую часть неравенства


и, предположив справедливость

неравенства

докажем справедливость неравенства


3) Найдем:

Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство


верно.



Слайд 48
Пример 6.Доказать по математической индукции неравенство 2! 4!
Текст слайда:

Пример 6.

Доказать по математической индукции неравенство 2! 4! 6! … (2n)! >((n+1)!)ⁿ , при n ≥ 3.

Доказательство: n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · n;

при n = 3 неравенство справедливо, так как 2! 4! 6! > (4!)³;

34560 > 13824;

2) предположим, что при n = k неравенство 2! 4! 6! … (2k)! >((k+1)!)

- верно;

3) докажем, что при n = k+1 верно неравенство

2! 4! 6! … (2k)! (2k +2)! >((k+2)!)

. Разделим неравенство

2! 4! 6! …(2k)! (2k +2)! >((k+2)!)

на неравенство 2! 4! 6! … (2k)! >((k+1)!)

Имеем:


Слайд 49
Разделим обе части неравенства на выражение (k + 2)!. Имеем:- верно. Следовательно, на
Текст слайда:

Разделим обе части неравенства на выражение (k + 2)!. Имеем:


- верно.

Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство 2! 4! 6! … (2n)! >((n+1)!)ⁿ - верно.



Слайд 50
III. Применение метода математической индукции в решении задач на делимость:Пример 1.Докажите, что для
Текст слайда:

III. Применение метода математической индукции в
решении задач на делимость:

Пример 1.

Докажите, что для любого натурального

n

делится на 6.

Пример 2.

Докажите, что для любого натурального n

делится на 19.

Пример 3.

Доказать

при произвольном натуральном n делится на

26²(676)

без остатка.



Слайд 51
Пример 1.Докажите, что для любого натурального n  делится на 6.Доказательство: 1) пусть
Текст слайда:

Пример 1.

Докажите, что для любого натурального n


делится на 6.

Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда


6 = 6;

2) предположим, что при n = k выражение


3) докажем, что при n = k + 1 выражение




Так как и первое слагаемое, и второе слагаемое делятся на 6, то и их сумма делится на 6. Значит, на основании метода математической индукции при любом натуральном n


делится на 6.



Слайд 52
Пример 2.Докажите, что для любого натурального n
Текст слайда:

Пример 2.

Докажите, что для любого натурального n


делится на 19.

Доказательство: 1) пусть n = 1, тогда


,так как 19:19;

2) предположим, что при n = k выражение


3) докажем, что при n = k + 1 выражение



Так как и первое слагаемое делится на 19 (по предположению), и второе слагаемое делится на 19, то и их сумма делится на 19 и согласно методу математической индукции для любого натурального

n


делится на 19.


Имеем:


Слайд 53
Пример 3.Доказать при произвольном натуральном n делится набез остатка.Доказательство: докажем, что 1) пусть
Текст слайда:

Пример 3.

Доказать


при произвольном натуральном n делится на

без остатка.

Доказательство: докажем, что


1) пусть n = 1, тогда


-верно;

2) предположим, что при n = k выражение


3) докажем, что при n = k + 1 выражение



26²(676)

Так как и первое слагаемое, и второе слагаемое делятся на 26, то и их сумма делится на 26. Значит, на основании метода математической индукции при любом натуральном n


Докажем теперь, что


делится на 26².

1) пусть n = 1, тогда


- верно;

2) предположим, что при n = k выражение


3) докажем, что при n = k + 1 выражение



Имеем:


Слайд 54
натуральном nЗначит, на основании метода математической индукции при любом Так как каждое слагаемое
Текст слайда:


натуральном n

Значит, на основании метода математической индукции при любом

Так как каждое слагаемое делится на 676, то и сумма делится на 676.

делится на 676.



Слайд 55
IV. Применение метода математической индукции к геометрическим задачам:Задача 1. (Пересечение прямых)Докажите, что любые
Текст слайда:

IV. Применение метода математической индукции
к геометрическим задачам:

Задача 1. (Пересечение прямых)

Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке,

пересекаются ровно в

точках.

Задача 2.

Доказать, что число диагоналей выпуклого

n –угольника равно

Задача 3.

Доказать, что сумма углов выпуклого n – угольника равна 180°(n – 2)



Слайд 56
Задача 1. (Пересечение прямых)Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие
Текст слайда:

Задача 1. (Пересечение прямых)

Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в
одной точке, пересекаются ровно в


точках.

Доказательство:

1) пусть n = 2, тогда утверждение верно, так как в случае, когда прямых две, известно, что они не параллельны, а значит, пересекаются в одной точке. 2) Предположим, что оно верно для n = k прямых, то есть что любых k прямых, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не

пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в


точках.

3) докажем, что при n = k + 1 прямых утверждение верно, то есть

1-я, 2-я, …, k-я прямая пересекаются в

точках.


Слайд 57
Рассмотрим (k + 1)-ю прямую и одну из прямых, обозначим её i из
Текст слайда:




Рассмотрим (k + 1)-ю прямую и одну из прямых, обозначим её i из списка 1-я, 2-я, …, k-я прямая. Как мы уже доказали в шаге (1), что любые две прямые, удовлетворяющие условиям задачи, пресекаются ровно в одной точке, а значит и прямые (k + 1) и i пересекаются в одной точке. Вспомним, что i обозначает любую прямую из списка 1-я, 2-я, …, k. Отсюда (k + 1)-я прямая пересекается с каждой из этих k прямых ровно в одной точке.
Рассмотрим список из (k + 1) прямых и их точек пересечения. Уберём прямую (k + 1) вместе с её точками пересечения. Останется k прямых удовлетворяющих шагу (3). Значит, количество точек пересечения у

этих k прямых равняется


Как было показано выше, количество точек пересечения, которое мы убрали вместе с прямой k + 1, равняется k.
Следовательно, количество точек пересечения всех k + 1 прямых есть


Следует, что для k + 1 прямых утверждение

доказано.



Слайд 58
Задача 2.
Текст слайда:

Задача 2.
Доказать, что число диагоналей выпуклого

n –угольника равно .


Доказательство: 1) при n = 3 утверждение верно,
так как в треугольнике


диагоналей.

2) предположим, что число диагоналей выпуклого k – угольника равно


3) докажем, что тогда в выпуклом


- угольнике число диагоналей

равно


Пусть А1А2А3…AkAk+1-выпуклый (k+1)-угольник. Проведём в нём диагональ A1Ak. Чтобы подсчитать общее число диагоналей этого (k+1)-угольника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A1A2…Ak, прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины Аk+1, и, кроме того, следует учесть диагональ А1Аk.


Слайд 59
Таким образом, число диагоналей в выпуклом (k+1)-угольнике равно Вследствие принципа математической индукции утверждение
Текст слайда:

Таким образом, число диагоналей в выпуклом (k+1)-угольнике равно


Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.




Слайд 60
Задача 3.Доказать, что сумма углов выпуклого  n – угольника равна 180°(n –
Текст слайда:

Задача 3.

Доказать, что сумма углов выпуклого n – угольника равна 180°(n – 2).

Решение:

1) пусть n =3, тогда справедливо утверждение 180°(n – 2), так как 180°(3 – 2) = 180°;

2) предположим, что при n = k, утверждение 180°(k – 2) – верно;

3) докажем, что при n = k +1 сумма углов (k + 1) – угольника равна 180°(k – 1). В многоугольнике


проведем диагональ


Она разбивает многоугольник


на многоугольник


и треугольник


Сумма углов многоугольника


равна

180°(k – 2), а сумма углов треугольника


равна 180°. Значит, сумма углов многоугольника



Слайд 61
равна 180°(k – 2) + 180° = 180°(k – 2 +1) = 180°(k
Текст слайда:

равна 180°(k – 2) + 180° = 180°(k – 2 +1) = 180°(k – 1).

Вследствие принципа математической индукции теорема верна для любого выпуклого n-угольника.




Слайд 62
Метод математической индукции в применении к другим задачамЗадача 1. (Трехкопеечные и пятикопеечные монеты)
Текст слайда:

Метод математической индукции в применении
к другим задачам

Задача 1. (Трехкопеечные и пятикопеечные монеты)

Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами.

(Ханойские башни)

Задача 2.

Есть три стержня и n колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стрежня на другой? Можно или нельзя?



Слайд 63
Текст слайда:




Задача 1. (Трехкопеечные и пятикопеечные монеты)

Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами.

Решение. Применим метод математической индукции к задаче. Пусть сумма равна n копейкам.

1) при n = 8 утверждение верно.

2) пусть утверждение верно для n = k. Могут представиться только два случая для размена суммы в k копеек:


Слайд 64
Потребовались только трехкопеечные монеты 3) удаляем три трехкопеечные монеты, добавляем две пятикопеечные и
Текст слайда:

Потребовались только трехкопеечные монеты

3) удаляем три трехкопеечные монеты, добавляем две пятикопеечные и тем самым размениваем сумму в


копеек.

Потребовалась хотя бы одна пятикопеечная монета

3) удаляем одну пятикопеечную монету, добавляем две трехкопеечные монеты и тем самым размениваем сумму в


копеек.

Следовательно, на основании метода математической индукции, задача верна.



Слайд 65
Ханойские башни   Есть три стержня и n колец разного
Текст слайда:


Ханойские башни

Есть три стержня и n колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стрежня на другой? Можно или нельзя?


Слайд 67
1) Пирамидку, в которой только одно кольцо n = 1, переместить можно. 2)
Текст слайда:

1) Пирамидку, в которой только одно кольцо n = 1, переместить можно.
2) Предположим, что мы умеем перемещать пирамидку с числом колец n = k .
3) Попробуем научиться перемещать пирамидку с n = к + 1 числом колец. Пирамидку из k колец, лежащих на самом большом (к + 1)-ом кольце, мы можем согласно предположению переместить на любой стержень. Сделаем это, переместим её на 3 стержень. После перемещения k колец переместим оставшееся (к + 1)-ое кольцо на второй стержень. Мы можем это сделать, так как второй стержень пустой. Затем опять переместим пирамидку из k колец на второй стержень. Имеем: на втором стержне пирамидку из (k+1) колец и пирамидку из k колец. Таким образом, если мы умеем перемещать пирамидки с k кольцами, то умеем перемещать пирамидки и с (к + 1) кольцом.
Следовательно, утверждение верно для всех случаев, то есть для всех n.

Решение:


Слайд 68
В одном из буддийских монастырей монахи уже тысячу лет занимаются перекладыванием колец. Они
Текст слайда:

В одном из буддийских монастырей монахи уже тысячу лет занимаются перекладыванием колец. Они располагают тремя пирамидами, на которых надеты кольца разных размеров. В начальном состоянии 64 кольца были надеты на первую пирамиду и упорядочены по размеру. Монахи должны переложить все кольца с первой пирамиды на вторую, выполняя единственное условие — кольцо нельзя положить на кольцо меньшего размера. При перекладывании можно использовать все три пирамиды. Монахи перекладывают одно кольцо за одну секунду. Как только они закончат свою работу, наступит конец света. Количество перекладываний в зависимости от количества колец вычисляется по формуле 2ⁿ − 1. Для 64-х колец это 18 446 744 073 709 551 615 перекладываний, и, если учесть скорость одно перекладывание в секунду, получится около 584 542 046 091 лет, то есть апокалипсис наступит нескоро.

Легенда



Слайд 69
Заключение Подводя итог своей работы, я хочу сказать, что математическая индукция помогла мне
Текст слайда:

Заключение

Подводя итог своей работы, я хочу сказать, что математическая индукция помогла мне научиться размышлять не только индуктивно, но и дедуктивно. Мое мышление преобразилось: я стала учиться размышлять логически, искать правильное решение из множества других. Знание и умение применять математическую индукцию помогло мне в решении олимпиадной работы: задание было на делимость. Аналогичные примеры есть у меня в докладе. В ходе моей работы было очень интересно собирать материал о математической индукции.


Слайд 70
Побывав в разных библиотеках, в том числе и в библиотеке СОГУ, в Юношеской
Текст слайда:

Побывав в разных библиотеках, в том числе и в библиотеке СОГУ, в Юношеской библиотеке и в библиотеке СК ГМИ, было очень интересно обобщать весь материал по данной теме. К сожалению, материал о математической индукции, на мой взгляд, не очень богат. Мне бы хотелось, чтобы со временем на эту тему обратили внимание не только в высших учебных заведениях, но и в школьной программе, так как я считаю, что математическая индукция - одна из самых интересных и полезных тем в математике. Благодаря ей, мне захотелось узнать что–то большее по этому предмету, и в будущем я обязательно исследую еще одну такую же познавательную тему.


Слайд 71
Понимание и умение применять принцип
Текст слайда:

Понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим критерием зрелости, которая совершенно необходима математику.
А. Н. Колмогоров